P(a:cosc— 2 cosa)] = o,f 2.[P(zcosi — y cos ^)]= o

Cest-à-dire qu^un système de forme invariable, sollicité par des forces dirigées d'une manière quelconque dans Fespace » est en équilibre toutes les fois que la somme des composantes de ces forces respectivement pandlèles à chacun des axe^ coordonnes est nulle , et que la somme de leurs momens sur chacun des plans perpendiculaires aux mêmes axes est respectivement égale à zéro.

Ces conditions suffisent pour assurer l'équilibre du

3o THÉORIE ANALYTIQUE

système, et il est aisé de démontrer que cet équilibré ■ ne saurait avoir lieu sans elles. En effet, il existerait nécessairement sur celui des plans coordonnés pour lequel les équations (J'équilibre ( 7 ) ne seraient pas satisfaites, une force libre. Si les trois plans coordonnés se trouvent dans ce cas , le système sera nécessairement mis en mouvement, parce que trois forces situées dans des plans diflférens ne peuvent jamais se faire équilibre. Si les équations d'équilibre sont satisfaites sur l'un des plans coordonnés , sans l'être sur les deux autres, les résultantes des forces agissant sur ces plans ne sauraient se faire équilibre , à moins d'être situées toutes deux sur leur intersection commune, égales et de direction contraire; ce qui est impossible d'après la transformation précédente. Enfin , si les conditions d'équilibre étaient satisfaites sur deux des plaus sans l'être sur le troisième, les forces situées dans ce plan mettraient nécessairement le système en mouvement.

Si le système n'est pas en équilibre , et si les forces P, P', etc. , qui le sollicitent ont une résultante R , il est clair que l'on rétablira l'équilibre dans le système

^rechon de K ; soient x , ' y, z , les coordonhées d*urt point 'fijùëlcbnqùë pris sur cette droite; désignons de pTus, pour abréger, par X, Y, Z, la somnie dès compo£;antes des forces P, P', etc. , respectivement parallèles aux axes coordonnés, et par L, M , N, la somme de leurs momens relatifs aux mêmes axes. Les

DU SYSTÈME DU MONDE. 3i

six équations de condition (7) devront être satisfaites en y introduisant la force R en sens inverse de sa direction ; on aura donc

X — R.cosA = 0, Y — R.cosB = o, "j

Z — R.cosC = o; f

L (Yz — ZY)=r:0, M-.(Zx — Xz) = o, ^ ^^^

N — (Xy — Yx) = o.

Les trois dernières équations qui appartiennent aux momens^ expriment aussi une relation qui doit exister entre les coordonnées d'un point quelconque de la résultante R; elles peuvent être regardées par conséquent comme les équations des projections de cette force sur les trois plans coordonnés. Si l'on élimine entre ces équations les variables x, y, z, on aura

LX 4- MY + NZ = o.

C'est réquatîon de condition nécessaire pour que les trois dernières équations (8) puissent appartenir à une même droite , et par conséquent pour que les forces P, P', etc. , aient une résultante unique. Lorsqu'on sera assuré que cette équation est satisfaite , les trois premières équations (8) serviront à déterminer immédiatement la grandeur et le sens d'action de cette force.

Si les forces P, F, etc. , n'ont pas une résukante unique, on pourra toujours les réduire à deux forces, mais ces forces seront indéterminées de grandeur et de direction. Soient en effet R', R", R'", les trois résultantes partielles que l'on obtient par la composition

de toutes les forces qui agissent sur chaque plan coordonné, par les directions des forces R'', et R''', menons i deux plans parallèles à la direction de la troisièmeforce R'; menons ensuite par cette dernière un nou- veau plan qui coupe à la fois les directions des forces : R" et R'" : la force R' pourra se décomposer en deux autres agissant dans les plans parallèles à sa direction que nous avons menés suivant les forces R'^ et R''\ Les trois forces R', R", R"', se trouveront ainsi réduites SL deux couples de forces agissant dans le même plan, lesquels pourront par conséquent se réduire à deux forces agissant dans des plans différens.

Si le système que nous considérons n'était pas libre, s'il était, par exemple , retenu par un point fixe autour duquel il serait obligé de pivoter, les six équations (8) ne seraient plus nécessaires pour assurer l'équilibre de ce système. Il suffirait, dans ce cas, que la résultante des forces P, P', etc. , passât par le point fixe. Si l'on prend ce point pour Torigine des coordonnées , la projection de R sur les trois plans coordonnés passant par l'origine, on aura

Ce sont les seules conditions nécessaires pour assurer dans ce cas l'équilibre du système, et la valeur

V/X^ + Y* -f- Z' de la résultante sera la mesure de la pression que supporte le point fixe.

