Tome L

n4 THÉORIE ANALYTIQUE

(:i)^. ojA aura^ .entre ces mêmes <}a&ntités> ces ztonveljes relations ,

a=^'ç''^-^% «'=s4*"e*^*c", i^s=lyc'^6'à, c=:!ciV^d>V, d^za^^àh", <Pi=ay—dh.

Comme il n'y a que teois ^ès coeââcietis a^ ^^.^^ ti^ Vy c\ a^^y y*j d'y d'indëterminés , il est souvent plus concimode d'exprimer çe&;xiettf quantités en fonction de trois àutros ijadëpendaptea entre elles. En efiet^ la positioti des trois plans que forment les axes des nouvelles coordonnées ésf àëterminée lorsqu'on connaît l'inclinaison d'un de ces plans ^ de celui des d^y^y par exemple, sur celui des a:j^, et Icg ai;]^les que formé avec les axes des x et des x' l'intersection ^ ces deux plans. En désignant donc par â le premier de ces angles, le second par 4; ^^ et le tt^isième par ^^ on trouvera aisémeat, par les ^rmule^ de la Trigonométrie sphériquè,

â= cos6.sin\[/.sin ^ -f- coS'>}..cos^,.

J cis COà9.SÎn'>[/.C08^ •^— COS'>}..Sm ^,

c :^ sin 0.sin\L,

«';= cosfl.cos\|/.sin ^-r- sin «nI^-cos^^ .

y^=i cos0.cos'v[/.cos^ «f-\sin*>}.>sin (p ,1 • /

<?'= sînflicos^r, ^

a"cB= — siaO.sinf,

V'rv^^ sinfl.cosy,

e"ss: cosél.

DU SYSTEMS DU MONDE. nS

Sî ToH substitue* ces 'Takurs à la pl»ce de a^ &> Cf etc. ^daDS les équations de condition précédentes > on verra que qes équations sont identiquement satis->faites^ et qu'il n'en résulte a[ucune relation ^ètftfè \ëà angles ^, 4 ^* 6-

2g. Cela posé^ reprenons les trois dernières é(t{iations(â{). Si y après les avoir multipliées par dt; on^ës "' intègre^ et que^ pour abréger^ on représente par. M, M'^ M", la somme des momens des foirces qui agissent sur chacun des âémensda XTorps, et qui. se rapportent respectivement aux axes des x, des^ et des z\ ce qui donne

on aura

le signe S se rapportant à l'élément dm, et le signçieT* uniquement au temps ^. '-'''-

Maintenant^ de ce que le» axes des x*, des j^ et des z^ sont supposés conserver pendant toute la durée du mouvement la même position dans rintéHéttr^ii corps ^ il résulte que les ooèrdoB^nées ^y ^V V'^erout indépendantes du temps f^ tandis que les quantités a, b, Cy a*y h\ c\ û", ll\ c?'', au contraire^ varieront avec lui. Si l'on différencie donc^ dans cette faypo-

1 16 THÉCKRIE ANALYTIQUE

thèse y les équations (i), et qu'on substitue ensuite

pour j^i z, -^y -^, leurs valeurs dans là première

des équations (A) ^ on aura

, /é'àe'-<rdc\ ,, , fdâh'—Vdd-it^b'da'--a'db'\ , ,

H ai y-^ \- — s — ——)"y

^\ dt — :>'*

+ ( ■ -^ — = J.yz'ldm^ft/l.dt.

Si, dans cette ëquatioo, on remplace a', a", b', etc., piieur leurs yalèUTS (l) données n' aS, ^'on fôsse, pour alMrëger,

adc-\^dd-\-a"dd'zs^—cda—ddd^d'dd'z^qdt , \ {p) hdar\^da'4-b"dd'zz:,-^adh^a'db'-^d'db"zsz rdt ;

qu'on sap)p<>sè de plus ,

A=S.(y*+«'*)<*». B=S.(*'*+«'»).rfn», C=S.(*'»4-/*)rf«», F«4»S.y*'. </»», G=iS.s'x'.dm, H=^.s y' . dm ,

on trouvera , après cpielques réductions , a . (A/? ^ Gr — %) H- A . (By — Fr — Hp)

On aurai|:> par une analyse seinblable ,

ll^/M.i/.

DU SYSTÈME DU l^CUiDE. 11.7

«'. (Ap — Gr— Eq) 4. *'. (% — Vr—Bp}

H-c'.(Cr— F7— G;>)

a". (A;> — Gr— %) 4.^". (%-r- Fr— H^);

En faisant » pour simplifier,

Ap ^ G/^% = P, % -^ Fr — Hp = Q>

ces équations deviennent

o'P + A'Q-fc'R==/M'.<ft, ( (0 ^ aT + *'Q 4. cTl = /M'. rf<. )

Pour faire disparaître les quantités a, B, c, etc.» je différencie ces équations, et je les ajoute après avoir multiplié ta première par <t , la seconde par <i^> la troisième par a''; je trouve àiiisi,

^ — r.Q-h ^.R = aM 4- fl'M' 4- «"M". (1).

Je multiplie les mêmes équations différentielles^ la première par b, la seconde par 6'^ la troisième par b'^f je les ajoute ensuite^ et j'obtiens

^4-r.P^;,.R = iM + ô'M'+i^M^ (3)

Enfin y j'ajoute les mêmes équations, après avoir multiplié la première par e, k seconde par c'f la troisième par c% et je trouve

^i8 THÉQ&IE ^NALYTjQUE

Ces trois -équations , qui ne sont qu'une simple transfqri^atioa des équations (À)/ senriront à déterminer complèteméiit le mouvement de rotation du corps. Leur intégration donnera les valeurs des quantités Pf q, r^ et en les substituant' dàùs les équatîoïis {p)f ces équations^ réunies aux six équations de condition (/^l}^ douâ^eront, par une nouvelle intégration^ les valeurs des neuf variables a^byC^a^ b\ c\ d'j V\ c^'. On connaîtra donc, à chaque instant^ la direction des axes mobile^ d^s %r\ desj^^et'desjz'j et comme leur situation dins l'intérifaur du corps est supposée donnée^ la position du mobile sem entièrement dé-» terminée.

