CHAPITRE IIL
Intégration des Équations différentielles du Mouvement dun système de corps soumis a leurs attractions mutuelles.
1 3. Nous avons donné dans le chapitre précédent les équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leurs actions mutuelles ^ et nous avons fait connaître les seules intégrales finies qu'on soit parvenu jusqu'à présent à tirer de ces équations. Nous allons développer dans celui-ci la méthode d'approximation la plus lumineuse que l'on ait encore imaginée pour suppléer à cette imperfection de l'analyse.
Pour traiter cette question d'une manière générale, considérons un système de corps /ti, m\ ml' y etc. , agissant les uns sur les autres d'une manière xjuelconque, et sollicités de plus par des forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles. Les résultats qnenous obtiendrons auront ainsi toute l'étendue dont la question est susceptible, et il sera facile ensuite d'en faire Fapplication aux équations différentielles du double mouvement de révolution et de rotation des corps célestes.
Nous avons montré, dans le chapitre IV du livre I, <|ue la détermination des mouvemens d'un pareil systèno^ pouvait toujours être ramenée à un nombre d'équations différentielles du second ordre égal à celui «des variables indépendantes que chaque question com*
porte. Une intégrale qui résulte dans tous les cas de ces équations, est celle qui est fournie par le principe des forces vives. Si Ton désigne par x^jyZ les coordonnées de m y par x yy\ 55', les coordonnées de m', etc., rapportées à trois axes rectangulaires, et que, pour abréger, on représente par T, la moitié de la somme des forces vives du système , en sorte qu'on ait
,p 77* fdx''\'dy^'^dz\ , m! /'d'x'+dy'+d/'\ ,
^ —1\ dt^ J'^^\ d? ;-i-etc.;
quW nommp de plus V l'intégrale de la somme des forces dont le système est animé, multipliées respectivement par rélément de leur direction, c'estr-à-dire qu'on fasse
V=fm\Xdx+Ydy+Zdz)+fm\ÇK:d3/+Ydy'i'Z'dz')+eic.,
cette intégrale devient, n"* 2^9 livre I,
Les coordonnées x,y, z, x\ y\ etc. déterminent à chaque instant la position des corps agissans du système. Ces variables sont en général liées entre elles p&r des équations de condition qui dépendent de la nature du système, en sorte qu'il ne reste finalement qu'un nombre de variables indépendantes égal à trois fois le nombre des corps , moins le nombre des équations de conditions. Nous supposerons, comme cela a lieu ordinairement, le nombre de ces variables indépendantes réduit à trois, <p, 4> ^> ^* "^"^ désignerons, pour abréger, par ^, 4% ^9 ^^^ différences de
a<,8 THÉORIE ANALYTIQUE
ces variables prises par rapport au temps t^ et divisées par Fëlément du temps, en sorte qu on ait :
Il sera toujours possible, en ayant égard aux équations de condition, d'exprimer les coordonnées .r,^, z, x'f etc., et leurs différentielles, en fonction des nouvelles variables ^, %{/, ô, ^', 4'> ®^ ^* ^^ suffira de substituer à leur place ces valeurs pour convertir dans une fonction semblable une fonction quelconque de cc^ jf Zf x\y j etc. Ainsi donc, nous pourrons regarder désormais la quantité que nous avons désignée par T,
comme une fonction de ^, ^^ ô; ^\ 4'^ ^'^ donnée dans chaque cas particulier.
De inéme, si Ton suppose, comme cela a lieu dans ^ la nature, que les forces dont le système est animé \ sont dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et représentées en intensités par des fonctions de la distance des différens corps du système à ces centres, la valeur précédente de V sera une formule toujours intégrale, et sa valeur finie sera une fonction des coordonnées x^ J'y z, x\y\ s', etc., et par conséquent des variables ^jA^i^f fonction qui sera donnée dans chaque cas particulier. Quand des centres d afctions étrangers au système seront mobiles, la fonction V renfermera, en raison de leurs mouvemens, le temps ^, indépendamment des variables^, 4, ô; mais elle ne pourra contenir, dans aucun cas, les différentielles de ces variables.
