CO

et par conséquent

tangi(i^^û,)=^|±l.tti*^i*. (6)

Cette équation déterminera la valeur de l'angle v lorsque u sera connu en fonction dû temps.

a48 THÉORIE ANALYTIQUE

Les trois intégrales finies (i), (2), (4)> que nous venons d'obtenir^ contiennent six arbitraires a , e^ct, ^, C0, l; elles sont^onc les intégrales complètes des équations (a). Les constantes a et e déterminent la nature de l'orbite ; les constantes (t et ^ sa, position dans l'espace ; enfin , les deux dernières arbitraires cà et / dépendent, l'une de la position du périhélie ^^ et l'autre de l'époque ou de l'instant du passage du corps m pçir ce point.

21. Quoique les formules précédentes satisfassent complètement aux équations difierentielles Çfi), ces équations peuvent cependant fournir encore d'antrses intégrales dont la forme particulière ofire de$ avantages dans certaines circonstances. Pour en donner mx exemple, reprenons les équatioAS (à), et les trois intégrales premières (A) et (c) , relatives à la conservation des airea. Fj^iisons j^ pour syiipUfier ,, /^z^i; nous aurons

xdy — ydx , zdx-^xdz „ ydz^-^zdy . .

Si Von multiplie membre à membre la première de ces équations par la cinquième , et qu'on en retranche la seconde, multipliée de la même manière par la sixième, on aura

jT ^ = -^ . ixdz — zdx) — -i. . {^dy—ydz}

idz'^zdr j z

c'.dz — o

.dx

e.dy—'C

On trouverait aisëment pour d.^ et d.- des valeurs semblables ^ et en les intégrant ^ on ^ura

z c' ,dx — c *dy r

+f> ) (jn)

r— dt '^J''

ftfff^' étant trois constantes arbitraires.

Si ces équations étaient réellement distinctes entre elles ^ réunies aux équations {c)^ elles suffiraient pour résoudre la question ^ puisqu'en éliminant entre ces six intégrales premières les différences dx^ dj, dz, on en tirerait trois intégrales finies contenant les six arbitraires c, c', c*^, /,/',/", qui seraient par conséquent les intégrales complètes des équations différentielles (à). Mais Tune de ces six intégrales rentre dans les cinq autres ; et c'est ce qu^l est Êicile en effet de concevoir à priori y car, comme elles ne renferment que lelément dt du temps, on voit que les intégrales finies qui en résulteront seront insuffisantes pour déterminer les coordonnées x, jr, z, en fonction du temps. Il doit donc exister quelque équation de condition qui lie entre elles les six constantes arbitraires c,c',c',f,ff'.

En effet, si Ton multiplie la première de ces équations par c, la seconde par c\ et qu'on les ajoute ensuite, on aura

a5o THÉORIE ANALYTIQUE

±JJL = ^>,iJî-^^fc^fc'.

lec;

On a d'ailleurs par l'équatioii (i) cz + c^ = — à^x\ j par conséquent

cdy — d .d% fc ^fc'

r dt €' |p

la Cette équation coïncide avec la troisième des ëqua- 1

tions {rn) , lorsqu'on suppose /" = — tlX^ ou | ^

fi +fc' +/V=i o- Les constantes c, c\ d\ fffff n'équivalent donc qu'à cinq arbitraires distinctes^ et la dernière des intégrales (rn) et (c) résulte des cinq autres.

Ces intégrales cependant suffisent pour déterminer complètement la position et la natiir e de l'orbite que le corps m décrit autour de M. Les trois premières montrent que cette orbite est une courbe plane^ n® 20; les trois dernières déterminent sa nature. En effet, si l'on multiplie la première par z , la seconde par^, la troisième para:, et qu'on les ajoute, on aura

**"f- J^'-^-g* xdy—ydx , zdx — xdz ^„ ydi'^^idy

'r -'^- 'dt "♦"''• dt ^ ' S

équation qui , en vertu des équations (c) et en faisant pour abréger c* + c'* -|- <?"• = A:% donne

Celle équation, combinée avec les deux suivantes

DU SYSTÈME DU UOUBE. aAi

CZ+ cy^i^e^'x = o et /•• = jc* -f-^* -f- jb% conduit à l'équation des sections coniques^ l'origine, étant au fojer. Les courbes que décrivent les planètes et les comètes autour du Soleil sont donc des sections coniques.