. .5a. ]>rous avoa^x jusqu'ici , regardé la position de ces tPoisvaxes.dau$ l'intépeur du corps, comme eutière-i ment arbitraire , et w>^ formules ont^ à cet égard , toute la généralité possible; mais les équations (i), {2)f (3) prennent une fprme beaucoup plus simple^ et qui facilite leur intégration dans un grand nombre de cas, lorsqu'on dispose des quantitéss a> b, c^ al y b\ ç\ a"^.6l[, cl-f dont trois sont restées indéterminées n"* 28 , de manière k sati^re aux, équations suivantes :

S.yi\dm=:Of &.afz'.dm=:6,' ^.xy'.dm:=r:o;

Qe qui est toujours possible,, comme nous le verrons tou|;^ VMure«y I#a pqsitioa des axes des x', iesy et des z' est alors entièrement fixée, et ccs^axes s'ap^

pellent axes principaux du corps. Dmà ce ctôy les trois quantités F^ G^ H^ étant nulles, on a P=â:Â/?^ Q = By, R = Cr, et les équations (i), (a), (3) se réduisent aux suivantes :

X± +(C — B).7r=:aM-+.aTM[' + a"M^

B.g + CA — C).r;7=*M + iWH-A''M'',| (B> C.^^+{B^A).pq=:M + c'M'+c''W.

Nous avons désigné par M, M', M", la somme des momens respectivement relatifs aux axes des j?, des y et dei^ z, des forces accélératrices qui agissent Mir chacun des élémens du corps. Par une propriété con-^ nue f on aura la somme de ces mêmes momens rapportés aux axes des a?', des y et des z', en ajoutant les trois quantités M, M', M", après les avoir multipliées par les cosinus des angles que forment respectivement les nouveaux axes avec les premiers. En nommant donc N , N', N'', ces trois sommes , on aura

N"=cM+cTVI'4.c"M^ Lès trois éqaaiions (B) deviendront ainsi ,

Bdq-{-(k^C).rj}.dt=±^\dtX (C) Cdr + (B — k).pq,dt:=i N".<ûJ

C'est sous cette forme que nous emploierons ces

lao TftÊORIE ANALYTIQUE

équations ^ dans la reefaerche des mouvettiens de rotation des GOS?p8 célestes.

Ces tix>is équations donneront^ en lès intégrant^ les valeurs des trois inconnues p, y, r, et celles-ci feront connaître ensuite , comme nous l'avons dit n' 29, la direction dans Tespace des trois axes principaux qui passent par l'origine des coordonnées ^ et^ par conséquent^ la position du corps. Mais^ au lieu de recourir, pour cela, aux équations (/?), et aux équations de condition (/»), il est plus simple de substituer dans les premières, pour «, by c, etc., dut y db^eic.\ leurs valeurs en fonction des trois quantités indépendantes^, '^p ^9 données n^ 26, dé manière à n'avoir plus qu'un seul système d'équations à considéreré On trouvera ainsi , après quelques réductions ,

cos^9•sin0.^-f-sin^.^=^7^;?^, \ (c)

d^ — cos9.i24= if^//;

et Von détenninera par ces équations les vaJieurs des trois angles ^ , %[/ , fl , lorsque celles de p, q^r seront connues.

En substituant les mêmes Valeuics dans les expres-r sions des trois quantités N , N', N", elles deviendront des fonctions des angles ^ , 4 9 8* La recherche du mouvement d'un corps solide , de figure quelconque , autour d'un point fixe conduit donc finalement à six équations différentielles du premier ordre entre les ;^ix indéterminées/?, ^^ r, ^, 4 ^ 0 ^t la variable t^ En

DU SïStÈME DU WONDE. 121

éliminant les froia premières quantités, au moyen des équations (<f) et de leurs différentielles, on n'aurait plus il considérer que trois équations différentielles du second ordre entre les trois angles p^^^y^eile temps t. C'est sons cette forme que d'Âlembert a donné les équations du mouvement de rotation; mais il est plus simple de s'en tenir aux six équations du premier ordre (C) et (c).

Si. Les trois équations (C) supposent que l'on a S.jcy.fl&ii=o, S.yz^.dm=:o, S.ûc'z\dm=îo. (o)

Nous allons démontrer qu'il est toujours possible de déterminer les trois angles ^, %[/, Ô qui fixent la position des axçs des a:', des j*' et des z' par rapport aux axes fixes des x, des y et des z , de manière à satisfaire à ces trois conditions. En effet , si dans les équations (2) qui donnent les valeurs des coordonnées x^, y et a' en fonction des coordonnées a^^f^z, on sulis* tilue pour a,b,c, etc, leurs valeurs en ^, •>(/, 6, on aura

j^' = or . (cos 9 . sin 4«sin^ + cos4«cos^) +j'.(co8fl.coS'4/.sin<p--^sin4»cos^) — z.sin6.sin^,

y = a;.(cos9.stn^{/•cos^ — cos^-sin^) H-^.(cosfl^cos4.cos^-|-sin4,sin^)-p-z.sin6.sin^^

z' = a:.sin6.sin^4"y-sinfl-COS'4/-f-z.cos9.

