xy . dxdy + xz . dxdz -f- yz . dydz

équation qu'on peut écrire ainsi

{x*+y^'+i%%{dj^^dy^+dz') (xdx+ydy+zdzY ,

oubî^

Si Ton élimine — ^ entre cette ëcpiation et

I équation (e) , et si l'oci résout par rapport à di Féqaation résultante^ on aura

Cette équation donnera t en fonction de r, et réciproquement reh fonction de t. On aura en l'intégrant la seconde intégrale finie des équations (a).

Pour trouver la troisième , j'observe que si l'on désigne par di^ l'angle infiniment petit compris çnfrei deux rayons consécutife r el r-j- ^^ le carré de l'élément de la trajectoire sera égal à dr^ -{- r*di^^; en sorte qu'on aura

Si l'on substitue cette valeur dau^ l'équation (^, elle devient r^rfy* == l^dt^ : d'où Ton, tire

La quantité ~ r*Ji^ représente l'aire élémentaire décrite par le rayon vecteur r pendant l'instant dt ; cette aire est donc proportionnelle à l'élément du t^oip^/etpar conséquent dans un temps fini, elle est proportionnelle à ce temps. On voit encore par cette équation que le mouvement angulaire de m autour de M est à cbaque p^int de la trajéct^oire réciproque au carré dé son rayon vecteur, ce qui fournii: un moyen très simiplepottr calculer les mouvemensdes'plavrètes et des

!à44 THÉORIE ANALYTIQUE

comètes daiis les différens points de lears orbites peiH dant des intervalles de temps supposes très petits.

Si dans Téquation pr écëdente ^ on substitue pour if/ sa valeur en r et dr, elle devient

Nous avons vu que la trajectoire est une courbe plane; il s^ensuit que Tangle i^ exprime la longitude du rayon vecteur r compté dans le plan de cette courbe, à partir d'une ligne fixe : Féquation précédente donnera donc en l'intégrant la relation qui doit exister entre la longitude et le rayon vecteur, c'est-à-dire l'équation polaire de la courbe décrite. Le maximum et le minimum des valeurs de r seront détermina par l'é-^

quation

2(tcr— Ar* — A:* c= o ;

d'où il suit que la somme de ces deux valeurs est

égale à ^ et leur produit à -r-. Si l'on désigne donc

par a.(i-he) la plus grande, et par a.(i — é) la plus petite^ on aura

d'où l'on tire

A=e, k^\/]l. v/ii.(i — e»). (p)

La constante a est la demi-somme des valeurs extrêmes de r ou la distance moyenne de m à M, oe leur demi-différence. Si à la place des constantes h et k.

DU SYSTÈME DU MONDE. n^S

on substitue les valeurs précédentes dans l'équà^ tion ( /) , elle devient

cette équation peut s'écrire aiasi :

ds^=i

v/:. [--ir^h:]'

d'où l'on tire ^ en intégrant,

v=zoà -t-arc • y cos = J >

tiû étant une constante arbitraire.

On aura donc réaprocfuement

Cette équation est celle des sections coniques , Tortgine du rayon vecteur r éta^t au foyer ^ La constante a est le demi grand axe de la courbe, e son excentricité.

Le corps m^ dans son mouvement autour de M, décrit donc une section conique dont ce dernier corps occupe un des foyers; et Fonvoit de plus par l'équa-^

a46 THÉORIE ANALYTIQUE

tioa (A) , que le corps m se meut de maiijlère que les aires décrites par les rayons vecteurs croissent conune les temps. Telles seraient donc les lois du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil , si elles n'obéissaient qu'à Faction de cet astre, et si l'on faisait abstraction des perturbations causées par leurs attractions mutuelles.

Ce résultat, d'ailleurs, dérive naturellement de la supposition. Eu eflfet, nous avons fait voir, n° 2, qu'un corps attiré vers un centre fi«e par une force réciproque au carré de sa distance , décrivait autour de ce point une section conique. Or, pour avoïï* le mouvement relatifde m autour de M, il faut supposer ce dernier corps en repos, ce qui i^vieutii iqçipliquer en sens contraire à m une force jégale à l'action que ce corps exerce sur M ; en sorte que dans ce mouvement relatif m est sollicité vers M par upe .force égale à la somme des masses Met m, divisée par le carré de leurs distances mutuelles; le cor|6 m doît dooc «décrire une section conique autour de M.

L'équation (2) dontie 1^ en fônctïOii dé r; ettotrime le jayon vecteur est donné ejn fonction du temps par l'équation (g^), il sera facile de déterminer à chaque instant la position de la planète dans son orbite, lorsque cetl$ 4ernière «qiftattoti sèira» intégrée. Si; Ton y .substitue fojxcih et.Arrletoàrswaleuos ^o),.eUe devient

dl^=

j/^.y/zr-j./^ — a. (! — «*)

rdr

Faisons A-— r=ae. cos.i^y cç qui donne

r=a.(i — e.cosK); (5)

on aura

d'où Ton fine en intégrant

* + l=5 --j=:.(m — e.sinii); (4)

Vf*

l étant une constante arbitraire.

Cette équation dônnet^tteù fonction dèf ; et comme r est donné en ibnction de il par réqnàtîôh (3) , on aura pour uh inétant quelconque là Valeur du rayon vecteur de la plan^ dans son orbite.

Si Ton cotii|yàre l'expression précédente de rà celle qui résulte de l'équation {a) , on aura

I •«— é.coseï

d'où l'oa tire

sin (v — 0) = ' ^ cos f V— •) :=