L-log.(cos*'+ V^^.sb/)±log.(cos«+ l/^în« J

DU SYSTÈME DU MONDE. agB

expression de laquelle on fera disparaître les imaginaires en substituant pour cos z et cos z' leurs valeurs. Si l'on fait pour plus de simplicité cosz=/ et cos z' =^', on aura

La formule (h) ^ qui donne le temps indépendamment de l'excentricité ^ doit encore avoir lieu quand l'ellipse indéfiniment aplatie se change en une ligne droite ; cette formule exprime alors le temps qu'un corps mu sur le grand axe mettrait à s^avancer vers le foyer placé à l'autre extrémité. Or , en considérant la chute rectiligne d'un corps attiré vers un centre fixe, ce corps partant du repos à la distance !Mf on trouvera que le temps qu'il emploie à parcourir l'espace p^ — f est exprimé par cette formule

«' — ^=a*.(j2l^-r-« — sin^'-f-sinz),

dans laquelle on fait pour abréger

!-=:COSZ, ^ = COSZ.

Cette expression doit être identique avec Téquation (h) ; ce qui donne

a "^ aa * a "^ aa '

et par conséquent

d'où il suit que le temps que la planète emploie a parcourir l'arc soutendu par la corde c est précisément le même que le corps mettrait à décrire le long du grand axe le même espace c en partant de la distance p\ Si Ton suppose pt=Oy p'z=2âi, on aura

i'— t =3= à^.TT, en nommant "k la demi-circonférence, dont le? rayon est i j c'est le temps que le mobile emploie à parcourir le grand axe 2a , et il est égal à la durée d'une demi-révolution de la planète m , ce qui est conforme au théorème précédent.

On voit donc qu'il suffit de la moindre force ten^ gentielle à l'aphélie pont changer le mouvement rectiligtte d'un corpd attifé^ vèrd un centre fixe, en un mouvement de rév^irtîën autour de ce centre ; mais le temps que le tjoips-inèt à descendre vers le foyer reste le même dans les deux cas.

Il existe toutefois , comme l'a remarqué Laplace ,

une différence essentielle entre ces deux monvemens:

dans le dernier , la planète ' m , après avoir atteint l'extrémité du grand axe , revient au point dont elle était partie. Dans le mouvehient rectiligne, au contraire , le corps parvenu au foyer d'attraction , passe ati-delà , et s'en écarte en vertu de sa vitesse acquise d'une distance égale à la hauteur dont il était descendu, en sorte que ce n'est qu'après deux révolutions de la planète qu'il se retrouve avec elle au point de départ.

5 1 . Supposons maintenant que l'on connaisse deux

lieux de la planète dans son orbite , et le temps employé à parcourir Tespace qu'ils comprennent; on peut encore y dans ce cas, en conclure tous les élémens de Torbite, En effet, désignons par X, Y les coordonnées rectangulaires de m , rapportées au plan et au grand axe de son orbite , on aura

X = r.cos i^f Y = r.sin v ;

on a d'ailleurs

r= — r -z=zaAi — e.cosz^j:

d'où l'on tire , n* 20 ,

X = a.cosii— «o^, Y = a.v/i — d*.sini«;

équations dans lesquelles on peut substituer pour u sa valeur déterminée par l'équation (4)f du même n*.

Soient x,jr, z, les trois coordonnées de m par rapport à un plan fixe quelconque , passant par le centre de M , â> l'angle que forme le grrnd axe de l'orbite avec son intersection sur le plan fixe , et la longitude de cette intersection comptée de l'axe des a:, et ^ l'inclinaison mutuelle de ces deux plans ; soient enfin X' et Y' les coordonnées de m rapportées à la commune intersection du plan de l'orbite et du plan fixe; on aura

X'=3r«cos(p — «), Y'=: r.sin (1^ — «),

d'où l'on tire, en substituant pour r.cost^ et r.sin i^ leurs valeurs,

X '3=:X . cos a-f-Y . sin » , Y'=s-^X . sio «-f-Y . co6«.