Si l'on substitue ces valeurs dans^ les trois équations (o), et qu'on fasse pour abréger

he^ sU quantités A, B^ C, F, G„ H étant des cons-'*! tantes qui. dépendent de la nature du corps et de la direction des axes des a:, d^s jr et des z, que Ton a choisis arbitrairement ^ il c^t Êicile de se convaincre que ces équatioxi^ prendront la fcM:me suivante t «

sîn 24) .L H- cos 2^*M = o , ^ cos<p..N — sin^.P=o,> (9) sin ^ ..N-i- cos ^ . P = 07 3

L 9 M ^ N y F représentant des fonctions des angles ^|r , 0^ et des constantes A, B , C, F, G, H indépendantes de Tangle (p.

La première de ces équations détermine l'angle ^ , et il est évident que les deilx autres ne peuvent avoir lietien même tenips, indépendamment de toute valeur donnée k p, k moins qu'on n^ait séparément

Si l'on met à la place de N et de P les valeurs que ces lettres représentent , on aura les deux équations suivantes :

2sin 2é.(A.sm*4^*^M-sîn4-^5os^/ + B.cas*4""C)

-^ cos 2é . (F . cos 4 + G . sm •4') =^^ j i

sitt ^ . [(A — B) . siii 4 «^îos -^ . — H (cos* 4 "^ ^* 4)3

+ cosô.(F.sïn4 — G.ços4)==o-

Ces équations serviront à déterminer les angles fl et 4^. Si l'on tire de la première la valeur de tai^g.^fl^ de la seconde celle de tang 0^ et qu'on les substitue dans la formule

û. . 2 tang B

I bu SYSrrÈME DU MONDE. i33

.Inte pour alNréger on fasse taag' '^ssiu^ce qui donne .

Sin-vlss: -^Ts^sr»» C08 «>L = ■ , .w»

Itprès les rédioçtions convenables^ on trouvera Téqua- I tien suivante du troisième degré

[(A— B)-tt— H.(i— ii*)].[(AG— CG+FH).ii ~ BF+CF— GH]— (F«+G). (Gii— F)' s=^o.

Cette équation donnera au moins une valeur réelle pour> u; on- en tirera une valeur semblable pour l'angle 4 y^t en la substituant dans l'une des- deux équations (r), on aura la valeur correspondante dd 9. Concluons de là qu'il est toujours possible de trouver pour les angles ^, 4> ® ^^ système de valeurs réelles qui satisfas^nt aux équations (^) , et que par conséquent il existe dans tout corps solide un système d'axes par rapport auxquels on a

L'équation qui détermine u étant du troisième degré, on pourrait croire qu'il existe dans chaque corps trois systèmes d'axes semblables; mais il faut obser^ ver -que {i rejNrésente généralement la tangente de l'anglercompris entre l'axe des x et les intersections du plan des a: y y avec les plans relatifs aux coordonnées ^^y et J2;'> puisque rien n'indique en effet lequel de ces angle&on a considéré , et que les équations précédentes sont également satisfaites lorsqu'on change les uns dans les autres les trois axes des x^ ^ des^' et

a 24 THÉORIE ANALYTIQUE

des ^^ La valeur de k doit donc ' être donnée par une équation du troisième degré dont toutes les racines sont réelles , et il n'en- résulte généralement qu'un seul système d'axes.

Ceâ axes, dont on doit la connaissance à Ëuler, ont été nommés, comme nous lavons dit, cujces princi-* paux; on les appelle aussi cujces naturels de rotation^ à cause d'une belle propriété du mouvement qui leur est particulière « et que nous ferons bientôt connaître.

3:i. On nomme moment it inertie d'utr corps par i^pport à un axe , la somme des élémens dont ce corps se compose , multipliés respectivement par le carré de leur distance à cet axe. Ainsi, les trois quantités que nous avons désignées n° 29 par A, B , C , représentent les momens d'inertie du corps qui se rapportent respectivement aux axes des x', des x' et des z'. La valeur du moment d'inertie varie avec la position de l'axe auquel on le rapporte; mais lorsqu'on connaît les momens d'inertie relatifs aux axes principaux , il est facile d'en conclure le moment d'inertie relatif à un axe quelconque.

En eflfet, soient comme précédemment or',^ et jb' les coordonnées de l'élément dm relatives aux trois axes principaux , et soient a:, 7* et i^les coordonnées du même élément rapportées à des* axes quelconques ayaiit la même origine ^ Proposons-nous de déter^ miner le moment d'inertie relatif à l'un de ces nouveaux axes, à celui des z,far exen^ple.Si l'on désigne piar C ce mcmient , on aura

C = S.(x* ^jr*).dm.

DU SYSTÈME DtJ MONDE. 195

Si Ton substitue dans cette formule pour xety leurs yaleurs (i)^ on aura^ en vertu des équations (m),'

C =^ (i ^ éJ'*).S.af'dm + (i — l/^^).S.y^dm

+ (i — c"»).S.z'*rf/?i.

Mais a"* 4* ^'* + c'* = i ; en substituant pour I ^- a'% 1 — y*^ i — c"% leurs valeurs^ 'Fëquation précédente donnera

Les trois quantités uT, i% c*^ représentent les cosi-* nus dés angles que forme Taxe des z avec les axes des jf/, des^ et des z' : le moment d^inertie dun corps pai* raji(K>rt à un axe quelconque passant par un point donné, est donc généralement égal à la ^onune dos momens d'inertie relatif aux axes principaux . qui se croisent en ce point, multipliés respectivement par le carré du cosinus que forme aveô eux Faxe donné.