Cela posé, différencions, par rapport aux variables,
^, 4» 6» ^'f 4'') ^» l'équation (a); on aura
dV, dV ,, dV ,^ ' ^^
On peut donnera cette équation une autre forme. En effet , puisqu'on a généralement
T==.(±:±^t^)+=:.(^iit£^±iC)+e,c.,
il est clair qne, quelles que soient les valeurs qu'on jgusbtitue pour x,jr, z, af, etc. , dans cette quantité , T deviendra une fonction homogène de deux dimensions par rapport aux différences des nouvelles variables qu'on aura choisies. On aura donc^ par la propriété connue de ces sortes de fonctions ,
df' ' dt "^ d-i^' ' dt '*' dd" de ~ ^
Substituons la valeur résultante de T dans l'équation (a) y et différencions ensuite; nous aurons
>v*- d^)'di'^\r'd^)'ii'^\r'W- Tt
Si de cette équation on retranche l'équation {b)y et qu'on observe que les variations d(pjd'\^d^, étant indépendantes entre elles, on peut égalqr séparément Tome I. i4
dT dV
dT dV d-y^ d-^
dT dV dS dâ ■
aïo THÉORIE ANALYTIQUE
h zéro leurs coefficîens^ on aura les trois équatious difTéreutiell^s suivantes
dt
dâ " " "
, dT
dt "*
Ces é(f nations senrircHit à déterminer les variables ^f'\f^f en fonction du temps. C'est sous cette forme que Lagrange présente dans sa Mécanique analytique les équations générales du niouvement d^un système de corps.
On peut leur donner une forme plus simple , eu supposant
ce qui donne , en observant que la fonction V ne contient pas les variabljes ^f, 4^ ^'f
dT du dT iflJ dT ^U , .
Les ^uati(^s ( c } deviennent ainsi
du
du
du
du
dt"
dt ~
dt
Et les ik[aati0iis da mouyement d'un système de
corps nij ni y etc., soat ramenées à la forme la pins simple qu^elles puissent prendre.
i4* Les trois quantités ^^ Uj s^y sont données par les équations {j)) en fonction de ^ , %|/ , 9, ç', %[/', fl' ; réciproquement, on peut conclure de ces équations les valeurs de ^', 4'» ^i ^^ fonction de ^, %[•, ô, j, m, i^, et transformer par conséquent une fonction quelconque des six premières variables en fonction des six autres; mais on doit observer que les différences partielles : de cette fonction prises relativement à ^ , «\[., 0, ne seront pas les mêmes dans les deux cas. Ainsi, lorsqu'on regardera U comme fonction de (p^ ^|. , 6, s,u,i^, ses différences partielles relatives à ces trois variables ne seront pas les mêmes que les différences partielles de cette même quantité, regardée comme fonction de (p, '^, ^, (p\ 4', ^* Pour les distinguer,
1 / . dX] dU dV 1 j«i*»/
nous désignerons par --t- , ^ , -^ , les dinerences
prises dans la première hypothèse, et par les mêmes expressions entourées de parenthèses, les différences relatives à la seconde. Ces dernières différences partielles forment les seconds membres des équations (^) ; on aura donc, conformément à cette notation ^
ds /ûTUx ^"*/^U\ dv /^\ /jr\
di~\^J' dt ^\^)' 'it'~\dfJ' ^^
Or réquation U = fonct. (kP, %|/, Ô, ^', 4'> 6') donne,, en y regardant ^', 4^ 6'^ comme fonctions des variables tP, 4, ^f ^f S^^9
cAJ /rfU\ , du d<^' , <W rf4' rfU dé'
d(f ~\â^)'^ à(f'' d^ Td^'J^ '^ ISf* é^'
ai2
dO-
-^dp'
dp" d^
dV
di' 'd4
dv
àtf
dV
dp' ' dé
di' • de
dif
djtf •~d»-
Si Ton tire de ces équations les valeurs de (jr^f CttJ ' v*^) ^ ^* qu'on les substitue dans les equa-tions {d!)f en mettant s^u,vlaL\2i place de -r-r f ^-p,
du
•^ , on aura
A dU ^ ^-^ ^
dt dp 'dp 'dp ' dp '
d*» dU d/ d^f.' d>'
dT" d^ ~*-"^~''-"dr""^*'dr-
Telle est donc la forme que prendront les équations différentielles du mouvement lorsqu'on choisira pour variables s, u, ç, au lieu de ^', 4* ^**
Si Ton différencie la première de ces équations par rapport à ^ ^ la seconde par rapport à ^ , en regjairdant s, Uf {>, comme constans ; qu'on les retranche ensuite l'une de l'autre^ on trouve
d'^.dù dp,di
Nous avons surmonté d'un trait ces différences partielles et les suivantes, pour rappeler que dans les différenciations qu'elles indiquent ^,^^,9 ets, u^ i^
DU SYSTÈME DU MONDE. ai3
sont riegardëes comme six variables iadépendantes lune de Fautre.
