I I , / 2 . /IM
<piW ajoute ensuite les différens produits, en obser-^ vaut que , par la nature de la fonction A,
tU , dx , . dx , dx .
jr.^-H/.^, +etc — x.^ — « . ^ — etc. =o,
dx dx , dx t dx . ^
on aura
d'où Fou tire , en intégrant ,
<// y^M+X.^ (U M+X.TO c/i
uyi THÉORIE ANALITTIQLË
équatioQ qui peut s'écrire ainsi :
(xdy-^ydx) + s mi» . ^ ■ -^^ J = ^-
Ou trouverait d'une manière semblable les deux autres intégrales suivantes :
(^zdx — xdz)
de
j. ,. ««' n«^-z).{d^x^dx)--{x'^x).{dz'-dz)n ,
de
c y c% c'[, étant des constantes arbitraires.
Ces trois intégrales s'accordent avec les équations (E) , n^ 28 et 26, livre I; elles renferment, comme nous l'avons vu , le principe de la conservation des aires. Si l'on multiplie les équations difiërentielles (D), la première par
• 2 . mdx
la seconde par
2mar — 2m . r;=-r —^ ; la troisième par
Cfu^on multiplie semblablément les équations difierentielles en x^y, 2' par les mêmes facteurs^ après y avoir changé les lettres m^ x^jTj z hors du signe 2y en m', x\y, z^, et ainsi du reste; qu'on ajoute ensuite toutes les équations résultantes , en observant que Ton a
</a , û(X , ^ dx dx ^ ^ dx . dx ,
on trouvera
^ (dxd^x -^dyd'Y'\'d*d^M) . ^.X.mdx mdx
dC"^ MfS.m d^
M+2.11» ^^* M-^X,tn d^ r* , '
et, en mtegrant,
• c/^* (IVI + S.w).û^<*
— 2M . 2 .— — 2ASS5 const. .
équation qui peut s'écrire ainsi :
— 2.(M+2.iî»).^M.S.Î^+A^ = A,
/i étant une constante arbitraire. Cette équation s'accorde avec l'équation (p) du n*^ 26 ^ liv. I; elle
198 THÉORIE ANALTTIQUE
renferme le principe, de la conservation des forces vives.
. .Tell^. sont les seules intégrales premières qu'on ait pu tirer rjusqu'ici da systèçie des équations (D) réunies auic féquations semblables; relatives aux corps M^ }vl y Tjfy etc. Elles indiquent des relations qui doivent toujours exister entre, les coordonnées de ces différens corps , et qui résultent des principes généraux du mouvement; mais elles sont loin de suffire à leur détermination, et l'on est réduit, pour achever l'intégfatîon des équaf îoné*(D) , de recourir aux méthodes d'appi*6ximation/ Comme ces méthodes sont principalement fondées sur ce que les distances des planètes et des comètes au Soleil, et leurs distances mutuelles, sont extrêmement grandes relativement aux dimensions de ces corps et à celles des systèmes partiels que forment les planètes avec leurs satellites, il est important de faire voir quels sont les avantages que présente à cet égard la constitution du système solaire. Ces considérations serviront d'ailleurs à montrer que les quantités que nous avons négligées dans la formation des équations différentielles (Dj sont en effet toujours insensibles.
10. Ne considérons, pour simplifier, que l'action réciproque de deux corps m et m', et représentons généralement par Via fonction qui exprime la somme des produits jdeux à. deux des élémens dl7i.et dm' dont ces corps se composent, divisée par leur distance mutable. Soient x, y, 2; les ^coordonnées de J/71. rapportées à vne origine :fix^j>;etix'^^', 2! les, coordonnées
de dnl rapportées à la mêope origine, on aura
•ir „ c C' *^dm . dm
V/(x'— x)*+ (/— y)»+ iz'—zy
Le double signe intégral S se rapportant à deux intégrations indépendantes l'une jde l'autre^ la première relative à la masse du corps attiré, et la seconde à celle du corps attirant. Les trois différentielles partielles
dV dV dV . ^ 1»
TT * d^ ^ T comprimeront, comnie nous 1 avons vu ,
les attraction^ qu'exerce parallèlement à chacun des axes coordonnés le corps- m' sur le corps m: *'•
Cela posé> soient x',y, z' les trois coordonnées dû centre de gravité de m' rapportées «lux mêmes axes et à la même origine que x', y', tf, et soient *V^ J^'/>*^'/ les coordonnées de i^^ relatives à ce centre /en sorte qu'on ait
Supposons : , , . -.if
Si l'on substitue dans cette fonction, à là' place de x', y', z'f leurs valeurs, qu'où développe ^suitç la fonction résultante par rapport aux puissances ascendantes de x\yj\f z',y ea faisant, pour abrégér>
(*'— X)* + Ck'-. y)» + (/-^ zy = r*, *'/+// +V/= /%
on aura
t/>4-VM'2.[*';/(V— x)-|-y,.(y-T)+a',.(*'— 2)] r ^'
"T- — • ' ' ■ g ■ ■ . . «^ etc.