Le plus grand et le plus petit des trois momens d'inertie A, B , C, seront un maximum et un minimum relativement à tous ceux qui se rapportent à des axes passant par l'origine des coordonnées a:', /', z'. En effet , sôit A la plus grande , et C la plus petite ides trois quantités A, B, C, en mettant i — ^ y* — e'* à la place de a'* dans la valeur de C, on aura

Les différences A — B ^ A -^ C , sont positives par hypothèse ; donc C est plus petit que A , quelle que

soit la valeoir de V' et d^. Si Ton donne à la Trieur de G '• cette forme

on voit au contraire que C est toujours plus grand que Qké

Silesdeux mûxnens d'inertie Â.et B étaient égaux ^

on aurait

* \ . Cette valeur ne dépendant que de c% le moment

d'inertie est le même par rapport à tons les ax^s formant im même angle avec f axe des z\ Lés lUomèns d'iûertte Mlatife à tous les axes compris dans le plan des x'y^ qui font un angle droit avec l'axé des %% sOât donc^^lors ^aùx entre eux ; mais , dans ce ès^jrtouti^stèiticf d'axés compotdë del'axe des z' et de deux axes perpendiculaires entre eux ejt à cet axe, forme un système d'a'xes principaux^ c'esl4i^dire que Ton a par rapport à ce système

^»xjf^dm^^=iQ^ S.xz.dmz=so, S^yz.dmzzzo.

En effet, sîTôn substitue pour jr,/, 2; leurs valeurs n* 58 dans ces équations, on a

La suppontioA de A c=s B^ donflie

S.jcf^dm = S.y*dm4 Lés trois équations précédentes en vertu des rela-

DU STàTÈME DU MONDE. 127

tioos- (n), peuvent donc s'ëcrire ainsi :

ce'' . (S . x'^dm — S . z'*dm)^^ o ,

On satisfait à ces équations en supposant c = o^ c'= O/ ce qui donné ^"ss i. Tous les axes situés dans le plan des \x^y sont donc des axes principatïXy et le corps a une infinité de systèmes d'axes sem-^ Uafales qui ont tons pour axe commun l'axe de^ 1^.

Eafiii> si l'on a en même temps Âs=Bî=:iC^ Véquà*tion Çky donnera généralement C'r=:Â': tous les momens d^inertie sont donc égaux ^ et tous les axe^ du corps sont des axes principaux. En effets les équation$ (s) sont alors satisfaites, indépendamment de toute Valeur donnée aux quantités a, i, c, etc. On a donc, par rapport à tout système.d'axe rectangulaire passant' par l'origine des coordonnées x', j*' et z'^

%»xjr.dmz=:Oy ^.xz.dmssszo^ S^jrz.dmsssi o.

Cette prdprieté appartient à la sphère > l'origine des coorâôiinées étant au centre; nsais elle tonyi^nt encora à tme infinité d'autres solides.

Désignons par x^ r, t les eoôi^onnées du centre de gcavîté d« eorps, par x^f^z les coordonnées de l'élément dim par rapport à ce points en sorte qù'tfn ait;r=a:^-|-x, jrz=:jr^+Y, £=z, + z^ on aura

C = s . [(x,H- xY+ij, + yy] .dm=:S .{x; +jr;).dm

128 TfflËO&IE ANALYTIQUE

Mais, par la propriété du centre de gravité, S . xiirw=.o\ S.jr^dm=0} en désignant donc par m la niasse du ' corps, par a la distance dé l'axe des z^ à Taxe des z, on aura simplement

C = S^ (a:/ -+-^/) édm -f- a^m.

Cette équation donnera immédiatement le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque, lorsque le moment d'inertie relatif à un axe mené parallèlement au premier par le centre de gravité sçra connu. Elle fait voir aussi que le {Jus petit de tous les momens d'inertie diun corps se rapporte à l'un des trois axes principaux qui se > croisent à son centre .de gravité. , , .

55. Les quantités./?, y, r, introduites pour la première fois par Euler dans les équations du mouvement de dotation, jouissent de plusieurs propriétés qu'il ifaut faire connaître, parce quelles montrent clairement de quelle manière- ce mouvement s*ef-

comme. on sait, les composantes parallèles aux axes dçs a^jA^sjr et dçs;3 de la vitesse, dont l'élément dm est animé. Cette vitesse est nulle pair rapport aux points du coi^ qui restent immobiles pendant l'instant dtien différenciant donc les équations (t)n'' 28, on aurf, pour déterminer les coordonnées a:',/', z' de ces points ,

x^ da +^' db -|-z' de =0,

x' dd 4-/ di/ +z' de* =0,

01^ da^ 4.y db'*^^ dd'z= o.

Si Ton multiplie la première de ces équations par c^ la seconde par c'y la troisième par c'', et qu'on les

ajoute f on aura

pf^qx'—o.

Si Ton multiplie ces mêmes équations, la première par by la seconde par V, la troisième par V; qu'on les ajoute ensuite , on aura

rjc' — pz' =10.

Enfin^ si Ton ajoute ces mêmes équations, après avoir multiplié la première par a , la seconde par a' et la troisième par a", on aura

çz' — ry'=:o.

Ces trois équations , dont la dernière résulte des deux autres, sont celles d'une ligne droite passant par l'origine ; tous les points situés sur cette droite restent donc immobiles pendant l'instant dt, et le corps, pendant cet intervalle de temps , tourne autour d'elle comme autour d'un axe fixe.

Cette propriété a fait nommer cette droite aoce instantané de rotation. Sa position par rapport aux axes principaux des a:', des/' et des/ est déterminée par les trois quantités /? , ^, r, et les cosinus des angles qu'elle forme avec chacun de ces axes sont respectivement exprimés par

La vitesse angulaire de rotation autour de l'axe Tome I. 9

i3o THÉORIE APIALYTIQUE

instantané est la même pour tous les points du corps : proposons-nous de déterminer cette vitesse. Pour cela , considérons le point situé sur l'axe des z à une distance de l'origine égale à l'unité. Nous aurons pour les coordonnées de ce point a:z=:o, jr=zo, z= i : sa vitesse absolue sera donc

En divisant cette vitesse par la distance du point à l'axe instantané de rotation^ on aura la vitesse angulaire de rotation du corps ; cette distance est égale au sinus de l'angle que fait l'axe de rotation avec

l'axe des z, angle dont ~ exprime le cosi-

nus; la, vitesse angulaire cherchée sera donc

\/{dd'^^^'^dc'^)

en observant que par les équatioii& de condition (/7 ) ^

{p*-\-ei'),dt*=:dc*+dc'^'^dc'*-^{cdc+c'dcf+c'dc'),

et que Téquatioa c* •+- ^'^ •+• ^'* = i donne en diffé^ rendant crfc + c'&' -f- c'^' = o.