Si le système était retenu par deux points ou par un axe fixe, toutes les forces perpendiculaires et parallèles à cet axe seraient détruites par sa résistance. En prenant donc cet axe pour l'un des axes coor-

donnés, pour l'axe des z, par exemple, tout Teffet des forces qui agissent dans les plans des^z et des xz sera annulé; il suffira donc, pour assurer l'équilibre du système, que la résultante des forces qui agissent dans le plan des a^ soit dirigée sur l'axe des z, ou passe par l'origine des coordonnées , ce qui réduit les conditions d'équilibre à l'équation unique

C'est-à-dire qu'il faut simplement , dans ce cas , que la somme des momens relatif à l'axe fixe soit nuUe.

8. Supposons maintenant que toutes les forces qui agissent sur le système soient parallèles entre elles ; si l'on fait dans les équations (8), fl = a'=a"=etc., J = i' = i"= etc., c := c^ =zc*'= etc. , on aura, pour déterminer la valeur et la direction de la résultante , les équations suivantes ,

R = 2.P, cosè.[z.2.P — 2.P2] = cosc.[y.2.P — 2.Pr], cosi?.[x.2.P — 2,P,r]=cosa.[z.2.P — S.Pz],

cosfl.[Y.2.P — 2.P7] = cos*.[x.2.P — S.Por].

D'où il suit : i®. que la résultante est parallèle aux composantes, et égale à leur somme; 2''. que les momens de la résultante, par rapport à chaque axe coordonné, sont égaux à la somme des momens des composantes, relatifs à cet axe.

On satisfait aux trois dernières équations précé« dentés, indépendamment de toute valeur donnée aux Tome L 3

34 THfe)RIE ANALYTIQUE

angles a, b, c, ?a faisant

s.Px X.Py 2. Pi?

^~s:p' ^^ 2.P V ^^sTF*

Ce sont les coordonnée^ d'un point situe sur la résul^ tante ^ et ce point est remarquable en ce qu'il est in-^ dépendant de la direction des forces P, P', etc., et que par conséquent il ne varie pas , quelles que soient les positions de ces forces dans l'espace , pourvu quelles restent parallèles entre elles, et que leurs points d'application soient les mêmes. Ce point s'appelle centre des forces parallèles ; c'est la commune intersection de toutes leç lignes suivant lesquelles la Insultante peut être dirigée lorsque les intensités de ces forces et leur& points d'application ne changent

pas.

Si le système contenait un point fixe, il suffirait que la direction de la résultante passât par ce point pour ïissurer l'équilibre. Le point que nous venons de nommer centre des forces parallèles jouit donc encore de cette propriété remarquable, qu'étatisonstenp,, le systèipe reçtje en équilibre^ quelqiie situation qu'on lujt donne, autpur de ce point ^ et queUe que soit d'ailleurs la direction des forces qui le sollicitent.

^uppq^Çlis que le systèipe ne sQit soumis qu'^ l'actipn de la pesanteur ; cette action éta9t la nj^Qie ppi^r tsf^ Içs çqrps, et; les dlrectioo^ de I4 pesa^te^r pquy^t être, supposées les nj^mes daj^s toute l'éteiulue du système , les forces dont les ^e'çen^ fQkuX^ qui le c0n?|)O^wt Wnt ^nwf^ pQîurroAt être regardées \»iwmi pf^allèlies^ et oomn^e propoirtioimetles aux

masses m, ni^ ni[^ etc.^ de ces points. On aura donc^ par ce qui précède^ R=2./7t, c'est-à-dire que là résultante est égale au poids du système. On aura ensuite y pour déterminer le point que nous avons nommé généralement centre des forces parallèles^ et qui y dans ce cas, prend le nom de centre de gm-^ vite, les équations

4 Z i mx X. my S . mz

La^ propriété caractéristique du centre de gravité consiste en ce que, s'il est supposé fixe, le système animé par la pesanteur reste en équilibre, quelque situation qu'on lui donne autour de ce points parce que, dans toutes ces positions , la résultante des forces qui agissent sur le système vient passer par le point Hxe. Si Ton place l'origine des coordonnées en ce point , on atirâ