Tome I. i
on trouvera que leur sOBHâe se téduit à
da jdb db ^ da f^da j db db .da ,dd . db db .da\ ds' 'd^ ds' 'dp^ du '7^^ Hu 'd-^ dif' 'dS dif' 'dû
Kda db da db\ d^ fda db da db\ d^' dp* ^'^ ds ' dpj * dp "^ \d^ 'de ds ' d^J ' dp
,/da db da db\ d(/
'^Kdè ' ds H'H/'lp .
/da db da dB\ ^ , (^o, db^^da db\ d^' \,«
\4p 'du du' dp) ' d^ \34 'du du' d-^J ' d^ j^^
xfàa db da db\ d^'
, /da db da db\ dp' /Ha db da db\ ^4' '^\dp'T^f^di^'dp)s^\Xl'di^'^d^ ,fda db da db\ rf«'"1 ,
RepFenOtis k Vâlectr de la constante a. Si Ton différencie par rapport à ^ sa différence partielle prise relattrem^fnt à la variable 5, on aura
. ^ da r" d*a d*a , , d^a j, ^ d^u ,,
'^''d^^LdsM^dp.ds'^^ d^.ds'^^'^dU^' , , d'à ds d^a du d^a rfi'"! .
'^Wdi'^ irsa' if^^np'dts"^^'
Mais^ en faisant varier s dans Féquation identique (s)^ on a
^rdi^d^ds'^'^jfdi''^^dô:dr'^
d^a ds , d^a du d^a dv "*" ds» • dt "*" cETcC • lî "^d^ ' 1t da d^ da- ^^ . ^a dV dp ' ds , d^' ds "5r * "dT
, da d*g da d^u da dV
*" TS" • ds.dt ïïû'' ds. d7 **"3îr 'ds.dt ^*
DU SYSTÈME DU MONDE. z?.^
Mous exprimons^ dans cette étpiatioD^ par -, , ,
^'' 'à ,-7—^, T^f le*^ difFérentiefles des valeurs de -^,
' ^, ^prises en y regardant ^, 4^ ^>"^ «^, comme
constantes • et divisées par ds.
L'expression de e/.^ se réduit ainsi à la suivante
, da fda ^ , ^ d'i/ da dh'
da d'^ , dg d^u da dVx
'^Tz''dr:i;t^Tii'di:dt'^Ti;'drity^'''
On trouvera de la même manière
rfa /'^ dp' da d4/' da d6[
' duT^ \dç * du d^J^ * dû dd * du
f^da d*8 da d^u da d*p \ , ds'du.di du' du, dû du'duMtJ' '
, da /da ^ , da AJ/ da dV
"^'Tp isdS^'d^ ■♦■ d^' dp '^lê'Th ^
da d^s da d^u da d*p \ . ds * dp.dl Uû ' dpMt dp ' dpAtJ'
On aurait des expressions semblables pour les dliTérentielles ^•;t- , d.j- , d.^,en changeant seulement aenb dans les équations précédentes. Si l'on multiplie maintenant Texpression de d.-r- par ^, celle
de rf. j- par — g- ; Texpi^ssion de d.jr- psiv 4j , celle
j I d6 da If . . j 1 da d6 ..
