CHAPITRE V
Détermination des Constantes arbitraires qui entrent dans les formules du mouvement elliptique.
:2g. Les six constantes que Tintëgratîon introduit dans les formules du mouvement dUiptique se nonn ment les élémens de f orbite. Ce sont elles qui fixent sa nature > sa posîtioq dans l'espace , et l'instant du pas^ sage par lé périhélie. Nous allons nous proposer dans ce chapitre de déterminer ces^lémens d'après quelques circonstances du mouvement supposées connues. .
Le cas le plus simple es|: celui où la position de la planète m^ sa vitesse^ et la direction de cette vitesse sont données pour un instant quelconque^ pour répoque> par exemple ^ d'où l'on compte le temps t, et que nous supposerons être l'origine du mouvement. Soient x , y^ z les coordonnées de m pour cet instant y rapportées à trois axes passant par le centre
de M supposé immobile; "iff j~f ^seront les vitesses dont m est animé parallèlement aux mêmes axes^ et ces quantités pourront être regardées conmae connues, puisque la vitesse initiale de m est donnée par hypothèse en intensité et en direction* Il ne s'agit donc plus que d'exprimer en fonction de x, Y; z,
dt^ li ^ dt ^^^ elemens û, e, a, ^, /et œ.
a84 THÉORIE ANALYTIQUE
Si l'on fait pour abréger ^ =^'> ^ c=y', ^ ssz',le&
équations (b) et (c) du n"* ao donneront d'abord les trois suivantes
xy' — x'y=c?, x'z— xz'=c', yz'— y'z;=c''.
D'ailleurs, en supposant c*-f-c •+€?*• ssjl% on a^ même n^ n
c=A:.cos^,£;'= — A:«sin^.cosa^c''=:A:.sin^.sina.
Ces trois équations feront connaître l'indinaison ^ du plan de l'orbite et la longitude « de son noeud sur le plan fixe passant par le centre de M ; on aura ensuite pour déterminer lé demi-paramètiie k
l'équation k == v/c*H-c"+c*^' = >/^.^.(i — e»), d'où l'on tirera la valeur de l'excentricité e lorsque celle du grand axe 2a sera déterminée. Pour cela, l'équation (e) du n^ 20 donne
On aura donc ainsi le demi-grand axe de l'orbite, et il ne restera plus à connaître que lès deux constantes l et cû*
La première n'a été introduite dans les formules du mouvement elliptique que par l'intégration qui a donné la valeur de r en ^; si l'on suppose donc /==:o dans ces formules , et qu'on désigne par u^ la valeur de l'anomalie excentrique qui répond au temps f r= a, on aura
Izzzu^'^e.sinu^, r=5«.(i— c.cosw,). (i).
On aura donc^ en ëlî minant u^^ la valeur dç 2 en r , puisque les valeurs de a et de e sont déjà déterminées par ce qui précède.
La constante ea n'est introduite dans les formules que par l'intégration de l'équation entre r et sr. Si l'on compte l'angle s^ à partir de l'intersection du plan de l'orbite avec le plan fixe ou de la ligne des nœuds , qu'on nomme s^^ et s/^ les valeurs de s^ et ^' relatives à l'époque ^= o^ l'équation (2) du n"" .:»5 en désignant par CL la longitude de la ligne des nœuds , et faisant f =s o.y donnera
On a d'ailleurs^ par rapport au plan fîxe^
tang i^/ =3^.
On aura dotic l'angle p^ qui se rapporte à l'otîglne du temps t en fonction de x ^ de y et des constantes ât et 9 , déjà déterminées; l'équation àuit sections coniques donnera ensuite
cos(^ — ô,)— .^J . (c)
La cOBStante a» sera déterminée par cette équation en fonction de quantités connues^ et l'on aura par conséquent la position du périhélie sur l'orbite. Les six éléngtens a, e^tt^tp^ l, £0 de la section conique que décrit m autour du foyer d'attraction seront donc ehtièrement connus.
2i86 THÉORIE ANALYTIQUE
L'expression précédente de a et oeUe de k sont susceptibles de prendre une forme pins simple ; en effet, si l'on désigne par v la vitesse initiale de m, il est clair que Ton a v*=x'*-(-'ï'*H-z'% et ré<|aation (a)
devient
1 a 1^ a B fé*
La valeur du grand axe de Torbîte^ et par cotîsâ]iiefll| le iemps périodique , ne dépendent donc qiâé dé k distance primitive de />i au foyer d'attraction et de la vitesse de projection. L'axe nà est positif dans FeBipse; il est infini dans la parabole , et négatif dans l'hyperbole. L'orbite décrite par m dans son mouvement autour de M sera donc une ellipse y une parabole ou
une hyperbole , selon que l'on aura v < %/— i
v= y -^ 9 V > y^— j et il est à remarquer que la
direction de la vitesse initiale n'influe passnr l'^pece dé la section conique.
