CHAPITRE VI

De V Équilibre desjluides.

37. Un fluide est un amas de molécules matérielles cfui cèdent sans résistance au moindre effort que Ton fait pour les séparer. Cette extrême mobilité qui carac*^ ténse les fluides et les distingue des corps solides , exige de nouvelles considérations pour découvrir les lois de leur équilibre ., et fait de cette partie de la Mécanique une science à part. En effets il ne suffit plus ici que les forces appliquées au corps qui leur sert'd^ntermédiaire se fassent équilibre , il faut encore que chaque particule du fluide sait elle-même en équilibre, en vertu des forces qui Tanlment et des résistances qu^ellé éprouve de la part des molécules environnantes. Exprimons analytiquement ces con-^ ditions.

Parmi les propriétés particulières aux fluides, celle qui paraît la plus propre à s'adapter au calcul et à guider dans cette recherclie , est la faculté qu'ils ont de transmettre également et dans tous les sens la pression qu'on exerce a leur surface. En effet, on peut regarder la pression que supporte chaque élément de la masse fluide comme une force qui agit sur lui; cette force varie pour chaque point de la masse/ et peut s'exprimer par conséquent en fonction

dEçs coordonnées^ qui determinient sa position» La di^ tëremoer des pressions qui s'exercent sur deux faces opposées et parallèles de cet élément ^ est la forœ qui tend à le mouvoir dans une direction perpendiculaiise à ces faces ^ et dont Fefl^t doit être détruit par les forces accélératrices qui Taniment; d'où il suit que si l'on considère la masse fluide comme une infinité de petits parallâépipèdes rectangulaires^ dont les trois dinronsions sont lès éléraens infiniment petits des coordimnées qui fixent leur position ; qu'on: suppôt toùtes^ les Cdvces accélératrices qui agissent sur elle décomposées parallèlement à ces axes y on aura immédiatement trois équations aux différences partielles eiitre ces forces et la pi*ession qui en résulte^ d'où Ton pourra déduire^ au moyen du calcul inlégral, la mesure de cette force , et les. relations qui doivent exister entre les, forces accélératrices données pour que l'équilibre soit possible.

Toute la théorie de l'équilibre des fluides ekt reivferméè dans ces trois équations générales , auxquelles Qairaut est parvenu le premier, mais qu'il avait déduites d^une manière moins directe et moins simple du principe de l'égalité de pression en tout sens. Nous allons développer ces équations, qui nous seront de la plus grande utilité dans la théorie de la figure dès corps célestes.

On divise ordinairement les fluides en deux espèces : les uns incompressibles , comme Teau et les autres liquides ;^ ils peuvent changer de formé, mais isaus changer de volume ; les autres , tels que l'air, les gaz , les vapeurs> peuvent changer à la fois de figure et de

i5o THÉORIE ANALYTIQUE

Tolume ; ils tendent toajours à se dilater et h occuper un plus grand espace > et Texperience a prouve que Tefiort qu'en yertu de cette propriété ils exercent contre les^ parois des yases qui les renferment estv pour un même fluide pris à la même température , proportionnel à la densité ; en sorte que si Ton nomme p cet «Sort, qu'on appelle aussi H force élastique du fluide^ €t p sa densiié, on sl p^s=ik.p; k étant une constante qui dépend de la nature du fluide et de la température^ Le principe de l'égalité de pression en tous sens s'applique également à ces deux espèces de fluides , ainsi que les conséquences que nous en allons déduire.

58. Considérons une masse fluide sollicitée par des forces accélératrices quelconques. Soient dm un des élémens de cette masse ^ que nous regarderons comme un petit parallélépipède rectangulaire ; a:, jr, z, les coordonnées de l'angle solide le plus rapproché de leur arigiâe; le yolume.de cet élément pourra être représenté par dlrc^^^ > et en nommant p sa densité, on aura dm's=zf.dxdj'dz. Désignons par X, Y^ Z, les trois forces accélératrices qui agissent sur dm parallèlement aux axes des coordonnées. ILdm y Ydm , Zdm seront les forces motrices qui sollicitent cet élément dans la direction des mêmes axes.