Si l'on nomme donc et^ C^y, les angles que l'axe instantané de rotation fait avec les axes des 3^ y àesy et des z^y et p la vitesse de rotation y on aura

p =: p.cosuy ç z=2 p.cosSy r=z p.cosy.

On peut encore y au moyen des quantités /?, ç, r, donner une forme très simple à l'expression de la

DO SYSTÈME DU MONDE. i3i

force vive du corps. En effets si Ton désigne par T cette quantité^ on aura

Si l'on substitue dans cette équation , pbun*^^

^ et ^ , leurs valeurs tirées des équations ( i ) , en observant qu'on a, comme nous venons de le dire,

on trouvera

Cette expression nous sera utile dans la suite.

Il siiit de ce qui précède, que, quel que soit le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, ou supposé tel, ce mouvement peut être regaâr^ comme un mouvement de rotation autour d'un axe fixe pendant l'instant dt. mais dont la position varie dun instant à l'autre. Les trois variables;?,,^, TJ?^ terminent cet axe par rapport aux axes principaux;; elles font connaître aussi la vitesse de rotation du corps. Quant à la position des ax^ principaux d»3S l'espace, on la déterminera, comme nous l'avons dît^ an moyen des équations (e?), quand les valeurs de Pf qy r seront connues, et là situation du corps sera ainsi complètement fixée.

34* Donnons quelques applications des formules précédentes. Proposons-nous d'abord de déterminer le

1 3a THÉORIE ANALYTIQUE

mouvement de rotation d'un corps qui n'est soumis à Faction d'aucune force accélératrice , et qui tourne à très peu près autour d'un de ses axes principaux ^ comme cela a lieu pour la Terre et les planètes. L'analyse de cette question nous fera découvrir de nouvelles propriétés très importantes des axes principaux. Dans ce cas^ les seconds membres des équations (C) sont nuls, et l'on a d^abord à intégrer les trois équations suivantes :

AJ/? + (C — ■ B) . ^r . rf/ ==10 , Bdif+(k — C).rj}.dl=:o,} (h) Cdr +(B — 4t)./?7.«&=o.

Supposons que le troi^ème axe principal soit celui autour duquel le mouvement s'effectue à très peu près, le sinus de l'angle que forme avec lui l'axe instantané

de rotation sera -— -^=^==== : et comme cet angle doit

toujours demeurer très petit par la suj^sition , petq seront aussi de très peâtes quantités. Si l'on néglige donc leur produit dans la dernière des équations précédentes, elle se réduit à Cdr=o; d'où Ton tire r=n, en désignant par 72 une constante arbitraire. La vitesse

angulaire de rotation est \p* + y * + r*; en négligeant le carré de p et de 9, elle est donc égale à n, et par conséquent elle est à très peu près constante. Les deux premières équations ( À ) deviennent ainsi

A^dp + (Ç — ^).nç.dt=^ o , Bdqrh (A — C).np.d€=: o.

DU SYSTÈME DU MONDE. i3à

Pour satisfaire à ces équations y faisons

^ = ^.sin(& + A:), ^ = A^cos(& + A:); la substitution de ces valeurs douneoa

Àtt4-(C — B)./iA'=;o^

B/A'+(C — A)./ïA=o; d'où Ton tire

les deux constantes / et V seront donc déterminées par ces équations , et les constantes ^ et A: demeureront arbitraires..

Les valeurs de y?^ q^r étant connues^ il ne reste plus à trouver que celles des angles 4>^ 4^ 6 'qui déterminent la position des axes principaux dans l'espace. On peut le faire d'une manière-très simple dang ce cas. Eu effet, les deux premières jéquations (c) du n"" 3o donnent, en éliminant iiî^>

^ 3=s an ^.j^F^ i.^ COB-^.;'€&.

L'angle d est donc une très petite quantité du m£me ordre que ;; et q. Si Ton néglige le caiTe de 0^ 1^ denuèrè^ de ceâ équations devient

dp — d^unHU't

d'où, en intégrant , on tire c étant une constante arbitraire.

i34 THÉORIE ANALYTIQUE

Snpposons maiotenaat

les deux premières équations (c) n*^ 5o, en y substituant pour d-\/ sa valeur^ et négligeant toujours les

termes du second ordre par rapport à 0 , donneront

." • ■ • ds H- ru.dt zzz'-^pdt^ du'^rs.dt:=: qdi.

Si dans pas équations on remplace Pf ^fr par leurs valeurs^ on aura deux équations linéaires du premier ordre entre les inconnues ^ et w, et l'on y satisfera en fîtisant

fi^ g jetant deux nouvelles constantes arbitraires.

La question est ài^si complètement résolue ,. puisque les quantités ^ et u étant connues en fonction du temps, ôb^finr» à cbdqcie Instant les valeurs des angles (p ejt 0 , et par suite celle d.e •4/ qui est déter^ mîiyé en fonctiox\ dé ç et de^. L -introduction dés variables s et ii ; qui sont toujours die très ^Hetitqs mian^ du même ordre que sih &, {adUte la solution de ce problème; elle est duc^àLagrangei dtl'on verra qu'elle est de la plus grande utilité dans la théorie iç la Lune.