On aurait d'une manière semblable
d(^.dt dA:dt ' d^.dt d^M
Si Ton différencie par rapport à j la première équation (e) sans faire varier (^^A^^^i on trouvera
d*J rfÔJ jy d^' dH' d(p'
ds.dt ds.dç ' ds.dç ' ds^d^ ' ds,dç> d^ '
Mais si l'on prend la différence partielle de U par rapport à la variable s qui n'entre dans U qu'autant qu'elle est contenue dans les valeui's de ^', 4'* ^'^ ^* qu'on
mette à la place de ^rr f -yrTy -jtt y leurs valeurs $ ^u i', on trouve
rfU dp' d^' dV
Cette équation est identique lorsqu'on y considère ^ U, ^', 4', 9' comme fonctions de ^^ \|/^ %ySyUy v\ on peut la différencier par conséquent par rapport à Tune quelconque de ces six variables. En différeaiciant par rapport à ^ ^ ou a
rf^tf jy d*^ dH'
ds. dç ' ds,d(p ' ds. dç ' ds.dp '
La valeur de , , , en vertu de cette équation / se réduit à
<fs ' dp' ^ V
ds.dt d<p * ^ ^
ai 4 THÉORIE ANALYTIQUE
En difFérenciant semblablement lâ même équation par rapport a u et a i^, et en considérant les vakurs
des dîfiféreiices partielles , ., , , ^ on aurait dTs .^^îl ^7 d8^ ,x
Les deux dernières équations (e) donnet^aîent , par des considérations analogues ,
da.dt cf 4* ' du.dà d-^ ^ dç.dt
âfi dm' rfV d-V dÇ
Enfin si Ton différencie Téquation (n) par rapport ku, et la première des équations (o) par rapport as, qu'on retranche ensuite les deux résultats l'un de l'autre, on trouvera
et par conséquent
du ds
On aurait d'une manière semblable
dp — ds ' dp du ^^'
Ces diverses relations nous seront utiles dans ce qui va suivre.
DU SYSTÈME. DU MONDE. aiS
1 5. Revenons maintenant à la question principale qui doit nous occuper ici. Supposons qu'étant parvenu à intégrer complètement les équations (c) dans l'état où elles se présentent , de nouvelles forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles , et dont les intensités sont représentées par des fonctions des distances de ces centres à leurs points d'applications respectifs^ viennent à agir sur les différens cor^ m, m'j etc.^ du système^ et qu'on se propose d'avoir égard y dans la solution du même problème y à l'intervention de ces forces. Si l'on désigne par £1 l'intégrale de la somme de ces nouvdles forces multipliées chacune par l'élément de sa direction (quantité que, pour abréger, nous nommerons à l'avenir la fonc'tion perturbatrice) y comme ces forces sont absolument de même nature que celles d'où dépend la fonction V, il suffira, pour y avoir égard, de substituer V + fl à la place de Y dans les équations {c)é Les équations du mouvement du système altéré par- 1^ forces perturbatrices , seront ainsi
dt
dT dV da d^ d^ d^ '
dt ■
dT dX dCÏ
dT dv da
dt
dû du dô '
équations qu'on peut ramener d'ailleurs à une forme analogue a celle des équations (ef'). En effets il eut
ai6 THÉORIE ANALYTIQUE
aisé de voir qtf'il suffira pour cela de substituer U^ — Cl à la place de U , dans les é<juations
les valeurs des quantités représentées par s,u,i> qui ne dépendent que de la fonction T ne seront pas changées , et les équations précédentes se trouveront seulement augmentées d'un nouveau terme , c'est-àdire que l'on aura
U est inutile d'entourer de parenthèses les différences partielles de la fonction £1 , comme on le fait à regard de celles de la fonction U (d'après la remarque du n" 14), parce que Cl ne contenant pas le5 variables (p\ %}/', fi', ses différences ne changent pas quand on regarde (p', %[/', fi' comme fonctions des variables ^^ '^, Qf s, u, u.
U s'agit donc d'intégrer les équations (2), en supposant qu'on ait complètement intégré les équations (i), c'est-à-dire ces mêmes équations (2), dans le cas où Ton fait abstraction de leurs seconds membres.
La méthode d'intégration que nous nous proposons de développer consiste à satisfaire aux équations (2) par les mêmes intégrales fournies par les équations ( i },
en faisant seulement varier les constantes arbitraires qu'elles renferment, de manière à remplir cette con-« dition.