Nommons p la pression qui s'exerce sur la face supérieure dz dy de Télément dm , et ;?^ la pression qui s'exerce sur la face opposée ; ces pressions étant rapportées à l'unité de surface, {p* — p^.dzdy sera la force qui agit sur dm parallèlement à l'axe des x , en yertu de la liaison des parties dû fluide. Les deux

Dtor SVSTÈME DD MOlfDE. i5i

forces f^éty/^soAt ^lirlgéés" eA ^s cbinlAÎfë ; 'oép^ dànl , eMIlbe la- priessiori^ cpk^éproikë t^aé^e "élâAetrt du ftttide 'vst- la même da^«6ti!l<1es setls ; cm ]^«ttt supposer qée C6s forces âgès^flt^fcftis la mëme*^<}irection, et alors p' est ce que dfeyîAitvj^ lors^ttè JC vitîè,

j et z restant les mêmes*. Qtf a donc ;/— /7=^'.dbcj

et la force totale qui sollicite dm suivant l'axe des x

sera, par conséquent jfAp ~^ J .dxdjrdz. On aurait

de^ ihèitae (Vjj -i:-^^) :axdydz , et (Zp^ J) . dxdjdz ,

pour lès finrce^ qui s6Qi<xtent cet. élément'' parallèlement aux axes des jr et des z. Pour qull y ait équilibre dans la masse' fhnde^ il^fatit done qfue led trois quantités précédentes soiient' égales à eéro, ce q\Â donne

Telles sont les équations générales, d^v l'équilibre d'une masse fluide homogène ou hétéiNOgène^. compressible ou incompressible ^ sollicitée p#r des forces accélératrices quelconques. Les considérations très simples par lesquelles nous y sommes parvenus appartiennent à Euler.

Si Teh multiplie ces équationâ^ la première par tfr, la secondé par rf^, la troisième par dz ; qu'on les ajoute ensuite , et qu'on intègre leur somme , on aura

/ dff=z^.ÇLdx + ^dj+Zdz)., (2).': . . Le premier membre de cette équation est une dîffé-

i&i T#ÉC«lIfi ANALYTIQUE

.reiU;ielle esM^te,; Al fyxtt iàoac Uneh secoad le soit •aussi, pcHur que 4}ette ^^^cpiation soit possible. Celte CGiuUtion i^uferaii^ Sfulç.4es lois de l'équilibre des fluides. Si l'oD. él|f|ûna%.;^fur la ^âifiei^ntiatioa p des trais équations (x)>f^^a' , ^ .

dy "^ dx * dz """ dx ' dz "^ dy *

Ce sont les équations de condition nécessaires pour que le second membre de l'équation (2) soit une différence exacte I et par conséquent intégraUbeu On en tire

XI5^T m, rfX . n. rfX -V ^ I V ^25 r» dY

a« dt * dy dy ^ dx dx '

équation qui exprime la relation qui dmt exister entre les forces X^ Y^ Z^ pour que Téquilibre puisse subsister.

Si les équations précédenfes sont satisfaites^ l'équilibre est toujours possible, et il ne reste plus à déterminer que la figure extérieure de la masse fluide. Si l'on suppose le fluide libre à sa surface , la pression p 9en nulle pour tous les points de cette surface ; on aura donc^ pour chacun d'eux^ ;?=co, et l'équation (!i) deriendra

p .(X^ + Ydf •+- tek) t=s o ;

d'où il est aisé de conclure, n"* 4f q^^ ^^ résultante d(?s forces X, Y et Z doit être perpendiculaire à la surface libre du fluide; il faut d'ailleurs que cette force soit dirigée du dehors en dedans ; et l'on voit en effet à priori^ que, sans ces deux conditions, l'équilibre est impossible.