Cela posé^ on trouyera par les règles ordinaires de la transformation des coordonnées, en mettant pour X' et Y' les valeurs précédentes,

ar=(X.cos«-f-Y.sîn«),cos«+(^-sîn« — T. cos«>).cos^«sin«, j' = (X . cos éf+Y . sin «r) . sÎQ •— (X . sin «r-T— Y . CO8 •) . cos ^ . cow , «= — (X.sindf— Y.co8*).sin^.

Le second lieu de la planète fournira trois équations semblables , et en nommant x\ y, z' les coordonnées de m relatives à ce nouveau point, on aura six équations entre les six quantités connues x^j', ZfX\ y' y ^ et les six constantes /i, e, ^, a, /, o), et par conséquent, tout ce qui est nécessaire pour déterminer ces arbitraires. Mais comme l'anomalie excentrique u est donnée en' fonction du temps , que nous supposons connu , par une équation transcendante > le problème ne peut pas se résoudre dans ce cas algébric[uement , à moins cependant que Ton ne suppose très petit l'intervalle de temps écoulé entre lés passages de la planète par les deux points donnés* Dans ce cas, les coordonnées ji/,j'',z' peuvent se réduire en sij^ites convergentes ordonnées par rapport au temps < ; et comme nous aurons occasion d'en faire usage dans la théorie des comètes , nous allons développer ici ces séries.

32. Si l'on regarde les variables x^y^ z qui déterminent à chaque instant^la position de la planète ou de la comète m^ comme des fonctions du temps 7, et qu'on nomme x , y , z les valeurs de ces variables relatives à l'époque oixt^ao, et x,y, z leurs valeurs

relatives à une autre époque quekonque, on aura en général

. dY ^ , d'^ e . dH ^ , ^ I .,.

, dz ^ . d'z e , dH t^ , , * dt * dt^ 1.2 • a/^ 1.2.3 * '.

les coefficiens différentiels ^; ■^'i» ^* etc., désignant ici ce que deviennent les différences -j-, -%-,

Y f etc., lorsqu'on y fait t = o.

Les équations différentielles du mouvement elliptique donnent , en faisant /« = 1^

f/*ar j; d^^ ^^ y (/*« z •

dF ?^ "SF**^ r*' 5? H'

Si Ton différencie successivement la première de ces équations, et que pour abréger on fasse

rdr xdx+ydy-^zdz ^ ~ dû ^ dt *

on aura

(Px 38 i dx

d^x / 3 ds 3.5.8*

dt^ \r^ ' dt~ f^

etc.

et pour avoir de même les différences successives iejr et de z, il suffira de changer simplement x çn j- el en z dans les expressions précédentes.

Si l'on suppose ^=o dans ces équations^ ^^ff z, r, s^

dx dy dz , ^ djL dx dz o*

Â' di' 5^ se changent en X, y, z,R, 8,^, -^^ ^.Si

l'on effectue ensuite les substitutions dans les équations (g), et que pour abréger on fasse

d£ __ / £?t' ,• dz' ___ / da i

~dt~'^' lit~^* W"^* dt~~^ *

et

V I <» . 3s <» . /Ss' 3.5.8» , i\ ** , .

on trouve

a: = xV+x'U, jr=YV+Y'U, z=zV+z'U. (/)

Ces expressions donneront les valeurs des coordonnées Xyjr, z relatives à un instant quelconque en fonction des coordonnées x, y, z, qui se rapportent à l'époque où Ton compte < s=6, des différences premières et secondes de ces quantités et du temps écoulé depuis cette époque.

35. Si l'on suppose donc^ comme dans le n^ 5i ^ que l'on connaisse deux lieux de la planète m dans son orbite^ en substituant dans les équations précédentes , pour x , y , z , leurs valeurs relatives au premier point donné de l'orbite^ et pour x^jr^z elt^ leurs valeurs relatives au second , en ne portant l'approximation que jusqu'aux troisièmes puissances du

temps f on . aura trois équations qui donneront les valeurs des trois quantités x', y', 2! y et Ton déterminera celles des six constantes â, e^ ç, et, l, cû^ comme nous layons fait n"" ^9.

