CI
I + - . e* -— (tf — Q . r*) . cos . (ni -h « — •)
— f-.«*-^*-.e*yco8.2 (ji^+i — m) — etc. I
L'angle v edt k longitude Traiè de' là planète; Kaftgte ni Hh <^ sa longitude moyenpe , et Tangle M^e-*^«Ê son anomàCe moyenne; led longitudes , ainsi qil6 k rayon vecteur r, étant rapportées au plan mèoiè de l'orbite.
^5. Déterminons maintenan t la position de l»plABèle par rapport à un plan fixe que nous supposerons très peu incliné à celui de son orbite. Si l'on désigne par ^ l'inclinaison mutueUe de ces deux plans ^ par « la longitude , comptée sur le plan fixe , de leur com-* mune intersection que nous nommerons désotttiaisla ligne dés noeuds^ et par € cette' longitude comptée dans le plan même de l'orbite , qu'on nomme •/ la longitude du rayon vecteur projeté sur le plan fixe^ rângle f/ — A seçi la projection de l'angle p *— ff qui représente la longitude dans l'orbite comptée du nœud , ou ce qu'on appelle V argument de la latiiude; et en considérant le triangle spfaérique rectangle dont V — C est l'hypoténuse, i^'— aun côté de l'ànglè droit et Ç> l'angle adjacent, on aura
tang (/ — a)ssz cos ^ . tang {p — ^) ; (2)
équation qui donnera i>' au moyen de (^, et réciproquement.
Les valeurs de ces deux angles peuvent d'ailleurs se développer en séries convergentes d'une manière fort simple , en faisant usage des exponentielles imaginaires. Si Ton désigne par c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, l'équation précédente pourra être mise sous cette forme
■le
le
le.
ou bien en réduisant
te. ,
■ — :^Cdsf. " . — ^— ■
On tiré de là
<; ^ ' w - * ^ "f ' ■ ■! I u jiiii I I ih ■ » ■ ■ â
et en remarquant que
I + cos ^ ^ I ° 2
on aura
i + taiig»^f.c^-(^-^V^-''
d'où Ion tire, en prenant les logarithmes des deux membres en divisant par a V^ — i y
ay — I N . . 2 /
ny — I \ 2 /
Qu'on réduise les logarithmes du second membre eà
î68 THÉORIE ANALYTIQUE
Ivf
séries , et qu'on substitue aux exponentielles îmagH naires les sinus réels correspondans , on aura enfia |i la série
— tang*— ^.siii2(<^ — C) + -.lang*- ^.8ih4(^— C) I
— -^.tang^— ^.siaô (v— C) + etc.
On déduirait^ par un procédé semblable, de l'équation (z) mise sous cetle forme
tang(i;— ^) = ^.tang(i;' — ct), l'expression de v en /, et l'on trouverait
^ — C=i'' — tf+tang*— ^.sin 2(i^'— •)H — .tang*— ^.sin4(^'— «)
H--r-. tang^ — ^.sin6 (i^' — a) -f-etc.
On voit que ces deux séries se transforment récipro^ quement l'une dans l'autre , en changeant le signe de
tang* — ^, et en substituant (^ — € à i^ — a et i^' — a à s^ — €.
Si l'on voulait avoir l'angle v' — a en fonction de sinus et de cosinus de nt, on observerait que l'on a ^ n* 24 ^
P étant une fonction des sinus de l'angle nt+6 — m et de ses multiples. On aura donc, quel que soit i, sin i.(^ — ^) = sin i.(/î^ + €— ^-4-^?)^ et par conséquent
pu SYSTÈME DU MONDE. 26^^
d'où l'on tire en développant
sin »(i/ — ff) '
=( I 5-7+ - o / ir /: +elc- ).sin.ï(/»/+i— C)
/.« i^^^ , fie^'P^ ïVF . , \ ., . ^.