Les équations (i) étant du second ordre par rapport aux variables <p, 4> ^f leurs intégrales finies contiendront sik constantes arbitraires ^i , ^^^yfygf^f et l'on pourra par leur moyen exprimer les valeurs des variables ^,4^ ^y ^^ fonctions du temps t et de ces constantes , de sorte qu'on aura généralement
<!>= fonct.(^ï, b,cj,g^ h, t); 4=fonct.(^ï, b, c,f,g, h, /),
fl= fonct.^a, b, c,f, g, h, t).
Four satisfaire aux équations (2) par les mêmes expressions finies de ^,4, fl, nous différencierons deux fois de suite les valeurs de^, '^,^f eny faisant varier à la fois le temps / et les constantes a, b, c,/, g, h ; nous substituerons ensuite dans ces équations les valeurs résultantes, et nous aurons ainsi trois équations qui serviront à déterminer les variations que doivent prendre les quantités ^i,^, c, etc.; mais comme ces variations inconnues sont en nombre double de celui des équations auxquelles elles doivent satisfaire, nous pourrons les assujettir encore aux trois équations de condition qu'il nous plaira de leur fixer.
Ce qu'il y a de plus simple à cet égard est de supposer que les différentielles premières des varial^es ^ , 4 ' ^ conservent la même forme dans le cas où l'on fait varier les arbitraires a,by c,J,g, h, et dans le cas où elles sont regardées comme constantes j c'est* à-dire qu'on égalera à zéro la partie de chaque dif*
9i8 THÉORIE ANALYTIQUE
férentlelle d^ , d'^, dfy qui résultera de la yariatîon de ces arbitraires. On aura de cette manière trois non* velles équations de condition , qui ne renfermeront, ainsi que les trois autres , que les différentielles premières des six quantités a^ b, Oyf^ gy h. C'est là le grand avantage de ce procédé.
Nous désignerons désormais par la caractéristique tT, placée devant une fonction quelconque du temps t et des constantes ay h^ etc. j la différentielle de cette fonction prise en y faisant varier ces dernières quantités seulement , de sorte qu'on aura, par exemple.
Cela posé, en vertu des trois équations de condition que nous nous sommes données , nous aurons d abord
/(pîso, cr4=o, «rfl=o. (A)
Si l'on différencie une seconde fois les expressions de (p , *>[., 0, en y faisant varier le temps iy et les cons^ tantes arbitraires qu'elles renferment, et qu'on substitue leurs valeurs dans les équations (â) > les différentielles dsy duy dv seront augmentées en vertu de la variation des constantes de ^Sy cTm, ^v. Les fonctions A et U, ainsi que leurs différences partielles, ne changeront pas, parce qu'elles ne renferment, la première , que les variables ^, >[/, 9, la seconde , que ces mêmes variables et leurs différentielles premières, et que ces quantités restent les mêmes, soit que Ton traite les arbitraires aybyCyfygyhy comme variables
oui comme constantes. On aura donc ainsi
Les valeurs de cp , 4 > ^» ^^^* supposées satisfaire à ces équations dans le cas où la fonction A est nulle , et qu'on les diflerencie seulement par rapport à ^ ; on a donc identiquement
^'-"(5^)-^'=^' '^^-"(s^)-^*^^' ^^-('5ï)-^'=^' et les équations précédentes donnent simplement
. dCX , . dCl . . da ^ ,^^
^s=^.dt, ^^dl-àt> ^^^T^-^' (»)
Ce sont trois nouvelles équations de condition auxquelles devront satisfaire les variations différentielles des arbitraires a, ô, ^^f^gf '^- Jointes aux trois équations (A), elles suffiront pour déterminer ces variations. En effet, en les développant, on aurait six équations du premier ordre et linéaires par rapport aux différentielles da^ db, de, df, dg, dh; on pourrait donc obtenir par les procédés ordinaires de rélimir» nation, les valeurs de ces différentielles; mais on arriverait par cette voie h des formules très compliquées. On parvient à exprimer directement ces valeurs
aao THÉORIE ANALYTIQUE
d'une manière très simple , par les considérations sui'
vantes.