Les dimensîons du corps n/ étant supposées peu considérables par rapport à la distance de îti à m\ les coordonnées x'^ , y' ^^ ^ , seront fort petites relativement aux difTérences x' — x, j*' — y^ 2' — z. En conséquence, nous les regarderons comme des quantités très petites du premier ordre, dont on peut, sans erreur sensible, négliger les carrés et les puissances supérieures. La valeur de u se réduira aiùsi à
.. — i ^^^ Jx' — x) + y\. (y — Y) H- ^, . {z — z) r r^
Si Ton multiplie cette expression par dmdrrl^ qu'on l'intègre ensuite par rapport à dirl ^ en remarquant que les quantités x ^^y^y z'^, sont les seules qui varient aVeic dm' y et que par la nature du centre de gravit4;Op; a
or^ trouvera f en remettant pour r sa valeur,
V/(.^'x)*+(/-Yr- {z-^ zY
Cest la valeur que nous avions supposée à la fonc-
: ti'on V dans le n* 5; on voit donc que cette valeur
■^ est exacte aux quantités près du second ordre, par
rapport aux dimension de m'. Les trois différentielles
partielles -^ ,, -^ , -j- exprimeront généralement
Faction totale du corps m' sur le corps m, décomposée parallèlement aux axes des coordonnées, et dirigée en sens contraire de leur origine. On voit donc que cette action est la même que si la masse entière de m' était réunie à son centre de gravité.
Soient maintenant a:, ^, z les trois coordonnées du centre de gravité dem,etx^fjr^, z^ les coordonnées de la molécule dm relatives à ce centre ; on aura
x = x + ar^, ^—jr+J,y z^z + z^.
Si l'on substitue ces valeurs dans V, et qu'après avoir développé la fonction résultante on l'intègre, il sera facile de démontrer par l'analyse précédente qu'on a, aux quantités près Mu second ordre.
TTi- m
^r^: TT»
J/ (*' — xY H- (/ — yy + (*' — «)'
Cest la valeur que nous avons supposée à la fonction A dans le n® 7 ; cette valeur est donc exacte , aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions de l'astre attirant et de l'astre attiré. D'où l'on peut conclure généralement que l'expression de la fonction V, et par conséquent l'action totale de m' SUT m y seront les mêmes, aux quantités près du même ordre ^ que si les masses des deux corps m et m! qui
agisvsent l'un sur Tautre étaient des points massif placés à leurs centres de, gravité respectif^.
Il suit de là que , dans la recherche des mouvemens ^ des centres de gravité d'un système quelconque de corps ^ dont les dimensions sont très petites par rapport à leurs ^ distances mutuelles , on peut faire abstraction de leur ^ figure, et que leur action réciproque les uns sur les ^ autres est la même , à très peu près , que si la masse de ; chacun de ces corps était réunie à son centre de gravité.
Si le système que l'on considère était partagé en j plusieurs systènies partiels, disposés de manière que les dimensions de chacun d'eux fussent très petites par rapport aux distances mutuelles de leurs centres de gravité, on ferait
^ mm
y/{x'-xr+ (/^)^-f.(/-zy
m et m! représentant les masses de deux corps appartenant à des systèmes diflférens, elXyjr^Zy x^y^ z' les coordonnées de leurs centres de gravité rapportées à une origine fixe. Les différentielles partielles de la fonction V exprimeraieut encore les actions du premier système sur le second, parallèles aux axes coordonnés. Or, si l'on désigne par x, y, z les coordodnées du centre de grayité du preiôaîer système , et par x^, y', z'|les coordonnées du centre de grayité du second , il sera aisé de prouver par l'analyse précédente, et par les propriétés connues du centre de gravité, qu'on aura, aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions respectives de cbacu^ des deux systèmes,
DU SYSTÈME DU MONDE. ao3
/d'où il suit que les deux systèmes réagissent l'un sur
^ Tautre , à très peu près comme si les corps qui les
composent étaient réunis à leurs centres de gravité
. respectifs , el que par conséquent ces centres se meu-
, veot comme si cette réunion avait lieu en effet.
