CHAPITRÉ IV

M fil» V'.r«l»il

Première approximation du Mouuement de révolution des Corps célesîels , ou Théerie du Moui^ement elliptique.

20. Siroit n'a égard qu'à IWtiôn réciproque des deux corps m et M, et qu^on fasse abstraction des autres corps m', m", etc. , du système, les équations (E) qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M se réduisent aux suivantes

d*x , fix d'y . fiy d^x . uz , .

en supposant, pour abréger, r =s= s/x^-^j* + s% et jU = M-4-?n, cW-à-dire égala la somme des masses du corps attirant et du corps attiré*

Comme ces trois équations différentielles sont du second ordre , leurs intégrales complètes devront renfermer six constantes arbitraires dont la détermination dépendra des circonstances primitives du mouvement. Développons ces intégrales.

Si l'on multiplie la première des équations précédentes par/, qu'on la retranche de la seconde multipliée par X, et qu'on intègre l'équation résultante ,

DU SYSTÈME DU MONDE. aifi

bn aura

c étant une constante arbitraire.

On trouverait d'une manière semblable les deux: autres intégrales

gp-ŒC, 3j — C, \p)

é et S^ étant deux nouvelles arbitraires.

Si l'on multiplie ces trois équations^ la première par z^ la seconde par 7*^ la troisième par x^ et qu'on les ajoute ^ on a

€?a+cy + c''ar = o; (i)

équation d'un plan mené par l'origine des coordon-* nées; ce qui nous montre que la courbe décrite par iti autour de M est contenue dans un plan passant par ce dernier corps. Si l'on nomme ^ l'inclinaison de ce plan sur celui des a^ çX ûl l'angle que forme leur commune intersection avec l'axe des x^ il est aisé de voir qu'on aura

tang^sm£(=— , tang^cosa=— - - ;

d'où Ton tire

tanga=— ^, tangç>= J^-i-^ \

Et en faisant , pour abréger , c* + c'*+ c"* = A:* , €?= A.cos^, c'=-*-A:.sîn^cosa^ c''=A:.sin^sincc. Tome I. 16

a42 THÉORIE ANALYTIQUE

-"Les deux angles a et ^^ qui fixent la position du plan yde la trajectoire, seront déterminés par ces équations lorsque les constantes arbitraires CyCy c'^ seront connues; réciproquenousQt,, 5^ aura Içis valeurs de f^ constantes au moyen des trois autres arbitraires a^ <P' et A:; on peut donc isUbstituer ces ti^is dernières arbitraires aux précédentes.

L'équation (i) repi^sente l'une des înti^gr^^es finies des équations (a). Pour obtenir une nouvelle înté- ^ale, multiplions la premiçre de ces écjuatîons par :kdXf la seconde ipaîv Q,djr^ la troisième par tkdz; a^outons«-le8 ensuite et înlégi^ns leur sonime i en observant que ûodip^jrdjr'^zdzfscrdrf tiôtis aurons

h étant une constante arbit3raii?e«

Mais si Ton ajoute les trois, équ^tio^nis^ {h) et {c),f aprèstles a-vpif: élevées au carré, et^i^'on ifasse^ çoçipie précéd^xajQ^ent ^ £?*-+- d^^ç^* == A:*^^ pu a