i6. Supposons que l'une quelconque des intégrales premières auxquelles auront conduit les équations différentielles du mouvement (i) ne contienne qu'une seule arbitraire a, cette équation intégrale, résolue par rapport à cette constante , sera de cette forme :
^ï = fonct. (<p, 4 , G, (p', 4', 6', t) ;
ou bien en regardant, comme nous l'avons fait précédemment, ^', 4'^ fl' comme des fonctions de ^, 4> fl, s, u, V, données par les équations {p)
a =5 fonct, (^, 4; fl; ^9^9 ^9 0*
Cette équation étant une des intégrales premières des équations (i), il s'ensuit que sa différentielle complète, prise en y regardant a comme constante, doit se réduire à zéro quand on y substitue, pour ds^ du, ds^f leurs valeurs données par ces équations. Si l'on différencie donc l'expression de a en y faisant varier à la fois les constantes et les variables, et qu^on substitue pour cT^, é'u, J^if, leurs valeurs données par les équations (B), en observant que cr^ = o, ^4 = o, crd==o, on aura simplement
, /da dci . da dQ , da dO\ j^ /.^
Cette forniule détermine directement la valeur de la variation différentielle d!a; mais on peut lui donner
e autre forme qui a de grands avantages^ cornine us le verrons, em employant, au lieu des différences 'tielles de la fonction 12 prises par rapport aux vables (p, 4, fl, ses différences relatives aux consites cijhjCjfjgyhy introduites par la subslîion des valeurs connues de ^, 4, 0, en fonction temps et de ces arbitraires. En effet, si Ton regarde •\}r, 6 comme fonctions de ^ï, i, c^ ffgf ^9 on ra
dQda^^ do, db dxi de dCï df t^^^ 4g ^^ do. dh
da'd^ dô'd^ dc'df df d^ dg'd^ dh'd^*
' ~ d^'d^^lb'd^T dc'd^'^df'd^ "*" W^ d/id^* j dada dCldb dCi^dc ^^ da df ^^^^g ^^do, dh
'~d^'Tb^db'di'^l^'di'^df'd^'^d^'M'^M''M'
is valeurs substituées dans l'expression de da don- Tont
da
(da da ^^ da da ^^ da da\ dti , di'dq>'^d'u'd^'^d:>''dE)'dZ'°'^
, /da db j, da db ^^ da db\ da ,
"+" VA • 5^ "*" 3« • 34 "^ 5;; • 5r; • 5zr • **'
, fda de ^^ da de ^^ da de\ da ,
■•" V57 • 5? "*" 5Ii • 3Ï "*" 5;^ • 5«y • 5c •'*'
,{da df da df,da df\ da , '^'Kds'df'^di^'d^'^'du'dïJ' df''^^
, (da dg ^^da dg ^^da dg\ dCï ,
'^Kds'd^'*' du'd4'^di>'dSj'd^''*'
, /da dh 1^ da dh ^^ da dk\ dû, -, "*" V3» • d^'^Tu, 'd^'^d^'Wj'lh'^'
22a THÉORIE ANALYTIQUE
Ott peut faire di$pai:aitre de cette expression le terine \ multiplié par t-, en observant qi!e la fonction fl ne ^
contenant pas les variables <p% 4^ ^'> ^^ P®^* renfer- ^ mer non plus les quantités s, u, i^; ou aura donc
dci du da dcidb dû, de dsidf dci ^g j^^ dA ^
d^~d^'di'^db'di'^d^'d^'^lf'd^^dg'd^'^dh'd^~^^
da dû da dCldb dQ de ^^da df dCl dg <d£l dh
du da'du db'du de du df'du dg'du dfidu '
do dada . dCï dU dO de . dci df ^ dCid^ . dCl dh dif da 'dtf "^ db 'dp^ de 'dv df'dif dg 'dp dJidy
Si l'on multiplie ces quantités nulles, la première par
da 1 j aa I . . .> da . ,
•3-, la seconde par ^, la troisième par g-, et quon
retranche leur somme de la valeur précédente de da^ on aura
- /da db da db da db da db da db da db\ dQ , yjds'df dpds dud'^'^d'^'du dt^'dQ d^'dpj'db*
/fîa de da de ^da de da de ^ da de dade\ dCl . \ds'dç dçi'ds dud^" <S^'du dp*d^ dÂ'dy/dc'
/rfa f(f^^ df.da df da 4f 1 ^ 4f ^^ 4/\ ^^
+W5^ dç'dT^du'd^ d4^'dird^'dS~dï'di^J'df
da dg da dg^da dg da dg , da dg da dg\ dCl , .Â'd^p d(pir^dû:^ d^'diI^di^'d^~WT\;/dg
da dh da dh da dh\ do,
^d^'df^di'd^^/dh''^^
y^(àa dh da dh da dh da dh Xds'd^ . dç^ds dud^'^d^'difi
Cette expression de da est en apparence plus com-
DU SYSTÈME DU MONDE. aaS
pliquée que l'expressioa (h) d'où elle est déduite^ mais elle jouit d'une propriété bien remarquable ,
c'est que les coefficiens des différences partielles jr,
-T^ , etc. , deviennent indépendans du temps t , après
qu'on y a substitué^ pour ^, 4^ û> s, u, ç, leurs valeurs en fonction de t et des arbitraires ^y f^, c, f, g, h. Comme c'est à cette propriété que la méthode d approximation que nous venons d'exposer doit ses principaux avantages dans les applications , nous ne pouvons nous dispenser de la démontrer ici d'une manière directe , quoique cette démonstration exige quelques développemens,