Les constantes c, c\ d\ déterminent la position du plan de ^orbite ; elles font connaître aussi son grand axe^ puisqu'en nommant a la distance moyenne et e

l'excentricité, on a , n* :îo, A:= \/a . ( i — e*) , équation qui donnera la valeur de a lorsque celle de e sera connue. Les constantes f^ f ^ /" déterminent cet élénient, ainsi que la position du périhélie sur Torbite* En effet, si des équations (/ti) on lire les valeurs de jj y^, jT', et qu on les ajoute après les avoir élevées au carrée on aura

(cdz + cdj+cdxK* dt ~) •

Mais 1 équation (i) n* 20, en la différenciant, doniie cdz^c*djr'+'d'dxz=iO; l'équation précédente se réduit.donc à celleH;! :

. W rT*" ~- W~~. ~°'

Cette équation, comparée à l'équation {e); n** 20, donne

a5à • . THÉORIE AKALYTIQUE

d'où , en substituant pour hetk leurs valeurs, et supposant toujours /M := I , on tire

Soit i Tangle compris entre la projection du grand axe de Torbite sur le plan des xjr et Taxe des x, eu nommant a/^ y\ J les coordonnées du périhélieit on aura

tang ï=^-

Aux extrémités du grand axe, dr est nul; on. a donc en ce point xdx '\- ydjr -^r zdz^=i a. En substituant pour c^ c\ d\ leurs valeurs [c) dans les deux der* nières équations [ni) , et en les divisant ensuite l'une par l'autre , on trouve , en vertu de la relation pré^ cédente >

par conséquent

tangiss-^.

Les trois constantes /i y ^/^', déterminent donc Texcentricité et la position du grand axe de la section conique.

On connaîtra ainsi tous les élémens qui fixent la position et la nature de l'orbite décrite; quant à la situation de la planète sur cette orbite , il faut pour la déterminer avoir les valeurs des coordonnées x,jr, Zp en fonction du temps, ce qui exige une nouvelle intégration. Or; on a; n"" 20;

DU SYSTÈME DU BIONDE. i53

Cette équation donnera la valeur de ren fonction dé /; et comme on peut déterminer^ par ce qui précède, celle de x, àej et de z en fonction de r, ou aura à chaque instant les valeurs de ces coordonnées. Les formules précédentes nous seront utiles dans la théorie des comètes.

2:2. Reprenons les trois intégrales (3)^ (4)9 (5), qui suffisent pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de m autour de M. Si Ton fixe Torigine de Fangle v au périhélie de Torbite, ce qui do^ne û»=iq^ et qu'on prenne pour l'époque d'où l'on compte le temps / l'instant du passage de la planète par ce point,

ce qui donne /= b, en faisant pour abréger ^^ =: n^

ces équations deviennent

nt:=iu — a.sm Up r = a.(i •— e.cos 2^),

tangjp = Y/73;-tang-i£.

On voit par ces formules , que si Fangle u augnaente de 560**, le rayon r reprend la même valeur, et l'ange t^ augmente pareillement de Sôo**; la planète revient donc alors au même point de son orbite. Mais l'angLe u croissant de quatre angles droits, le temps t est aug-

a54 THÉORIE ANALYTIQUE

mente de f '= ^7= . 36o''. C'est le temps que la planète j

emploie à revenir au même point de son orbite ou i faire une révolution entière. Ce temps ne dépend que du grand axe 2a; il est indépendant de l'excentricité f, et il est le même que si la planète décrivait un cerde ayant pour rajon la distance moyennes. On soiraitdaitt cecas etrso; ce qui donne r:=za, uz=zht, vr=zu, cl par conséquent (^z=:nt; les arcs parcourus sont donc proportionnels au temps, et la planète se meut unîformément sur le cercle dont le rayon estû. La qnan-. tité ni représente généralement Tare que décrirait, pendant le temps t , un astre quf^ |>artaht du périhélie au même instant que la planète m, parcourrait avec une vitesse constante égale sl n, \m cercle décrit sur le grand axé de l'orbite comme diamètre. Cet astre passerait au périhél» et à l'aphélie en même tempi que la planète ; mais dans une moitié de la révolution, la planète précéderait Fastre, et dans l'atitre eHe serait devancée par lui. 1