de rf. j- par — -77 ; 1 expression de a.-j- par ^-, celle
de d.'T par — ^-^ et quoa les ajoutte ensuite, €ii observant que les équations (ç) donnent
de ''^ du^ dif ''^ du* dv "^ d$ ^ i ^., . â"» . d^8 d^B d^u
et en substituant pour ^^, ^3-^, -^j^, -^^ etc. ,
leui-s valeurs données par les équations (n) et(o), on aura
db .da da ^ db db ,da da ,db tjlb ^da da ndh 3ï' V* dip' V* dî}/' *3Ji rf^/* 'du dB' 'dp dîi' 'dt^
Kda db da db\ d^ t/da db da db\ d£ d^' ds ds ' d^J ' dç ' \d^ * 3w du' d^J ' d^ (da db da db\ d^' d^' dû dp^ dp) ' dB /da db da db\ d^,(da db^da dh\ dy "*"V54*5; d^'d^J' d<^'^\d^' du dl^'d^J'd^
(da db da db\ d4^' d4^'dû~dû'd4J''M
db da d6\ M'
du du' dbj * d^ /da db da db\ dff^X
"*" V. ' 5; "" df; • "^y • "srj-''^-
/da db da db\ dV /da ^^ ^^ «^ ^
Le second membre de cette équation est égal y au signe près, au second membre de Téquation (/) - onaura donc, en ajoutant membre à membre ces deux équations^
da ^db db jda db ,da da ^db
2f* 'dp de' 'dp dp 'da dp' 'ds
^^da ,db db . da .db . da da .M
du 'd^ du 'a^ dif/ 'du d^ "du
da jdb db .da db .dà da .db
Le premier membre de cette équation est évidemment la différeatielle complète, par rapport à t, du
coeJfEcient àe-jr^dt dans Texpression de da. En efiêt,
en intégrant, on a
da db da db da db da db ^^da db da db
ds'd^ dç'da du d-^ d^'du dp'iSi dé'dv *
d'où Ton peut conclure que ce coefficient ne contiéht pas le temps l explicitement, et ne saurait être qu'une fonction des constantes a et b, et des autres arbitraires renfermées dans les int^rales des équations différentielles du mouvement, après la substitution des valeurs de ^, '^^ Q, s, Up t^ en fonction de t et de ces arbitraires. On prouverait de la même manière que le temps disparaîtrait dans les autres coefficiens des
différences partielles rr» j^f etc.; en sorte que la
valeur de la variation différentielle da se trouvera exprimée au moyen des différences partielles de la fonction fl prises par rapport aux constantes a, b, c, y, g, h, et multipliées par des fonctions de ces mêmes quantités indépendantes du temps. Il en serait de même des variations des cinq autres arbitraires b,
^y frgf A-
18. Cet important résultat constitue à lui seul la théorie de la variation des constantes arbitraires ^ que nous devons tout entière à Lagrange. Son génie lui fJt soupçonner au premier aperçu que la forme très simple que Laplace et lui étaient parvenus , après de longs travaux, à donner aux variations des élémens eîlip-
23o THÉORIE ANALYTIQUE
tiqueâ ^çs orbites planétaires , né devait être qu'une cpnseqi^ence particulière d^un théorème général de Mécaniq^e , indépendant des forn^ules de ce mouvement; et bientôt après il réussit à étendre lanalyse qui l'avait si heureusement guidé dans ses premières recherches, aux équations différentielles du mouvement d'un système quelconque de corps soumis à des forces dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et représentées en intensités par des fonctions des distances de leurs points d'application à ces centres. Le beau théorème que nous venons d'énoncer, ainsi généralisé, devint applicable à un grand nombre de questions de Mécanique qui n'avaient point été jusque là complètement résolues.
Nous représenterons désormais les coefficiens des différences partielles de Q dans la valeur de da, par les symboles (a, à), {a,c)f etc., de sorte qu'on aura, par exemple ,
, . dadb dadb dadb dadh dadi dadb
^"'^J —di'd^ 3^*à "*■ Tn'^ - d^''dii. "^ Tt>-d» ~ dt'd^' ^^
La é[uâlitité (a,b) exprimera ainsi généralement une certaine combinaison des différences partielles des valeurs de a.et b, prises par rapport k <p, ^^^ ^, s^ u, u. Il sufEra de permuter entre elles, dans cette expression, les lettres a, b, c, f, g, h, prises deux à deux pour former Içs yaleurs des quantités ia,c), (a,/), (a, g), etc.
D'après cette notation , (^>^) doit représenter ce que devient (a,b)f en y changeant les lettres a et b entrç elles. Or, si l'on effectue cette permutation
DU SYSTÈME DU MONDE. a3i
dans lequatîoa pracédent^^ on voit que. son second mjembrQ n^ hii que changer de lignes; on aura donc généralement
Enfin y si Ton combine la lettre a avec elle-même^ ou qu'on substitue dans la même équation a à la place de bj pour former la quantité (a^a), on aura
L'expression que nous avons trouvée daps le n* iÇ^ pour la variation difféi^ntielle ^e a, deviendra donc, d'après la nptatioa que nous vepons d'adopter,
5^'=(a,è).3^+(<?^).^+fe/).^+(f ,ér).^ ; (D)
et l'on aurait d^ expre^ÎQOS sen^blables pour déterminer les variations des cinq autres arbitraires b^ c.
