Pp ^ S.P

ce qui détermine la distance de la résultante à l'origine, et achève de fixer sa position.

Si Ton suppose R = o dans les équations précédentes ^ elles deviennent 9

D'où il suit que pour Téquillbre dun système de forces agissant dans le même plan et dans des directions parallèles^ il faut i"*. que la somme de ces forces soit égale à zéro; 2*. que la somme de leurs momens, par rapport à un point quelconque du plan, soit nulle.

7 . Considérons enfin un système de points de forme invariable, sollicités par des forces dirigées dune manière quelconque dans l'espace, et déterminons les conditions à remplir pour quW pareil système soit en équilibre. Soient P, P', P'', etc. , les intensités des forces appliquées au système; x, j, z, af^y^ z!, etc. , les coordonnées respectives de leurs points (i application ; â, 6^ ^, les angles que forme la direction de la force P avec les axes des x^ àesjr et des z; dy V , dy les angles que forme avec les mêmes axes, la direction de P', et ainsi de suite. Je décompose chacune des forces P, F, P", etc. , en trois autres , Pcosa, Pcosô, Pcos^, P'cosû', P'cosi', etc., respectivement parallèles aux axes des coordonnées. Je prolonge la direction de la force Pcosa jusqu'à ce qu'elle rencontre le plan des j-z en un point dontj* et z sont les coordonnées ; je décompose ensuite cette force en deux autres égales entre elles et parallèles à sa direction, agissant l'une dans le plan des xy, l'autre dans le plan des xz. Chacune de ces composantes sera , n® 6 , égale à â P cos a ; la première

agira perpendiculairement à Taxe des y^ à une dis-* tance 2/ de Taxe des jf, la seconde perpendiculairement à Taxe des z^ à une distance nz du m^me axe.

J'opère une décomposition semblable sur les forces Fcosfl', F'cosa'', etc., en sorte que le groupe de forces Pcosa, P'cos^', etc., parallèles à l'axe des jr, se trouve ainsi remplacé par deux groupes de forces, ^Pcosfl, ^P'cosa', etc., agissant parallèlement au même axe , l'un dans le plan des xj^ l'autre dans le plan des orz, aux distances respectives ^, ^', etc., 2Z, 2z^, etc. , de l'axe des x.

Je remplace de même le groupe des composantes P cos i, F cos i', etc., parallèles à l'axe des/, par deux groupes de forces ^ P cos i, \ P cos V y etc. , agissant parallèlement au même axe, Tun dans le plan des xjj l'autre dans le plan dçs jz^ à des distances respectives, nxy naf^ etc., 2z, 2z', etc. , de; l'axe des 7*, et le groupe des composantes P cos CyY cos c'^ etc. , parallèles à l'axe des z y par deux groupes de forces 7 P cos c, ^ P' cos c', etc. , agissant parallèlement au même axe, l'un dans le plan des arz, l'autre dans celui de&jZy aux- distances respectives 2X, 2x', etc., ajr, iiy y etc. , de Taxe des z.

Ainsi donc , toutes les forces qui agissaient dans des directions quelconques sur le système que nous considérons, se trouvent remplacées par des forces agissant dans les trois plans coordonnés , et partagées sur chacun d'eux en deux groupes de forces respectivement parallèles aux axes que renferment ces plans.

Il est clair, d'après cela , que si l'équilibre a lieu sur chacun des plans coordonnés, il aura lieu dans le

système entier. Or les conditions d'équilibre sur chacun des plans des xy^ des xz^ et des^2, seront exprimées n^ 5 par les équations respectives

iS.P cosn = o, Î2.P cosi =5 o, ■|^2.[P (2;^cosa — nx cosi) ] = o, :^2.P cosa = o, ^2.P cos^ s= o, •J2.[P(2j: cos c — 22 cosa)] = o, jS.P cosi = o, jS.P cosc = o, ^ 2. [P ( 22 cos & — ay cos c ) ] = o.

Ces neuf équations n'en forment véritablement que six différentes entre elles; l'équilibre du système sera donc assuré, lorsque les forces P, P'^ etc.; satisferont aux équations suivantes :