L'angle nt est ce que l'on appelle le moyen mouve- | ment de la planète m. Si l'on prend sa distance moyenne ^ au Soleil pour unité de. distance, et quW suppose ; |iA = I , on aura 72 = 1 eti^ = t. Le temps sera donc alors représenté par les arcs que décrirait la planète sur le cercle dont le rayon est un, avec une vitesse égale à l'unité. C'est ordinairement au mouvement de la Terre que les astronomes rapportent les inouvemens , des autres corps du système solaire; ils prennent la distancé moyenne de la Terre au Soleil pour unité de distance , sa masse réunie à celle de cet astre pour

mîtë de masse, et eii supposant le temps compté en ours moyens solaires, Tuaité de temps se trouve représentée par l'arc que parcourt dans un jour la Terre au- .our du Soleil , en vertu de sou mouvement moyen.

L'angle auxiliaire u que nous avons introduit dans les formules précédentes est ce que Ton nomme Vanomalie excentriquej nt est X anomalie moyenne , et rangle v est Vanomalie vraie. Il est aisé de s'assurer, en considérant la seconde des équations (/i), que l'angle u est formé par le grand axe de Torbite et le rayon mené de son centre au point où la circonférence décrite sur son grand axe comme diamètre , est rencontrée par l'ordonnée abaissée de la planète m perpendiculairement sur le grand axe.

Les deux dernières équations (a) do.nneront les valeurs du rayon vecteur ret de la longitude v lorsque l'aj^igle u sera détermine en fonction du temps; mais l'équation qui donne i^ en t étant transcendante, il est iiHpqsaible ep générali d'^voif; la valeur de u par une expressioxi finie* Heureusement leçt : excentricité^ des orbites des corps célestes $9iït ou très petites qii trè^ grandes,: et dai]^ ces deux ç^j on peut déleirminerii en fonction de t par des fonpules très, convergentes* C'est ce qu'on nomme le probUme de Kepler^ parce que cet astronome est le premier qui se soit occupé de cette question. Pour la résoudre, nous ferons usage de quelques théorèmes connus sur les développemens des fonctions que nous aHons rappeler ici.

oSb Soit z uue fonctîoa quelconque de o^ qu'il s'agit de développer par rapport aux puissances ascendantes de cette quantité que nous supposons très petite ; on

aura généralement^ d'après la formule connue sou^k nom de formule de Maclaurin ,

• dm • 1.2 M* ' t. ^.3 cUr ' \ /

z' étant ce que devient z lorsqu'on suppose a s= o et ^ , Sï" ^ ^*^* ' désignant les différentielles succès*

sives de cette même fonction prises par rapport k a, dans lesquelles on ferait de même a =: o après les différenciations •

Cela posé ^ soit d'abord la valeur de z de cette forme 2 s= ^ (^ + a). Cette équation donnera générale*

ment j^ = -jj^ t quel que soit U La formule (m) deviendra donc ainsi

z=:z'+ct.--h-.^+7:^.^ + etc. (;;)

Supposons maintenant la fonction qu'on propose de développer en série, de cette forme z =^ (j:+ aj)j jr étant une fonction quelconque de z donnée par l'équation ^=y(«). Cherchons dans ce cas la valeur

du coefficient différentiel^,. L'équation a=^(j>4-ay)

donne d'abord

dz dz

Il ne s^àgit phis que de différencier successivement par rapport à a les deux membres de cette équation ,

et de substituer à mesure pour^ et fleurs valeurs;

mais oa peut éviter cette substitution en observant que l'on a généralement

dm djt

En effets si Ton effectue dans les deux membres de cette équation les différenciations indiquées, on trouve

dy d% dy d^

dct * ds "~" dx * dût '

Mais l'équation y=fz donne , en la différenciant ,

. dy dy d% ^y " dy dit

da dz * dm ^ dx ""~ dz ' dx*

On aura donc en substituant ces valeurs dans 1 équation précédente y l'équation identique

dy dz dz dy dz dz

dz * dx * dm "*"" dz ^ dx * dm*

Reprenons la valeur de -n-* que nous avons trouvée plus haut

Si l'on différencie succefliMment par rapport à a les deux niembres de cette équation, et qu'on remplace -j- par sa valeur, toutes les fois que ce coefficient se reproduira , on aura

dm^ "^ éU A? "^ dx '