17. Pour cela, reprenons la valeur que nous avons supposée à la constante a dans le n® précédent.
a = fonct. (tp, «4/, B, s, u, p, t).
Si, après avoir tiré de cette expression la valeur de 3- , on la différencie par rapport a t, en observant que ^ = 'P» -5r = 4» 5^ = e',onaura-
T da / d^a , d*a ^^ , d*a | , , c^a Af
d^a ds d^'a du d'à dv\ ,
'^ dpTdi • di'^dfTdu • li "*" d^Td^ • di)'^'^
mais, en prenant la différentielle complète de a par rapport à ^, on a
a24 THÉORIE ANALYTIQUE
Ofl
Si Ton considère dans cette éqnation ^\ %|/f 6' comme des fonctions de ^, %l/^ 0^ ^^z^^ (^, données par les équations {jp) , et qu^on remplace -tt , -rr i -g- par leurs
valeurs tirées des équations (2), son premier membre deviendra une fonction de ^, ^, «4/, ô, ^, m, ^^ q^ devra être identiquement nulle. Cette équation subsistera donc encore en y faisant varier séparément l'une quelconque de ces sept quantités.
Supposons cette substitution effectuée ^ et différencions l'équation résultante par rapport à ^ ; on aort
(Pa d^a f d^a ,, d^a ., d'à ds
d^,dt d^^ d^.d^*^ *^ d^.dê dç.ds' dû
I d^a du^^ d^a dv ^^da dqf i^ ^V d^.du ' dt '^dcp.du ' 'df "df * d^'^d^'lôî^
da d(f da d^s ^da d^u da, d^if
"^5r ' d^'^dâ ' dç7di'*'dû'd^7di dï^'dçTdi ^'
et la valeur précédente, de d.-^ deviendra^ en vertu de cette équation ,
^ da /da dç^ ^. da^ d-^' da dV
*Sjf \dç * 'd^ d-^ ' "dip "35" * dp*
da d*8 da d*u j. da^ rf*v \ . de * d(f,dt dû * df.dù'^dy * df.dtj
On trouverait de la même maolère
c/a rda dqf da d^' da db\
'd4~\dp'd^^d-i, 1^^ dS' d^
da __^ / da d^^ ^^ da dj/ Ai '^•d«'~ Vd?'"^ ^' àé ^dé
^^ da d^s da d^u ^^ da d^p \ ,
"^"^T * d^.dt **" ^* d«.d^ "*" dT ' dh dû)'
Il faut bien remarquer que , dans ces expressions ^
d^5 d*5 d*fi
nous désignons par ^^^, g^^, ^, etc., les
, y ds du dv 1 1 11 />
valeurs de ^, -j-y g-, dans lesquelles on fera vancr
^successivement (p^ «vl/, 6, en regardant SpU^ i>, comme constans.
Si Ton suppose à la constante b une valeur semblable à celle de a, on trouvera pour ^. ^ ) ^* tt » ^* x »
des expressions analogues aux précédentes , en changeant simplement dans cellesKri a en b. Cela posé , si
l'on multiplie l'expression de ^.-7- par -^-^ l'expres-
1 Y da do 1, • j 1 dû
sion de a , -^— par — -j- , 1 expression de a. -jr- par
da 11 V j da dh %y • j j db
-y- , celle de a. j-r par — -j- ; 1 expression de a. -^
par -j- , celle de d. -jr par — -t- , qu'on les ajoute
ensuite, en observant que, d'après les équations (/»), on a
d'tf /^"'^ ^'^ ^ dV dhjb dV dXTdt'^ d(p,dù' db.dt ^df.dù* di.dt ~ d^.dt'
