I.2I nat I.2U3 n*a
+ etc.
Si Ton développe cette expression par les formules {€) et (y) , et qu'après avoir effectué les différencia* lions indiquées y on la substitue dans la valeur de r donnée par l'équation r^=: ii.(i — e.cos u), on aura
I «SiOiS l»2«^.^.2* 1.2
— etc.
La troisième des équations (n) donne
tang.i.>=y/j±^.tang.ii/.
On peut tirer de cette équation la valeur de c» en fonc-
DU SYSTÈME DU MOllDE. a63
tion de i^, de sin u, sin 2u], etc.; et Lagrange a donné une méthode fort élégante pour y parvenir au moyen des exponentielles imaginaires. En remplaçant ensuite ces quantités ^ar leurs valeurs en séries ordonnées par rapport aux puissances de e, et déve^ loppées en sinus et cosinus de Tangle nt et de ses multiples, on aura la valeur de (^ exprimée dans une série semblable. Mais il est beaucoup plus simple de déduire la valeur de u de celle de r supposée connue au moyen de l'équation (h) du n^ 20.
En effet, si Ton substitue dans cette équation à la place de A* sa valeur\//x* V« (1 — 6*) et qu'on observe que v/^Ac=a*/iy on aura
du
= i/i — e^.j^.ndt
La formule (t), en supposant ^i/ == (i — e.cos uY = -7- . donne
Or
i.tf*. rf*. sin*. nt . ( i — g.cos.nt)'""^
Quel que soit i, si Ton fait 1= — 2, 6n en conclura aisément
a64 THÉORIE ANALYTIQUE
+ — 7. [i 3.008.37»/ + 3.oas./»f]
-f- 5—5 . [ I o3.co6.4/i< + 8.cos.2n^ + 9]
H j-r . [1097.cos.5nt — 75.cos.3/tt+i3o.co8.ofl
+ otc.
Si Ton substitue cette valeur dans di^ et quor^ intègre ensuite, on trouvera, en ne portant l'approximation que jusqu'aux cinquièmes puissances dé e inclusivement,
H- j-i.(i3.siii .3/1^ — 3. sin.^O
+ 5~5*[*o3 .sin . ^nt'-^^^.sin . 2nt}
+ — ^g~^. [io97.siu.5/»f— 645.sin.3w<+5o.8in.»t}
nhetc.
La suite des termes 2e • sin . n/ -{ — ^ 6* . sin . 2nt + etc. ,
est ce que les astronomes appellent t équation du centre , c'est-à-dire l'angle qu'il faut ajouter à la valeur moyenne de \^ pour avoir sa vraie valeur.
Les angles Uy v eXnt dans ces séries sont comptés du périhélie de l'orbite; si l'on voulait conapter ces angles à partir de l'aphélie, comme on le faisait
autrefois^ il suffirait de les augmenter de la demi-» circonféreocçy ou, ce qui reyieat au même, de changer le sigae de la quantité e dans les formules précédentes. Mais il vaut mieux adopter Tusage nouvellement introduit dans nos tables astronomiques de compter les anomalies à partir du périhélie^ afin d'avoir des fprjiaules semblables, dan^ le cas où les orbites sont presque circulaires , comme celles des planètes , et dans celui où elles sont très excentriques , comme celles des comètes.
Si, au lieu de compter la longitude u du périhélie « on fixe son origine à un point quelconque de Torbite, il suffira de diminuer dans les formules précédantes langle ^^ qu'on supposera représenter ces nou velles longitudes, de la constante a» qui exprimera la longitude du périhélie. De même , si , au lieu de compter le temps de l'instant du passage par le périhélie , on fixe son origine à ua instant quelconque après ce pas--* sage, l'angle nt devra être augmenté de la constante nZ=€-^ai , € désignant la longitude moyenne de la planète à l'instant d'où l'on compte le temps. Nous nommerons désormais la constante ê la longitude de répoque; les expressions de ret de t^ deviendront ainsi