Il faudsa , pour appliquer la méthode d'intégration précédente , Kiomménoer par former dans chaque cas particulier les qufmtilés {^h)^ {^f^)y {^f^^f etc.> en combinant les différences partielles des valqurs des constantes arbitraires du problème , prises par rapport aux variables ^^ '\f^ h^ et aux fonctions $^ u^ v Aq ces variables ^t de leun^ différentidles. Ces symboles seront en nombre égal à celui des combinaisons différentes qu'on peut faire en permutant ensemble les six lettres a^by Cj f^ g^h^ prides deux à deux, c'est-àdire qu'on aura à calculer quinze quantités de cette
a32 THÉORIE ANALYTIQUE
espèce. La valeur de cbacane délies sera en général une fonction des six constantes arbitraires contenues dans les intégrales des équations du mouvement ; ce* pendant il pourra arriver quelquefois qu'elle ne contienne que quelques-unes de ces arbitraires; dans d'autres cas elle n'en renfermera aucune , et se ré* duira à une constante déterminée. Ces quantités seront toujours faciles à former, lorsqu'on aura préalable-* ment exprimé les arbitraires en fonction des variables ^9 '^^ ^9 s, u, Uf ainsi que nous l'avons supposé n* ï6. Mais, comme cette préparation pourrait entraîner souvent dans des éliminations compliquées, il est bon d'avoir le moyen de l'éviter; or, c'est ce qui est facile. En efièt, supposons^ la constante b, par exemple, fonction des variables ^, '^^ 6, s, ti, v, et d'autres constantes c, ff g, de sorte qu'on ait
b =5 fonct.((p, 4, B, s, II, <^, c, /, g);
il faudrait substituer pour c, y, g, leurs valeurs
eji fonction des variables ^, 4'^> ^f^f^s V^^^ ramener cette valeur de ^ à la forme que iious lui avons supposée n^ i6. Mais, en prenant ses différences partielles par rapport aux mêmes variables, on a
db di
b /db\ ,db de db df db dg ^~\Ts)'^Tc'di^'3f'di'^dg'da'
• elc.
Nous désignons par (^\ Çs\ ^^^'^ avec parenthèses,
les différences partielles de b^ prises abstraction faite des constantes €?, /", g.
Si l'on substitue ces valeurs dans la formule (C) , il est aisé de voir qu'on aura
Nous représentons par (a,b) la valeur de (a,b) qu'on trouverait en combinant les différences partielles de a et b, abstraction faite des arbitraires c,f, g que contient b.
11 sera facile de former les combinaisons (a,c)f {^^98^9 i^^Df puisqu'on suppose a^ c^f^ g donnés immédiatement en fonction de ^,4' ^9 ^9 ^9 ^9 ^^ aura donc sans peine, par la formule précédente, l'expression de (ci,b).
Quand les valeurs des quinze quantités (a,b), {a,c), {bjC)y etc., seront déterminées, comme nous venons de le dire, on les substituera dans la formule générale (D), et les variations différentielles des arbitraires se trouveront exprimées au moyen des différentielles de la fonction fl, prises par rapporta ces constantes, et multipliées par des coefEciens indépendans du temps /, conformément au théorème général démontré n* 17.