En substituant pour Cf c\ c" leurs valeurs dans Téquation A:* = c* + c'^ + c**, on a
■^ est la vitesse dont le coçps m est anim<^ 4i^ns le
sens du rayon vecteur; ^i Ton d&igue donc par)f l'angle que fait la direction de la vitesse initiale v avec
le rayon r^ on aura ^ =s v • cos >) , en sul)5tîtuant pour k sa valeur y/ft .a . (i — e*) dans Téqticitioii pré-
DU SYSTÈliœ DU MOMDS. 287
cédeute, die devient ainsi
B'.v^sin'»
■Mk
On voit donc que le demi-paramètre a. (i— 6*) de l'orbite ne dépend que de la distance primitiye de m à M et de la partie v • sin » de la vitesse v perpendiculaire au rayon vecteur^ et qui tend à faire toamer le corps m autour de M. Si n st= 90**, ou si la vitesse initiale est perpendiculaire au rajon vecteur n^ Forbite décrite est un cercle ; en effet, en substituant pour V sa valeur, Féquation précédente donnera dans ce casK==:a.(i — e).
3o. L'équation (e) du n"* 2to qui nous a ^rvi à déterminer le grand axe de la section conique, est très remarquable en ce qu'elle donne la vitesse dont le corps m est animé da^g son mouvement relatif autour de Âf , indépendamment de la forme de l'orbite elliptique qu'il décrit; Eà effet, si l'on nomme V cette
vitesse, on ia généralement V*s= ^ ^ — f ^* par conséquent , r
D'où l'on voit que la vitesse V ne dépend que du grand axe âa, et nullement de Texcentricité de l'or^ bite. U s'ensuit d'abord, eemme nous l'avons dit n"" 2a, que le temps périodique en est pareillement indépendant f mais <:e résuttsct n'est Itri^mêmë qu'une conséquence particulière d'une relation générale qui existe* entre 1^ deux rayons vecteurs menés aux ex-
368 THË;0RIË AMAlYTtQVE
trémitcs d'un arc elliptique^ la coiHle tjai soutend cet arc y et le temps employ/é à le parcourir. Pour développer cette propriété du mouvement elliptique, reprenons les formules de ce mouvement ^ savoir :
Soient f' le temps qui répond à une autre position quel* conque de U planète m^ et/,M^, i^' ce que deviennent r^ Uf i^ relativement à cette nouvelle position^ oa aura . .
I + €.JI30% if
Si Fôn retranche l'expression de t de celle de ^^ on aura
tf^^^tzsz a* •(«'—?•«— csin 1^+ e.sîn w).
C'est le temps, que la planète emploie à déodire Tare elliptique C0]i||pri8 entre les deux rayons r et r\ Si l'on fait pour 5)réger t' — i ~ = 28 , ù'+ ù=^2s, vl — ii=:25', et qu'on observe que
smM — smM=:2,sm .cos — - — =2.sm^.cosx.
on aura .
fts=s «• . (5—*- e^ sin^.cos y)» (d)
Nommons c la corde qui joint les extrémités des deux
rayons r et fy p'— ^ sera Faqgie qu'ils comprennent
entre eux^ et en considérant le triangle formé par
DU SYSTÈME DU MONDE. aSg
ces trois droites, on aura
c*=r*-f-r'*— ar/^. cos ((^'— i^);
équation qu'on peut écrire ainsi
(H-O* — c*=2rr',[i+cos(t''— •p)]=4^r'.cos'^^^^^. (e)
Substituons dans cette équation , à la place des angles V et s/ y leurs valeurs en u et i/. Si l'on compare entre elles les deux valeurs de r/on trouve aisément
a. y \ — 6*.sinz£
a.cosz^— o^
smps= — ■ — , cost'izs ;
on aurait de même
, a. l/i ■*—«*. sîbV / a.cosu'— «c sm p = — ' -, , cos V = ; '*
d'ailleurs
rrz=za^.{\ — -e.costt).(i — ^.cosii') ^=û».[i— .e.(cosw+cosw')-f-^costt.cosM'].
En observant que cos {y' — i^)=cos pcos i^'+sin v sint^', on aura donc
rr . [i+cos (f'*— i^)]
=:a*. [l -(-COS(l*' — m)— 2«.(C08M+C0SU )+«*.(l +C08.(ï«'+w)] ,
ou bien
rr .cos .
=:a*.{ cos' 2c. cos .cos — • h« «cos' )( ^-^ ^
=a*.(cos« — e.cos»')**
