X.m.{xY — yX) = — mmf. P

s^f^ y~y' ..^~^' i ^*y—y ' iizf\—^

XiJp.— — - — y.- -r-jp . ' j" ■ V ~ y « 1= o.

L^ction mutuelle des corps du système disparait donc de l'intégrale finie 2. m. (arY-t—^X).

Nommons F la force qui sollicite m vers J'origine

des coordonnées, et y= y/o: • -f*^* + js* la distance de ce corps à cette origine ; on aura , relativemeut à ïa force F,

Substituons ces valeurs dans les expressions xX — ^/X, i^X — a:Z, ^Z — sY, la force F eu disparaît évidemment; il en serait de même des forces F', F"> çlc,,

relatives à m\ rfff etc. Ainsi donc lorsque les diiTerens corps du système ne sont sollicités que par leur attraction réciproque et par des forces dirigées vers rorigine des coordonnées^ on a

2./7j.(a:Y — 7X) = o, 2./7z.(zX — xZ) = o. Les équations (D) deviennent donc, dans ce cas.

2,m{xdy — ydx)r = c.dl, 1 . m , {zàx ~^ xdx) r=

X,m.(yciz

^x(tx) = c\dty h —zdy)=ic\dt. y ^

La diflFérenlîelle xdf'^-^ydx i^présente le double de l'aire décrite autour de l'origine des coordonnées pendant l'instant^/ par la projection du rayon vecteur de m sur le plan des x et des / ; les diflerentielles zdx — xdz et jrdz — zdy sont le double des aires décrites pendant le même instant par les projections de ce rayon vecteur sur les plans des xz et desjz. Les premiers membres des équations précédentes représentent donc la somme des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des diiférens corps du système sur chacun des plans coordonnés, multipliées respectivement par les masses de ces corps ; cette somme est par conséquent proportionnelle à l'élément du temps, et dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. Ce théorème constitue la loi générale du mouvement qu'on a nommée principe de la con-' servation des aires»

Lorsque la seule force qui agit sur le système est l'attraction mutuelle des corps qui le composent , et