Tome I

dz dz

a58 THÉORIE ÂHAÏTTtQCE

etc.

dx,dtt

d'où

l'on conclura généralement

•/ . 1 ds

Soient maintenant/' et s' ce que deviennent les valeur* de§ quantités^ et z lorsqu'on suppo^ £|f =?: o , on aura

. d^__ '^ ^dx :

et la formule génëralè (m)4bi!rtier«i pair cbnséqpient

On peut aisément étendre trètte formule au cas où la quantité qu'on veut développer serait une fotictiou quelconque 4^^ la valeur de 2 étant donnée parTéquation z = ^ (^+.^)^ 4BP laquelle j^==/z. En effet , si' IW -dés^e pin: k €*'^Tîe ^è (^viennent z et ;►- , kflvqu'oti wppos^ te^âsto, <cm «mra par Ik'méihe analyse

^ ^ ^ V dx J^i.i dx ^i.a.3- dx^

a4« Appliquons ces fQrmules au déyeloppement des

DÇ SYSTÈME DU IfQV.DË. a^g

équation^ (/i)^ d'où dépendent lesi mouyeaiens elliptiques des planètes et des comètes. La pr^iùière détermine Fanomalie excentriqujS u par l'anomalie moyenne ni; on peut Fécrire ainsi £i=n{-f-e. sin i^. Si Ton compare cette équation à l'équation z= ^(«r-t-a;^), onaz = i^y xz=snt, flt=e,^=sîntt, et par conséquent z'^ntf yz^sin.nt; la formule (çr) donnera donc immédiatement

U nfi reste plus qua exécuter les différeociatioiis indiquées ; mais pour obtenir des expressions plus simples , il est bon de remplacer auparavant les puis^ sances du sinus de nt en sinus et cosmus des multijdes du même angle. On trouve pour cet objet des formules commodes en faisant usage dés expressions des sinus et co$ious ^n expoùentielles imaginaires. En effet, c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique ^Bi I j on a

V ■! Il» >■ ■ iinji j ■ y

^ '> ^)/Tr ) •

I étant quelconque. Développons le second membre de la première de ces équations; nous aurons

eoaf.ntv^

ijgo THÉORIE ANALYTIQUE

Mais l'expression de cos' . nt peut aussi s'écrire de icette

manière

cos'

Cette équation donne en déyeloppant son second memhre

Ajoutons ces expressions de 2' .cos' . nt , en obsenrant que Ton a c*"' ; V^"" *+€?"" *"'• V^"* '=a ,cos. Ati^, quel que soit A: , nous aurons

2*.C06'.n^ = COS.inf+*.C08.(* — 2)»^— ri»^ COS. (*'— 4W|

-L.J 1^^.^— G08.(/-*^ 6)71^ ^-l-' etc. 1

On développerait l'expression de sin'.nf parunprô-r cédé semblable ; mais il fisiut ici distinguer deux cas , celui où i est un nombre pair, et celui où i est impair. Dans le premier cas , on aura

±:2^sin.'/i/xr:cos'. int - t.cos.(*— 2W4- cos.(» — i)n£

- — cos. (* — o)nt -f- etc.

Le signe supérieur étant relatif au cas où i est un multiple de 4> et le signe inférieur au cas où i est simplement divisible par 2.

Enfin si i est un nombre impair^ en observant que

DU SYSTÈME DU MONDE. a6i

que soit A, on aura /

— ^ ^'3 — sin.(£— 6)nt + etc; J

le signe supérieur se rapportant au cas où i — i est un multiple de 4 ^ et le signe inférieur^ au cas où 1 — i est seulement un multiple de 2.

Substituons dans la formule (^)^ k Id place des pui»*. sances de sin«72^'^ leurs valeurs données par les for-* mules précédentes , et opérons ensuite les différenciations indiquées , nous aurons

«=r»^4-^• sitt . !»*+ .2.8in.ait#

H 5 — r« [3*. «n ^ 3n/— - 3 . sin • tiI]

+ Q / g — 1'\ 5*.sm.5iït— 5.3Ksin.3/»/-f-— ï-,8in.7»t i

I •2.^.iL.O«2^ ^^ 1.2 '■

+ etc.

Cette série est très convei^ente quand on l'applique aux planètes. Elle servira à déterminer l'angle u pour un instant quelconque , et l'on aura ensuite , par les deux dernières équations (n), les valeurs correspondantes de /- et de ii. Mais il est plus sinaple d'exprimer directement ces deux quantités en séries de sinus et de cosinus de l'angle ni et de ses multiples.

26a THÉORIE ANALYTIQUE

Four cela remarquons que si dans la formule (r) on suppose z=zu, «=/»/+ e.sin u, jc=/i^,j^=sintt, cL=e, ce qui donne ^^z'^^-^^nt), j/^z^alnt^ elâ

pour abréger on fait 4'^*^= \J[^ f ^^ *^"^ gêné-» ralement

•>[ii =s -^nt -f-

Supposons maintenant 4'^^=^^^ ^f ^^^^ formule donnera

. . ê* d.mu^.nt\ ^ ^.810^^4

co$ii=co8./»^— «-tf.sin*.!»^-— . ; f i.- — r:7:r—