Dans chaque cas particulier, la forme des expressions auxquelles on parviendra dépendra de la manière dont les arbitraires^, J, c, etc., seront exprimées en fonction des variables ^, >[/, 9, ^^m, i'^ et par con-
séquent des constantes arbitraires qu'on aura choisies pour compléter les intégrales de la première approximation. On obtient des formules extrêmement simples, en prenant pour arbitraires les valeurs des six Tarîables ^, '^^ ^, s, u, p,k une époque déterminée, à l'instant, par exemple, d'où Ton compte le temps t En effet, si l'on désigne par (t,€,y, A, >i, /jl, ces six quantités; qu'on substitue a et € khi place de a et & dans la formule (C) , on aura
^ dtt d€ dotdS dei dC ddi d£ ^^dti d£ ^ ^
^'''^~d^'di ~d^Ts "^ dul^'" d^'là + dl^'df "" 35 W
Or, comme on est assuré d'avance , d'après la démoai^ tration générale du v!" 17, qu^ le Sj^coQd membre de <:ette éqii^f iop ept indppeodant du temps ^^ il est clair qu'on n'eq cl^ap^era pas Is^ valeur ea y substituant
simplement pour -^, v, etc> , leurs valeurs dans
lesquelles on fçf*^ ^= Q. Mais ou a évidemmept dans ce cas
^ __ 4C ^ dy dx ''v^^ df»
5^"^^^ 54~'' A~^^ ï~'^â;— '' di^~^'
Toutes les autres différences partielles des constantes a, S^y^ 6tc., sont nulles d'elles-mémeç, d'où l'on peut conclure qu'en prenant deux à deux les six lettres a, S, y, A, ^yf^f ^^ *^ra
(ût,X)= — I, (€,»»)= — f, (7.,/^) = — I.
Tqus les ai^tces cpefGciens («,0> (^*>)* (K^)^ etc. , seront nuls, de sorte que l'on aura, pour déterminer
les variations dp eu, S,y,X, », u, les six équations suivantes ;
dn L da ^^^^
dKz=z —r-.dt^ dy\'=z -xs-^dt^ duz=z -y- .dt. dtt ' d^ ^ dy
Ces formules sont les plus simples que puisse fournir rétat de la question. Lagrange, après avoir démontré dune manière ingénieuse;^ mais indirecte, rindépendance des coefficiens (et, A) , (Ç, r\) , (y, pî) , par rapport au temps t, s'en est servi pour en déduire les expressions générales que nous avons trouvées pour les varia tions des six constantes arbitraires a, b, ç,f, g, h. En effet , quelles que soient les constantes qui entrent dans lies intégrales de la première approximation , elles ne peuvent être que des fonctions des six quantités a > &, ^, A, >î, /t, et il suffira pour les obtenir de supposer / =1= o dans ses intégrales. La quantité de £l peut d'ailleurs être considérée, soit comme une fonction des six constantes primitives ft,^,y, etc., soit comme une fonction des six constantes arbitraires a, h, c, etc. ; et Ton peut conclure par conséquent Içs di^érençies partielles de n, relatives aux premières, des d^éreuces partielles de la même fonction» reïativçs aux dernières. Si l'on différencie ainsi^ par rapport au t<s,n)ps t, les six constantes a, h, c, etc., regardées çopme fonctions de (X, f ji etc. , qii'on substitue po^r dct^dS^ çtc. , leurs valeurs données par les équations (g), et que l'on convertisse ensuit(^ les différences de A* relatives à a, ^, etc.; eu différences prises par rapport à a, b, etc..
on retrouvera sans peine la formule (D) et les fôiv mules semblables relatives k b, c, etc., auxquelles nous sommes parvenus directement. Au reste , les formules (g) ont paru jusquici plus remarquables par leur forme que par leur utilité.
19. Lorsque les variations différentielles des cons* tantes a, b, c, etc., seront déterminées par ce qui précède, on aura par l'intégration leurs valeurs finies, qu'on ajoutera respectivement à ces constantes dans les valeurs des variables ^, %{• , 9 , trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices ; on connaîtra ainsi les valeurs de ces variables qui satisfont aux équations du mouvement troublé, et qui doivent dans ce cas déterminer à chaque instant la position du système. Mais, comme les quadratures d'où dépendent les valeurs des variations finies des constantes arbitraires a, by etc. , ne seront pas possibles en général, on sera réduit à les déterminer par des approximations successives. On commencera par n'avoir égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices ; on obtiendra ainsi une première valeur approchée des constantes arbitraires regardées comme variables , à I^'aide de laquelle on pourra tenir compte du carré des forces perturbatrices ; et en continuant de la même manière, on parviendra à des valeurs intégrales aussi approchées que Ton voudra.