U est bon de remarquer que les deux quantités s et s' déternainent immédiatement deux des principaux élémens de Torbite, le grand axe et l'excentricité. En effet, les ^nations (e) et (d), n® ao, en remplaçant

h et k par leurs valeurs et -37' par s^ donnent

d'où , en difiérenciant et divisant par rdr, on tire

SI dans ces équations on substitue à la place de r, s et s' leurs valeurs relatives à l'époque où t =^=0, elles donneront ^

^=a: i — s% fl.(i-— e*)=aR — 5 s*, (m)

On aura donc ainsi les valeurs de a et de e. On voit de plus que les quantités que nous avons désignées par s et /, et qui entrent dans les valeurs de V et U, ne dépendent que de la figure de l'orbite et sont indépendantes de sa position. Dans la parabole , le grand axe aa est infini, et le demi-paramètre a.(i — e*) est double de la distance périhélie; en nommant donc D cette distance y les équations précédentes donneront dans ce cas

3oo

\Vi

54. Enfin la figure de Torbite peut encore élit L ^ déterminée par les formules du numéro preGé-l i dent, dans le cas où l'on connaît seulement ksl^ trois rayons vecteurs r, r', r^\ et les temps tetf em- L^ ployés par le mobile à parcourir les intervalles <p | ^ les séparent. En effet, si l'on ajoute entre elles ^\^ trois équations (/) après les avoir élevées au carré|| qu'on observe que x* +jr^ + z' = r*, on aura .

r»=(x*+Y*4.z»).V+2.(xx'+YY'+zz') .VU '^

On a d'ailleurs, n'» Sa et 33 ,

x*+Y*+z* = R*, xx'-|*-yy'+zz' = s, x'»+y'*+ z'* = - — -==i + s'.

Il a R '

On aura donc

r*=R\V+2s.VU+ ( 1+ s').U.

Cette équation donnera la valeur de r relative à un temps ^quelconque lorsque les quantités r, s et s', relatives à l'époque , seront déterminées.

Supposons que l'on fixe l'origine du temps , qu'on peut prendre à volonté à l'instant où le rayon vecteur de m est égal à r; qu'on nomme t et t* les intervalles de temps qui séparent les passages de la planète par les trois points dont les rayons vecteurs sontdonn&, ' on aura

r'* = r*.V + a^.VU+(i + ^').U,

DU SYSTÈME DU MONDE. 3oi

V et U' désignant ce que deviennent V et U lorsqu'on y change t en t\

On aura donc deux équations entre les inconnues s et s'y au moyen desquelles on pourra déterminer leurs valeurs. Elles donneront immédiatement le grand axe, et Texcentricité par les formules (/w); on aura ensuite l'angle compris entre le rayon r et le périhélie par la formule (c) , n"* 29,

35. Cest en comparant les positions des planètes observées à différentes époques, qu'on a déterminé les élémens de leurs orbites ; et comme ces corps ne sont jamais à d'assez grandes distances de la Terre pour échapper aux instrumens astronomiques , on a pu répéter ces observations autant qu'on l'a jugé convenable, et par des corrections successives, on est parvenu à fixer ces élémens avec toute la précision désirable. La petitesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles des orbites planétaires a beaucoup contribué aussi à faciliter ces recherches; mais il n'en est pas ainsi par rapport aux comètes : non-seulement leurs excentricités et les inclinaisons de leurs orbites varient à l'infini, mais encore, comme ces orbites sont en général très allongées, elles ne sont visibles pour nous que lorsqu'elles reviennent dans la partie la plus voisine du Soleil ou vers leurs périhélies ; leur éloignement les dérobe ensuite à nos regards , et souvent elles disparaissent pour toujours. C'est donc un problème d'analyse fort intéressant que celui qui a pour objet de déterminer les élémens de l'orbite d'une comète d'après un certain nombre d'observations faites pendant la durée de son apparition , puisque c'est la