DU SYSTÈME DU UONDË. i53

Si le ihiîde est bomogène , la densité p est constante , et en liai prenant pour unité , lequation ( :i ) donne simplement

c est-4-dire que p dans ce cas , il faut , pour l'équilibre , que la fonction HdX'j^'Ydjr^Zdz soit une différence exacte. On a alors ^ pour Téquation de la surface libre du fluide y

fÇSJx + Xdy 4- Zdz) == const.

Mais cette équation est non-seulement celle de la surface extérieure du fluide , elle convient encore à tous les points pour lesquels la valeur de la fonction fÇLdx '\rXdf -^Zdz) est la même. Les surfaces que forment ces points ont la propriété de couper à angles droits la résultante des forces X, Y, Z^ et c'est par cette raison qu'on les a nommées surfaces de nit^au.

Supposons le fluide hétérogène, et la fonction Xdjc + Y^-+-Z£fe une différence exacte, ce qui a lieu toutes les fois que les forces X , Y, Z résultent des attractions des différentes parties d'un système de corps, et que leurs intensités sont des fonctions des distances mutuelles de ces corps. Faisons, pour abréger,

<p zzzfÇUx + \dj + Zdz);

9 étant une fonction des trois variables x,jr, z, l'équation (2) deviendra

dp a=z p. dç. (5)

i54. THÉORIE ANALYTIQUE'

Four que le second membre de cette ëqaafioli 60it, ^^ comilie le premier, une 'différenlielle exacte, il faut tl que la densité p soit une fonction de ç. La pression p t sera donc également fonction de 4) , et l'équation de la i surface libre du fluide sera fonct. (p = const. , ou i siinplemeat fx=:coEist., comme dans le cas de l'bo^ mogénéité. La pression et la densité sont donc les tmêmes pour tous les points d'une métne couche de niveau. La loi de la variation de la densité, en passant d'une couche à une autre, dépend de la fonction de Ç qui Inexprimé , et lorsque cette fonction est donpée, on en conclut la pression eu intégrant Téquation (5).

ïl suit de ce qui précède que , pour arriver à Tétat d'equîKbre, une masse fluide dont la surface extérieure est supposée libre doit se disposer de manière, I**. que la densité soit constante pour toutes les couches de niveau comprises entre deux surfaces de niveau infiniment voisines ; 2®. que la résultante des forces accélératrices qui agissent sur la surface extérieure lui soit perpendiculaire.

39. Il convient d'examiner ici un cas particulier qui à, dans la théorie du système du 'monde ^ une applicattîon très importante , et qui se déduit d'une manière fort simple des principes précédens , c'est celui où là masse fluide que nous considérons est douée d'un mouvement uniforme de rotation autour d'un. axe fixe. Prenons, pour plus de simplicité, cet axe pour celui des z; soit ca la vitesse de rotation commune à tous les points du fluide, et r la distance de lelé-

Dû STSTÉSflB DU MONDE. iS5

ment -dm qui répond aux coordonnées x^ j et :; ^ à Taxe de rotation. La vitesse de ce point sera ocr^ et la force centrifuge qui eh résulte , n^ i6^ o^V. Il faudra donc comprendre cette force parmi les forces accélératrices qui sollicitent cet élément. La fonction que nous avons désignée par ^ ^ n"" 38 9 deviendra ainsi

et Toa aura

pourVéquatioa difierentieUe des cottches de mveiiu et 4le la surface libre du. fluide*

li'introduction de la force centiîfuge n empêchera pas«»par conséquent , que la fonction d^ ne soit une différence exacte; l'équilibre sera donc encore ^p06siUe f pourvu que les conditions que noua avons énon-* cées dans le numéro précédent soient remplies.

TPeïles sont donc les lois qui ont dû présider à la formation de la Terre et des planètes, en- supposant qu'elles étaient originairement fluides, et qlie leurs molécules ont conservé, en se durcissant, la disposition qu'elleis avaient prise en vertu de leurs actions mutuelles et de la force centrifuge due au mouvement de rotation de ces corps.

i56 TBtORm ANALYTIQUE

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