1 1 • Le Soleil et les planètes forment un système semblable à celui que nous venons de considérer, les distances des satellites à leurs planètes étant toujours peu considérables relativement aux distances de la planète au Soleil et aux autres planètes. Il en réiSi'ultè donc que le système d'une planète et de ses satellites agit y à très peu près , sur les autres corps du système solaire , comme si la planète et ses satellites étaient réunis à leur centre commun de gravité , et que ce centre est attiré par ces différens corps, comme il le serait dans cette hypothèse. Il s'ensuit encore que Faction du Soleil et des planètes étant à très peu près la même sur la planète et sur les satellites , ceux-ci se meuvent à très peu près comme s'ils n'obéissaient qu'à l'action de la planètCé
Enfin la constitution du système solaire permet encore d'appliquer aux planètes et aux comètes, les considérations sur > lesquelles nous avons établi les équations différentielles (D) et (B), et les actions réciproques de ces corps les uns sur les autres sont à très peu près les mêmes que si leurs masses étaient concentrées dans leurs centres de gravité respectifs. Mais cette supposition, que la petitesse des dimensions
ao4 THÉORIE ANALYTIQUE
des corps célestes y comparativement à leui^ distances 1^ mutuelles , rend déjà fort approchée, acquiert par la sphéricité de leurs figures un nouveau degré d'exac^ titude. Eu effet, on peut regarder les planètes et les comètes comme étant formées de couches à très peu près sphériques, de densités variables, et nous avons fait voir, n* 19 , livre I , que l'action d'une couche sphérique homogène, sur un corps qui lui est extérieur, est la même que si toute sa masse était réunie à son centre; d où l'on peut conclure encore que les quantités négligées dans la formation des équations (D) et (B) sont du même ordre que l'excès du sphéroïde que l'on considère sur la sphère concentrique. Les différens corps du système solaire réagissent donc leS'unssur les autres à très peu près comme si leurs masses étaient réunies à leur centre de gravité, non-seulement parce que leurs distances mutuelles sont très grandes par rapport à leurs dimensions respectives , mais encore parce que leur figure s'éloigne peu de celle de la sphère.
12. Si les corps célestes n'obéissaient qu'à la seule action du Soleil, et si leur figure était exactement sphérique , les courbes qu'ils décrivent autour de cet astre seraient elliptiques , et leur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité serait celui d'un corps solide qui n'est sollicité par aucune force accélératrice, cl qui a reçu seulement une impulsion primitive quelconque, cas que nous avons examiné dans le chapitre Y du premier livre. Dans cette double hypothèse, les seconds membres des équations (E) et (B) se réduisant à zéro^ ces équations deviennent intégrables; et comme
DU SYSTÈME DU MONDE. 2o5
en effet les planètes , les com&tes et les satellites se meuvent à très peu près, les premières autour du Soleil , les seconds autour de leurs planètes, comme s'ils n'obéissaient qu'à Faction des forces principales qui les animent , on peut regarder les résultats qu'on obtient de cette manière comme une première approximation des mouvemens célestes , et les forces négligées comme des forces perturbatrices dont le seul effet est d'y produire de faibles altérations. Un beau procédé d'analyse, que l'on doit au génie de Lagrange, offre un moyen facile de tenir compte de semblables forces, quel que soit leur mode d'action sur les mobiles, (pourvu seulement qu'elles soient supposées tn's per tites par rapport aux forces principales), par de simples variations données aux constantes qui entrent dans les intégrales de la première approximation, c'est-à-dire dans les intégrales trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices. Les deux principaux problèmes du système du monde, la détermination du mouvement de translation des corps célestes et de leur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité, se trouvent ainsi ramenés à une simple question analytique qui les embrasse tous deux dans sa généralité. Nous consacrerons le chapitre suivant à exposer cette féconde méthode d'intégration, en appliquant ensuite aux équations différentielles (E) et (B) les formules générales qu'elle nous fournira, nous parviendrons, par des approximations successives^ à déterminer de Ja mianière la plus simple le double mouvement des corps célestes avec un degré de précision que les observations les plus exactes ne sauraient jamais atteindre.
^o6 THÉORIE ANALYTIQUE
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