La forme des valeurs Se p et ^ donne lieu à une remarque importance* La constante h dépend de l'angle que fait à l'origine du mouvement l'axe ius-

DU SYSTÈME DU MONDE. i35

tantanë de rotation avec le troisième axe principal : si cet angle y au lieu d'être très petite est suppose nul p on aura pour cet instant pssso et ^ = 0, et par conséquent A = o et Af = o. Les quantités p etif seront donc nulles pendant toute la durée du mouvement f et Taxe de rotation coïncidera toujours avec le troisième axe principal. Il suit de là que si le corps commence à tourner autour d'un de ses axes; principaux^ il continuera à se mouvoir uniformément autour de cet axe ^ et c'est par cette raison que ces axe& ont été nommés axes naturels de rotation^. Réciproquement^ si l'axe instantané demeure immobile > on est assuré qu'il est un des axes principaux du corps* En effet, pour que l'axe de rotation conserve la même position dans l'intérieur du mobile , il faut que les trois quantités p^ q, r soient constantes ^ ce qui donne dpzs=.o, dq^^io^ drssLo; les trois équa--^ lions ( h) deviennent donc

(C — B),9r.d/ = o, (A — C),fy^.rf^s==o,

(B — h).pq.diz=so.

Sï les tf^ momens d'inertîe A , B^ C sont inégaux ^ il faudra , pour satisfaire à ces équations ; supposer nulles deux dés quantités p^ q ^^i alors Taxe iiistàntoné QOïiicîde avec l'un des axes principaux. Si deux dé ces momens sont égaux, si l'on suppose, par exeâipU, As=B, la dernière des équations précédentes est identiquement nulle ^ et Ton satisfait aux deux premières en supposant /* =^ o. L'axe de rotation est alors situé dans le plan perpendiculaire au troisième axe prindpal ; mais nous avons vu n^ 32 ,

:i36 THÉORIE ANALYTIQUE

qu'alors tous les axes compris dans ce plan sont des axes principaux. Enfin ^ si Ton a à U fois A=r:B£= C ^ ççs trois équations seront satisfaites indépendamment de toute valeur donnée kpfq^r; niais^dans ce cas^ tous les axes du. corps sont des axes priticipaux.

La propriété d^être des axes invariables de rotation convient donc exclusivement aux axes principaux; mais il y a à cet égard une distinction à établir entre eux. En effet ^ remarquons que , pour que les valeure de p et de (j demeurent toujours très petites^ comme nous supposons qu'elles le sont à Torigine du mouvement, il ne suffit pas que les constantes h et h' soient très petites ^^ il faut encore que la valeur dé la constante / soit réelle ; sans cela le;». sinus et cosinus que renferment les quantités p et ç se changeraient en es;ponentieUes^^ dont les ex^ ppsans seraient proportionnels h t, et ces valeurs par conséquent pourraient croître indéfiniment avec le temps. Ainsi , dans le premier cas ^ Taxe ii^tantané ne fera que de petites oscillations autour de l'axe principal ; mais , dans le second , il pourra s'en çcarter considérablement y quelque rapprochés qu'aient été ces deux axes dans^ Torigine. .Or, pour que la va^eui^ de / soit réelle , il faut que le produit (A — Ç) . (Ç — r C). soit positif^ c'est-à-dire que le moment d'inertie C, relatif à l'axe principal autour duquel osçillç l'axe instantané^ soit le plus petit ou le plus grand des trois momeils d'inertie A, B, C. Il s'ensuit que , si le mouvement du corps a commencé autour d'un de ses axes principaux , et qu'une force perturbatrice quelconque dérange infinimenjt

peu son axe de rotation ^ le corps continuera de tour-* ner à très peu près autour de l'axe principal , si la quantité (A — ^ C) . (B — C) est positive j mais , dans le cas contraire , l'axe de rolation s'en écartera indéfiniment y et il suffira alors de la cause la plus légère pour changer . totalement la nature du mouvement. Ainsi le mouvement de rotation e^i stable par rapport aux deux axes principaux qui répondent au plus grand et au plus petit moment d'inertie , et il ne Test pas relativement au troisième.

55. Considérons maintenant d'une manière générale le mouvement d'un corps qui n'est animé par aucune force accélératrice , et qui peut se mouvoir librement autour d'un point fixe^ différent ou non de son centre de gravité. Reprenons les équations {h) du n* précédent.

hdp -f- (C -ri- B).yr. dt •=. Of\ B^ + (A — C)./7?,d^= o, > {h) Crfr + (B — k).pq.dt = o. )

Si Ton multiplie la première par p^ la seconde par qy la troisième par r^ qu'on les ajoute et qu'on intègre leur somme; on aura

A;>V+ %» + Cr» = A. (i)

Si l'on multiplie ces mêmes équations , la première par A/?; la seconde par B^^ la troisième par Cr/ qu'on les ajoute et qu'on intègre l'équation résultante, on aura

A»;?» + B*7» + CV = k% (3) /i et A étant deux . constantes arbitraires.

i38 THÉORIE ANALYTIQUE

La première intégrale est l'expression de Ik force ^ vive trouvée n* S3j elle montre que cette force est constante, conformément au principe énoncé u® a^. 1

Des deux équations précédentes^ on tire

• — ^'— BA + (B — Q.Cr»

Si Ton substitue pour p et q leurs valeurs dans la dernière des équations (A), et qv^on la résolve par rapport ^^dty on aura

dt^^ — ■ ■ ■■■ ' ■ -- — (3)

Cette équation donnera par les quadratures la valeur de t en r, et réciproquement la valeur de /' en fonction da t; cette valeur substituée dans les équations (it) fera^ connaître à chaque instant les valeurs Aep et q. Mais l'intégration d'où, dépend la valeur de t ne peut s'obtenir sous forme finie, que dans le cas où deux des t^ois momenà d'inertie A, B, t sont égaux entre eux. \

