Tome I. i
3^4 THÉQRIE.AMALÏTIQUE
mais la seconde des équations (o) donne
On aura donc , en mettant à la place du petit arc x sa tangente, • ^
taiigi= — .(i — i^).tang-*^.r4""3.co8*-i/'— 6.co8*-i/j*
• Par conséquent, si Ton forme une table d^ logarithmes de la quantité
^.tangV.(4— S.cos'V— 6.co8*i<^),
on n'aura plus qu'à leur ajouter leiogarithme dé i — e pour avoir celui de tangx* Cela posé , pour avoir l'anomalie V .correspondante au temps t dans une ellipse fort excentrique, on cherchera, par la table du mpu-vement des comètes, ranpmalie y' qui répond au temps t dans une parabole, dont D est la distance périhélie , et l'on déterminera^ par la méthode précé^ dente la corr^jdon à faire à Tanomalie i^' pour avoir l'anomsÀie correspondante v dans l'ellipse.,
La première des équations (o) donnera la valeur du rayon vecteur r lorsque T^nomalie p sera connue»
On peut encore , dans le cas de l'ellipse fort excentrique , convertir en séries convergentes Texpression du rayon vecteujr , du moyen mouvement , et de Tanomalie vraie, en fonction de l'anomalie excentrique; nous ne développerons point ici ces formules qui sont de peu d'usage.
27. Il existe entre le temps employé àdécrire un arc de parabole^ les rayons vecteur^ menés aux extrémités de cet arc , et la cdrde qui le soutend une relation curieuse qu'il est bon de èonnaltre, et qui "se déduit aisément des formules du mouvement parabolique. En effet', en supposant ft = i dans les équations (cr), on aura,
r=?J).{i-*.tang*iA,.
Soient r' et i^' ce que. dçrvîennenf r et V au Ktpitt du temps t'i 2' — < sera le temps employéjgfr la comète à parcourir Tare de parabole intercept^ar le^ deux rayons vecteurs r et r'.' Nommons € Tangle que ces rayon§ comprennent entre eux . en. sorte qu'on ait
i^' — . i; =s C j si , poof^ nbn^efflx)» iSut taiig^:iryBii;p u , tang - p'=tt', et tang'^ bf=â>;^ Ob aura
. ii'5actaug*(<»4^^:)ate-ti*2,i .: ^j !
Les formula (o') donnent d^aiUeurs,
r=:rD.(fH-«'), V = D.(i +«'•),
a76 THÉORIE ANALYTIQUE
i' —f = V/âD» . ftt' — Il + 5 . (a'» — tt»)^.
En substituant donc pour li sa valeur , ou aura
Soit maintenant c la corde qui joint les extrémités des deux rayons r et r', en considérant le triangle formé p^r ces trois lignes, et en remarquant que
cos^ = ^-r-^, on aura
Faisons pour abréger r-f-r^+csra;? , et r+-r' — css^ç^, d'où l'on tire r+r'ss/i-f-ç^, (r+/)' — c^z=z^q^ réquatîop précédente donnera
'• rr
ou bîeri remplaçant r etV par leurs valeurs, et extrsynnt: Je» racines dea; deux membres ,
Si dans l'équation /i + y =s r + r', on remplace de même r et / par leurs valeurs, on a
et par coaséquent
d'où l'oa tire*
VP9
substituant cette valeur et celle de —-77, , dans la leur de £' — £, on trouve
va-
Cette formule remarquable a été donnée , pour la première fois , par Euler : nous verrons ^ dans le chapitre suivant , comment on peut l'étendre au mouvement dans l'ellipse et dans lliyperbole.
Il nous reste à considérer les formules relatives aux orbites hyperboliques; mais comme cette recherche est de pure curiosité^ et que ses irësultats me peuvent avoir. aucune application dans letat actuel du système du monde , nous ne nous y arrêterons pas y et nous terminerons ce chapitre en montrant comment les lois du mouvement elliptique peuvent conduire à la connaissance approximative ide la masse des planètes.
38. Nous avons vu, n* 3 2, que siToo désigne par T la durée de la révolution sidiérale d'une planète ,. dont a est la distance moyenne au Soleil , on avait
278 THÉORIE ANAtYTIQUE
TT étant le rapport de la circonférence au diamètre, et jx la somme des masses de la planète et du Soleil. Si Ton néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil^ la quantité fi sera la même pour tous ces corps , et désignera simplement la masse du Soleil. Ainsi donc, pour une autre planète quelconque, dont a' serait la distance moyenne, et T' le temps de la révolution sidérale , on aura encore
m/ ^"TF.a*
par conséquent
d'où il suit qqe les carrés dés temps des révolutions des deux planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites. C'est Ténoncé de la troisième loi de Kepler. On voit que cettç loi n*est pas rigoateusement exacte; elle n*a lieu qu'autant qu on néglige les masses dés planètes vis-à-vis de celle du Soleil ; cependant, comme les observations nt'y font remarquer que de légères différences, il en faut conclure que les masses d^s planètes sont effectivement très petites ^ relativement à la inasise de cet astre.