3o2 THÉORIE ANALYTIQUE

seule donnée que nous ayons pour reconnaître ces^ astres lorsque la suite des temps les ramène vers le Soleil. Les plus grands géomètres ^ depuis Newton, se sont e:£ercés sur cette question , et nous ayons aujour-d'hui différentes méthodes pour la résoudre ; nous né nous arrêterons pas ici à exposer aucune de ces méthodes , ce qui nous entraînerait dans une trop longue digression; nous reviendrons sur cet objet lorsque nous aurons achevé la théorie des planètes, et nous consacrerons un livre à part' à la détermination des i élémens de l'orbite des comètes ^t à la théorie de leurs ! perturbations. h

DU SYSTÈME DU MONDE. 3o3

CHAPimE VI.

Variations des Constantes arbitraires qui entrent dans les formides du mouvement elliptique j ou TTiéorie des Perturbations planétaires,

36. Nous sommes parvenus , dans le chapitre IV, à ntégrer complètement les équations différentielles des nouyemens des centres de gravité des corps célestes lutour du Soleil , lorsqu'on n'a égard qu'à l'attraction le cet astre , et qu'on fait abstraction de leurs actions mutuelles. Nous avons vu que, dans ce cas, les orbites :[u'ils décrivent sont des sections coniques dont le soleil occupe un foyer et dont les élémens sont les constantes arbitraires introduites par les intégrations. Dans le chapitre suivant , nous avons montré que la létermination de ces élémens ne dépend que de la vitesse dont le corps que l'on considère est animé dans un point donné de l'orbite, ou, ce qui revient au même, des forces qui le sollicitent à une époque déterminée. Or, la force qui fait décrire aux corps célestes des sections coniques autour du Soleil est la puissance attractive de cet astre combinée avec une impulsion que ces corps peuvent être supposés avoir reçue à l'origine du mouvement , dont on peut fixer l'époque à un instant quelconque. Il suit de là que si , la force attractive restant la même, la force d'impui-

3o4 THÉORIE ANALYTIQUE

sion éprouve un chaugement quelconque, la nature de l'orbite ne ylariera pas , mais ses élëmens en seront plus ou moins altérés; de sorte que l'orbe elliptique d'une planète, par exemple, pourra devenir parabolique ou hyperbolique , et la planète se trouvera ainsi transformée en comète. Imaginons maintenant qu'au lieu d'éprouver une variation finie qui n'agit que pendant un instant, l'impulsion primitive soit sonmise à des variations infiniment petites, mais dont l'action soit continue, comme on peut supposer que cela a lieu à l'égard des corps célestes en vertu de leurs actions mutuelles; l'orbite pourra encore, pendant chaque intervalle de t^mps dt, être regardée comme une section conique dont les élémens sont constans pendant cet instant , et varient seulement dans l'instant suivant. Les variations de ces élémens serviront à déterminer l'effet des forces perturbatrices.

Les obsei^ations avaient fait voir, en effet, depuis long-temps que les élémens des orbites planétaires ne sont pas constans, et que ces orbites doivent être regardées comme des ellipses dont les dimensions et la position dans l'espace varient par degrés insensibles, de sorte que l'ingénieux artifice de calcul que nous avons développé dans le chapitre III, et qui consiste à faire varier des quantités regardées d'abord comme constantes pour étendre la solution d'une question particulière à celle d'une question plus générale ; semble , dans la théorie des perturbations planétaires, avoir été indiqué aux géomètres comme le r&ultat des observations, dont il n'est, pour ainsi dire , qu'une simple traduction.

DU SYSTÈME DU MONDE. 3o5

Exprimons par des formules analytiques les considérations précédentes.