Concluons donc généralement que l'on peut toujours représenter l'action des forces secondaires qui agissent sur un système quelconque de corps, et qui ne font que troubler les mouvemens que ces corps
DU SYSTÈME DU MONDE. aS^
luraient en vertu des forces principales dont ils sont nimés , par les variations des constantes arbitraires [ui entrent dans les équations intégrales trouvées, en aisant abstraction des forces perturbatrices. Si Ion létermine ces variations de manière à ce que les inégrales premières soient, comme les intégrales finies, es mêmes dans les deux mouvemens, leurs differenr îeUes se trouveront exprimées par des formules très impies, au moyen des difierences partielles de la onction perturbatrice, et l'on pourra donner à ces brmules une forme très commode pour les applicaions, en employant, au lieu des différences partielles le cette fonction relatives aux variables du problème , les différences partielles prises par rapport aux constantes introduites par les intégrations.
Ces considérations semblent surtout applicables a la théorie du système du monde. Les perturbation» causées dans les mouvemens de révolution et de rotation des planètes par leurs attractions mutuelles^ en offrent, comme nous lavons dit dans le chapitre précédent, une application directe ^ celles qui dé-pendent d'une cause spéciale , comme les inégalités de la Lune dues à l'aplatissement de la Terre ^ s'en déduisent aussi facilement. Enfin, on peut encore regarder comme une force perturbatrice la résistance du fluide éthéré que les corps célestes peuvent être obligés de traverser, et les principes précédens donneront le moyen d'avoir égard à cette action. Nous 1 avons dit^ c'est à Lagrange qu'est due la belle théorie que nous venons d'exposer; mais il avait suivi, pour la traduire analy tiquement , la marche inverse de celle que non»
avons adoptée. Ilconitnença fiar déterminer les différences partielles de là fonction qne nocfe avons désignée par n, relatives aux constailtes ârbifrâîi'ëà résultantes des pteintères intégratîoïiâ ; îl les exprima au moyen de lents variations différentielles multipliées par des fonctions de ces mêmes constantes ^ et il par- •Hnt d'une manière tr^s simple à démontrer que ces fonctions étaient toujours indépendantes du tefnpS. H fallait ensuite que, par les procédés oMinàireS die Télimination , on tirât de ces formules les valeurs ûé^ variations différentieQes des arbitraires qu'il s'agissait en définitive de déterminer; mais cette opération devait entraîner souvent dains de longs calculs, et Ton jiii pouvait désiiier encore une méthode directe pour parvenir au même but. M. Poisson entreprit de la découvrir, et îl y réussit dans un beau mémoire lu à l'Académie des Sciences , en 1 808 , et qui complète la théorie de Lagrange. Cet habile géomètre avait senti lui-même les défauts de la méthode qu'il avait d'abord proposée ; il parvint à la corriger et à éviter, par des considérations ingénieuses, ses principaux inconvéniens, en sorte que la théorie générale de la varia- ' tion des constantes ^arbitraires dans les problèmes de Mécanique, atteignit, sons les yeux mêmes de son inventeur, toute la perfection désirable; Il restait à en faire l'application à la Mécanique céleste, à réunir ainsi sous un même point de vue les découvertes des grands géomètres qui en ont fait l'objet de leurs méditatîonè, à faire dépendre enfin la détermination des diverses inégalités des mouvemens des corps célestes d'une même analyse, comme elles dérivent toutes
DO SYSTÈME DU MONDE. 23f>
ne même cause. C'est à atteindre ce but que cet rrage est spécialement destiné. Les mouvemens de olution des planètes et des comètes , les mouvens de rotation des planètes autotir de leurs centres gravité, les dérangemens qu'elles peuvent éprouver is leur marche , par la résistance d^un fluide très e , occuperont successivement notre attention dans livre et dans les suivsms, et Ton verra tous les faits lendans^de ces phénomènes dériver naturellement principes que nous venons de développer, et qui ^ is Fétat imparfait de nos connaissances analytiques , vent désormais servir de base à la théorie mathétique du système du monde.
»4o H1XÉ0BilE ANALYTIQUE