En faisant successivement dans cette formule i = 2 , i = 4f <'=6y etc. 9 et substituant les valeurs résultantes dans la série qui donne i^' « — a, langle v* se trouvera exprimé en fonction des sinus de nt et de ses multiples.
Désignons par 6 la latitude de la planète au-dessus du plan fixe;, le triangle sphérique que nous avons considéré plus haut donnera
tang ô = tang ^ . sin (/ — «).
Cette équation peut se développer comme les précédentes; mais il en résulte une série moins simple que celles qui donnent les angles (/-^ a et u — C. On trouve par la méthode des exponentielles imaginaires
$ = tang ^.«n(M'— ce)+ ^3^. [«in 3 (</'— ce)— 3 . sin (v -r «)]
-|. !^1^. [»i„ 5(<.'— •) -.5.sin3(*.'— ^)+ lo.sin (*/-•)] + etc.
Enfin si l'on désigne par / le rayon vecteur r projeté sur leplan fixe , et qu'on fasse pour abréger tang Oss s,
a7o THÉORIE ANALYTIQUE
oii aura
r'= r cos ô :i= r.( i+«*) = r. l I— — .s'H 7 . «* r . »®H — ~ . «*— elc Ji
Les différentes séries que nous venons d'obtenir ne sont convergentes qu autant qu^oa suppose très petite la valeur de e et celle de Tangle ^; elles ne peuvent servir par conséquent que pour les planètes dont les excentricités sont peu considérables , «t dont les orbites sont généralement peu inclinées les unes aux autres /de manière qu^en prenant pour plauv. fixe Yor^ bite de lune quelconque d'entre elles, les incitnaîsoiis des autres orbites sur ce plan deviennent nécessairement de très petites quantités. Les àstronon^es rapportent ordinairement leurs obséryâtiotils au plan de lecliptique , c'est-à-dire dé l'oAite que décrit -la ten e dans son mouvement annuel ^mtçur du Soleil; il convient donc de choisir ce plan pour le plan fixe auquel nous rapportons les mouvemens des autres corps célestes , afin de pouvoir comparer la théorie aux ol>fiervations. Quant tnix iongîtudes, on les comptera ^ suivant lusagè, sur ce plan à partir de son intersection avec l'équateur, ou de la ligne des équinoxes. On aura ainsi, par les f6pmiilé$,précédentes, la valeur du rayon vecteur et de la longitude dans Torbite lorsque leurs projections sur le plan de Féoliptique seront connues, et réciproquement.
26. Les formules du mouvement elliptique peuvent «noop^ se réduire en séries oonvei^enies -dans le <cas ,d une :<>rbîte très excentrique, eomme cela a liefu pour
DU SYSTÈMî; du monde. S171
les comètes. Pans ce cas^ e difiere peu de lunité. Si l'on nomme B la distance de la comète à son périhélie , on aura D = a . ( i — e) , et Féquation de l'ellipse donnera
D.fi+O D.(i+*)
f ""^^ If ■ ■ Il ■■>■!■ ■. ■ ' ■ " SES ■ > I I n r ■ I ■ ■■ « ■
i+COSi^— (l— «) . COS i' , , \ a* I /. \ • «'
COS* -i'/ 1 H : — . tang* -i^\
Faisons pour abréger --7-- sssE ^ E étant une fort petite
quantité, et développons la valeur de r en série ordonnéf par rapport à E ; nous aurons
r = /t -E.tang»- 1^ + E^Jtang* -i>— E^.tang^iv-Htc.) . (/)
COS" - i'
Pour avoir de même le temps ^ en fonction dal'anoma^ lie i^fOn substituera pour r* sa^alçur dans Téquation
el rôii' «tégrct^a ^e^p^ession résultante. On trouve
ainsi
X Ti — E.tang*-!!' + E^-tapç^-t' — E^. tangf-v-+:€tç.j c^.taQg-^;
d'où r^P Vîi*^ > en réduisant , et en intégrant