Les trois quantités p^ q^ r détermineiit, n® 53, les mouvement <îu corps par rapport aux axes principaux» Il reste à déterqiûiar les trois loties ^^ 4^» 6 qui fixant, la position de ces axes. A|i lieu.de. recourir pour cela aux équations (c) a"" 3o i on peut trouver trois nouvelles intégrales des équations (h) qui faciliteront cette recherche. En eflFet, si l'on multi^ie la premièi^ de ces- équations par a, la seconde par h, la

DU SYSTÈME DU MONDp. iSg

troisième par c; qu'on les ajoute ^ et qu'on intègre leur sommes qu'on répète la même opération par rapport à d^ Vy c\ et. par rapport à a", b'\ d\ en âdsant attention aux équations (/? ) n"* 29^ et aux relations {ni)y (n)^ u® 28^ on aura

l^ Vj V étant trois constantes introduites par Tintégratïon. Ces équations , qui coïncident avec les équations (0 ^ 29,. renferment le principe des aires.

Si ces trois intégrales étaient réellement distinctes entre elles, on en tirerait, sans nouvelle intégration , les valeprs de ^, 4*^ 0> au moyen de celles àepyiff r, qu'on peut regarder comme déterminées. Mais Fune quelconque de ces équations rentre dans les deux aut^s, en vertu de Téquation (2). En effet, si Ton ajoute ensemble leurs carrés, on voit quie cette somme se réduit à

équation qu\ , en la comparant a, l'équation citée , donne entre les constantes Je, /, T, P^, Véquàtion de conidrtiôri

Les équations (l) ne pourront donc servir qu'à déterminer deux des inconnues ^ , 4 ^ ^ j il faudra nécessairement recourir aux équatiops (c) pour dëtermi^ ner la troisième^ ce qui exige par conséquent une nouvelle intégration.

Pour rendre cette intégration possible, on est

i4o THÉOME ANALYTIQUE

obligé de faire une hypothèse sur le choix des plani ^ coordonnes^ que nous avions jusqu'ici regardé comme ^° arbitraire. On suppose que l'un d'entre eux se confond *3 avec le plan quç nous avons nommé invariable n° 23. ^ La propriété qui le caractérise > c'est que la. somme ^ des aires décrites par les rayons vecteurs des. élémens ^ du corps pendant lé temps C, et multipliées par les £ masses de ces élémens, est un maximum par rapport . à ce plan, et qu'au contraire par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire, elle est égale à zéro» i Les constantes />. 1% t' répondent ici aux constantes c,,ç', c" du n** 23 ; cette somme, relativement au plan

invariable , est donc égale à j f . V* + /'•+/"■ ; et en désignant par gl, €, y les angles que forme la perpendir çulaire à ce plan avec les axes des x , des j* et des z , on a

COS Ot=î=T, COSb=T, COST/SSSt-.

Si l'on prend ce plan invariable pour plan des x x, on aura /pso, f;==o, t'zazk, et les équations (/) se réduiront aux suivantes

d'où l'on tire, en verto des équations (m), n* 28,

a — . ^ , »^ — ^ , c ^ , OU biea , en mettant pour a'^, £ > d' leurs valeurs n"" nS^

Nous désignons ici par ^^, 4/^6; ce que deviennent^

DU SYSTÈME DU MONDE. i4i

relativement au plan invariable , les angles ^^ 4^ ^ qui se rapportent à un plan fixe quelconque.

Ces équations donneront immédiatement les valeurs des angles ^^ et 6^ en fonction du temps au moyen des valeurs connues de p, q, r. Pour déterminer le troisième angle :4/^ éliminons ^6 entre les deux premières équations (c) ; nous aurons

sin* 9^ .â^f = sin 8^ .sîn ^^.pdt'i^ûnB^.cos ^^.qdc; éqaaftion qui , en vertu des précédentes , devient

d'oii^ en observant que A/^^+'By* s» A^— Cr*, on tire

Si dans cette équation on substitue pour dt sa valeur^ on trouve

V (it*-CV).V/[^-BA-t-(B-C).Cr»].[-/r»+AA+CC-A).CH!] ^

Cette formule donnera par les quadratures 4/ ^n fonction de r, et par suite 4/ ^^ fonction du temps.

On connaîtra donc à chaque instant les valeurs des six variables p, q, r, ^/ , 4 / > ^/ >■ ^^ V^^ suffit pour déterminer toutes les circonstances du mouvement du corps. Ces valeurs renferment quatre constantes arbitraires^ savoir, les constantes het k, et les deux constantes qui sont introduites par l'intégration des valeurs de.ii^ et de <i4/' ^^^ intégrales d'où dépend la solution complète du , problème devraient généralement contenir six arbitraires; mais il faut remarquer

qu'en prenant pour plan dès x et des^, le plan prin- f cipal de projection , noua ayons fait disparaître deux \ de ces arbitraires^ puisque cette supposition a donné ^ /=o, t=:Oy et que d'ailleurs les angles ^^| 4/^ ^/> * dont nous tenons de déterminer les valeurs^ ne sont '^ relatifs qu'à ce même plan. Il sera facile^ lorsqtte ces ' valeurs seront connues^ d'avoir celles des angles ^|%[/^ 9^ qui se rapportent à un plan fixe quelconque ^ par les formules de la Trigonométrie sphérique , et cette de» terminaison introduira deux nouvelles constantes dé^ pendant de la position du plan invariable par rapport au plan fixe ^qui^ jointes aux quatre précédentes^ compléteront le nombre desconstantes arbitraires demandé. En effet ^ désignons par y l'inclinaison du plan invariable sur le plan fî^e^ par cl l'angle que forme avec une droite menée sur le dernier de ces plans leur commune intersection , et considérons le triangle sphérique intercepté entre ces deux plans et le plan qui renferme les axes principaux des x' et des y. D'après la désignation donnée aux quantitées cp ^ 4 ^ ^^

angles de ce triangle seront > , ô, 200**-ô , et les côtés respectivement opposés ^ — ^^, 4"~*^ ®* 4/ > ^^ ^P* posant que l'angle 4 9 T^ ^ compte sur le plan invariable à piirtir d'une ligne arbitraire^ soit dompté à partir de l'intersection de ce plan avec le plan fixe. On aura donc par les formules connues

