Tome I

* ago THÉORIE ANALYTIQUE

Faisons pour abréger r+'i^'-^-cssz^p ^ r^r^^^c:ss:2q , ce qui donne (r+r')* — c^zzz^pq et r+r^z=p'^ff; eu vertu des équations {e) et (/) , on aura

\/pq =:a.(coss — e.cos/).

En substituant de même jpour r et r' leurs valeurs en 14 et u! dans l'équation p+qz=:r^r\ on trouvera

Si Ton tire de cette équation la valeur de e.cosa et qu'on la substitue dans la précédente, on aura

COS5 = ^^+ i^(aa— p).(2a-^y)

et par suite cos 2S = («— P)'(^--g) + V^/>y-(2g— />)'(^«— g)

Si l'on suppose ^^c

^ = COSS, ^ = COS«',

on aura

COS 3.$ s=5 COS ;5 COS z' + sîi^ z sin ;&' s= cos (z' — z),

et par conséquent s = , ce qui donne

« — z sinis'— sms

tanff 5 = tang. s» 7-5 .

° "2 C0S2+COSiS

Reprenons maintenant l'équation (J) qui exprime le temps employé par la planète à parcourir Tare el-

DU SYSTÈME DP MONDE. agi

liptique soutendu par la corde c. Si l'on élimine e cos s' au moyen de l'équation (^) , on trouve

9=.î.[»(H:^r:5).ung.],

équation qui ne contient déjà p1us> comme on voit^ l'excentricité e. Si l'on y substitue pour s et tang s

leurs valeurs, en observant que -^^^£^ = cosz+cosa',

on aura

t — tzs::a*.(z' — z-i-sinz'-f-sinjs)j (A)

expression très simple où le temps est exprimé en fonction de la corde de l'arc parcouru , et des deux rayons vecteurs menés à ses extrémités. C'est le beau théorème cpi'Euler avait trouvé le premier pour la parabole , et que Lambert est ensuite parvenu, p^ir des considérations géométriques^ à étendre à Téllipse et à l'hype^'bole.

Si l'on développe l'arc z' en série pav rapport à son sinus, on aura

, . , sînV / , S^.sîn'a , 3*.5.sin<z , ^ \

série d'autant plus convergente que le grand axe na sera plus considérable. Si ce grand axe devenait infini , l'ellipse se changerait en panJ)ole; on aurait simplement alors, en remettant poursin z' sa valeur.

2' — • sîn z

tous les autres termes de la série s'annulant par la

supposition de ^ '=: -. On aurait de même

z~sina = i.(fy,

et par conséquent

c'est Fexpression du temps employé à décrire l'arc de parabole que soutend la corde c. Nous étions déjà parvenus à cette expression n* 27 ; elle est d'un grand usage dans la théorie des comètes.

Le grand axe 2a est négatif dans l'hyperbole ; les valeurs de cosz et cosz' deviennent alors plus grandes que Tunité , et par conséquent les arcs z etz' auxquels ces cosinus se rapportent sont imaginaires. Si l'on nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique

est l'unité, on a c*' V^— i z=z cosz + V — i .sinz, d'où l'on tire

2=--7==.log«(cosz + v/ — i.sînz); on a de même

i5'= --;==, log.(cosa'+ \/^.s\nz'j^

La formule (h), en y changeant a en — a , donne donc pour l'hyperbole