L'équation (/) fournit un moyen très simple de déterminer le rappojl; des masses des planètes qui sont accôinpagnées de satellites à celle du Soleil. En effet, supposons que l'on considère le mouvement de la Terre : si Ton néglige sa masse par rapport à la masse M du Soleil , cette équation donne
DU SYSTEMS DU>1IID!IDE. 279
Soit nt! la masse d'un satellite appartenant à la pla-^ nète fUj a' sa moyenne 4istance à sa planète ^ et T^ le temps de sa révolution sidérale j on aur^ par l'équation (/) ,
Ym^
divisant l'une par l'autre les deux équations précédentes , on e^ tire
Si l'on substitue dans cette équation pour a, a^, T^ T', leurs valeurs données fràir l'observation , on aura le rapport de la somme des masses de la planète et du satellite^ à celle du Soleil ; et si Ton néglige la musse du ^tellite par rap{Mirt à celle de la planète , ou si l'on suppose connu le rapport de ces masses, on aura le rapport de la masse de I4 planète à ceUe du Soleil. Appliquons cette formule à Jupiter, en prenant pour unité la moyenne distance de la Terre ait Soleil ; le rayon moyen de Torbe du quatrième satellite ob-. serve à cette distance, paraîtrait sous un angla de. 258o'',58. Le rayon du <;ercle contient ao6264'>8 ; les rayons moyens de l'orbe du quatrième satellite et de l'orbite terrestre sont donc entre eux comme ces deux nombres. La durée de la révolution sidérale du quatrième satellite est de 16^,6890, et l'année sidérale est de 565^|:i564 : on peut donc sup-
aSo THÉORIE ANALYTIQUE
poser dans l'équation (m) ,
a = ^ao6264•8> a- Si: 3580.58, T = 565,2564,
et Ton en tire
pour la masse de Jiïplter, celle du Soleil étant prise pour unité. ^
On a déterminé de la même manière les masses des autres planètes autour desquelles on observe des satellites. Pour la masse de la Terré, seulement ; on a employé un procédé diflerent, parce que les nom*^ breuses iqégalités de la Lune empêchent celui -^ ci d'être suffisamment exact. L'attraction que le globe terrestre exerce sur les corps placés à sa surface sur le parallèle , dont le carré du sinus de la latitude est
i, est à très peu près la même que si sa masse était
réuaie à son centre de grayité. Çn nommant donc / le rayon mené du cei^tre de la Terre à un point quelcpnque de ce pi^rallèle, et m sa masse, cette attrac-»
tion sera égaleà ^ , et en^ la désignant par ^, <m aura
Soit a la distance moyenne de la Terre au Soleil , et T la durée de l'année sidérale, réquatioh (/)
donnera
on aura donc
Les quantités^ y ^9 ^9 sont données par les observations; la valeur du rayon / est aussi connue; on pourra donc déterminer par cette formule le rapport de la masse m de la Terre à la masse M du Soleil. Pour la réduire en nombre , j'observe que si Ton nomme P la parallaxe du Soleil à la distance moyenne , et sur le parallèle que nous considérons , c'est-à-dire Fangle sous lequel on verrait à cette distance du
centre de cet astre le rayon /, on aurai sin P :=- ;
réquatîon précédente devient àîiisi
Les observations donnent P = &',jS. Nous ayons nommé g l'attraction de la Terre ; q'est le double de l'espace que . cette force. fait décrire aux corps dans une seconde. Sous le parallèle dont le
sinus du carré de latitude est ^ ^ la pesanteur fait
tomber les corps dans la première seconde fsexagésimale) de leur chute de 4"* 89796; la force centrifuge due au mouvement de rotation de la Terre
diminue l'action de la pesanteur de -gô à l'équateur^
28a THËORIE Alf ALTTIQUE
et d'une quantité moindre en tout autre Heu. Sur ce même ^rallèle , Tattraction de la Terre est plus petite que la pesanteur d«s deux tiers de la force centrifuge ; il faut donc augmenter l'espace précédent de sa 4^:2"'' partie , pour avoir Tespace dû à Faction de la Terre : cet espace est ainsi de 4">9^^* Le rajon terrestre^ sur le parallèle dont il s agit, est de 6369809 mètres ; enfin Tannée sidérale est de 3 1 558 1 5 2" i on aura donc
/ 6=6369809-, g^ 9%8ï86, T=; 3i558i53, ^=3 3,i4i59265j> log.sinP=5;j6274a36.
Ces valeurs substituées dans la formule (n) donnent
pour la masse de la Terre ^ celle du Soleil étant prise pour unité. Cette valeur varie comme le cube de la parallaxe solaire comparée à celle que nous avons adoptée.
ou SYSTÈlfE DU MONDE. , 383