.cos6 = cosj^.cosfl^-^- sinj/.sinfl^.cos^/^ sin (^ — r ^ J . sin â = sin4//-sîi2>^ . sin(4-^0t)^.sin8 = sin4/«sin 9^.

ss équations donneront les valeurs des trois angles ^ ^l^, 6^ an moyen des angles ^^, \(/^, 0^, et des mx arbitraires ^ety, qui dépendent de la position a corps <à l'origine du mouvement.

n ne nous reste plus ,' pour achever la solution du roldèmis que nous venons de traiter^ qu'à montrer QOiment les si^ constantes qui servent à la compléter leayent se déterminer d'après les circonstances iniiales du mouvement. Pour cela^ supposons que le Xirp6 ait reçu une impulsion primitive quelconque^ qui le passe pas par son centre de gravité ; soit (^ la vitesse {ue cette force imprimerait à la masse m, regardée x>mme un point , en sorte que mu soit la mesure de »on intensité^ et soit de plus f la distance de sa direc* don au point fixe autour duquel le corps est forcé de tourner; mi^ sera son moment par rapport au même point. Quelles que soient les quantités de mouvement dont sont animés les diffei^ens points du mobile^ il est évident que l'impulsion primitive^ prise en sens contraire de sa direction^ doit leur faire équilibre; d'où il suit que la somme des momens de toutes ces forces projetées sur un même plan doit être égale à zéro. Or, le moment de la force mif est le plus grand possible relativement au plan qui passe par sa direction et par le point fixe ; ce plan est donc le plan invariable. La sonune des aires décrites pendant le temps tj par lés rayons vecteurs des molécules du corpSy projetées sur ce plan et multipliées respective^

ment par ces molécules, est 1 1 . \/^*+ ^'H- r*= ^ t . k. Si l'on multiplie par ^t le moment /tip^ le produit doit ètre^ par ce qui précède^ ^al à cette

somme* On aura donc A: = /wp/'pour déterminer la • constante k. ^

Si l'on suppose connue , à l'origine du mouvertient , ' la position des trois axes principaux du corps relativement au plan invariable , les angles (p^ et fl^ seront donnés 9 et Ton aura, par les équations (o), les valeurs de p, q, r à l'origine du rnouvementj en les substituant dans la première intégrale (i)^ la valeur de la constante k sera détentûnée.

Quant aux deux constantes qui résultent de l'intégration des valeurs de dû et de d^^ ^ la première dépendra de l'instant d^où l'on comptera le temps ^ et la.secondjs de l'origine de l'angle 4^^ cpi^ ^'oi^ P^^^ prendre arbitrairement sur le plan invariable.

jEnfîn , les deux constantes a et y, qui déterminent ce. plan par rapport à un autre plan fixe quelconque , seront cpnnues^ puisque^ sa position initiale est supposée donnée.

En rassemblant les résultats précédens, on voit/ n® 2^, que, ai un corps de figure quelconque reçoit une impulsion primitive qui ne passe pas par son centre de cavité, ce point sera emporté dans l'espace comme si l'impulsion lui était directement appliquée, et que le corps prendra , autour de ce centre , le même mouveiiient que s'il était immobile. Ces principes servent à expliquer comment le double mouvement de translation et de rotation* des planètes , qui parait au premier abord si compliqué , a pu résulter d'une seule impulsion primitive qui ne passait pas par leur centre de gravité. En supposant la Terre une sphère homogène, dont le rayon est R,.et nonftnant f la

DU SYSTÈME Du MONDE. 145

distance de la direction de l'impulsioii primitive à son centre 9 on trouve qu'en vertu du rapport qui erkte entrç la vitesse angulaire de rotation de cette planète^ et sa vitesse de révolution autour du Soleil , il £Btnt qu'on ait^ à très peu près, /= liô-R.

36. Déterminons enfin le mouvement de rotation d'un corps solide retenu par deux points ou par un axe fixe. Au lieu d'employer les équations (C) du n"" 5o, il est plus simple dans cette recherche de recourir aux équations primitives (a) du n* 2^. Prenons l'axe fixe dé rotation pour l'un des axes coordonnés, pour celui des x, par exemple j supposons cet axe horizontal ainsi que l'axe des j', et l'axe des z vertical et dirigé vers le centre de la terre ; supposons de plus que le plan des^z, dont la position est arbitraire, passe par le centre de gravité du corps : la dernière des équations (a) n* 27 suffira pour déterminer dans ce cas toutes les circonstances du mouvement. On aura donc

Faisons passer un plan par l'axe de rotation et par le centre de. gravité du corps; il est clair qu'il suffira de combattre là trace de ce plan sur celui des^is pour avoir, à chaque instant ^ la position du mobile. Prenons cette ligne pour l'un des axes de nouvelles coordonnées y, j^, et nommons 0 l'angle que forme cet axe avec celui des 2; on aura

jr —y cos fl+i' sin 9 , ;5=— y sîn Q+z' cos fl.

L'eqpaation (a) devient en 7 «substituant ces valeurs Tome I. 10

i46 THÉORIE ANALYTIQUE

^ ; S . ( /«-f- 2^). finas -^S . ( jZ — sY) . f/m.

L'ioAégnale S.{y^-\-z'^).dm est le moment dlnertic du corps par rapport à Taxe des x\ en désignant donc par A ce inoraent^ l'ëqntfion du mouvement de rotation sera simplement