5j. Si l'on désigne par m la masse de la planète dont on considère le mouvenient relatif autour du Soleil^ par M celle de cet astre ^ et par m-, ni\ /»% etc. , celles des planètes perturbatrices; que l'on nomme or, ^, z les coordonnées de m rapportées à trois axes rectangulaires passant par le centre de M ; x\y\ z'y les coordonnées de ni relatives aux mêmes axes, et ainsi de suite; si.de plus on fait pour abréger M+/w=)^t,

or' +^* + js'=r*,a:''+y*+^'* = '^N ^tc* y et qu'on suppose

on aura^ n* 8, pour déterminer les mouyemensde m autour de M^ les trois équations différentielles suivantes :

d^z j^ fiz û?R

dê^'P 5Ï*

Si dans ces équations on fait R = o, elles deviennent celles du mouvement elliptique que nous avons intégrées dans le chapitre IV • Supposons à Tune quel- ToMB I. no

3o6 THÉORIE ANALYTIQUE

conque des intégrales premières auxquelles nous sommes parvenus, cette forme

a = Fonct. (a:,jr, z, x^,jr^, z,, t), (à)

en désignant par a une des arbitraires introduites par rintégration , c'est-à-dire l'un quelconque des élémens de l'orbite elliptique , et en faisant pour abréger

^^^^ dx dy ..^ dz

^i^Tt' ^'—Tt' ^'^11'

Si Ton vent que pendant l'instant dt l'ellipse décrite dans le cas où tl est nul , et l'orbite troublée coïncident, il faudra supposer aux variables x^jr^z, et à leurs diflférentielles premières x^y 7^, z^, les mêmes valeur^ sur les deux courbes , et par conséquent l'expression de a ne changera pas , soit que Ton considère le mouvement elliptique ou le tnouvement troublé. Mais dans ce dernier cas , les vitesses x^^y^y z\ au bout de l'instant dt, sont augmentées respectivement par l'efifetdes forces perturbatrices des trois quantités infiniment petites -j- .dt, -j- .dty -j-.dt; onne

peut plus alors regarder l'élément a comme constant , et en ajoutant aux* vitesses x^, y^y z^, dans l'expression de cet élément , leurs variations , on aura pour déterminer la variation correspondante da,

•• / dfi uR , du oR ', da oR\ 7 /• /\

Si l'on considère l'éiquàtion (a) comme une intégrale première de&équations (A) dans le cas où Fon a R:ss=o,

il est évident qu'elle satisfera encore aux mêmes équations , dans le cas où leur second membre n'est pas nul. En effet, les valeurs des coordonnées Xy jy z^ et de leurs diflFérentielles x^dt^y^dt^ zjity sont par notre hypothèse supposées les mêmes dans les deux cas, et ces quantités ne diffèrent que par. leurs diflFérentielles secondes; de sorte que si l'on désigne par {x^j (fj), (z^) les valeurs de a:^, Jj^ z^^ dans le cas où R est égal à zéro , on auraar^=(a:J,j^^s=(^^), z,=(2^), et en diflférenciant

dxj={dx;)+J^X,,djr^=:(djry{^tPjr^, dz;=.{d^)+^Z,.

Cel^ posé , diflFérencions l'équation (a) , et désignons par fonct. {Xy y ^Zy x^y y^^ z, t) la différentielle du second membre dans le cas où R = p; on aura

o = fonct. (a:,jr,^, ^j,r,y^,y^)*

Cette même équation , en y faisiant varier à la fois les constantes et les variables, pour l'appliquer au cas où R n'est pas nul, donnera

OU bien , en retranchant la première diflférentielle de la seconde

Or, si l'on substitue à la place de ■~^, -gj^, -^^ dans

3a8 THÉORIE ANALYTIQUE

les équations (A), leurs valeurs (dx^y+^ac^, ^dy^-^Sy-^^ (dz^)+J'z^, on a

puisque les quantités (dx^), (dj^), (dz^)^ sont en effet supposées satisfaire à ces équations dans le cas où K estnuL Si l'on remplace donc Jlr^, jy^ , Jz,, par leurs valeurs dans l'équation (b) , et qu'on substitue pour da la valeur que nous lui avons supposée dans l'équation («'), on voit qu'on aura une équation identique^ et que par conséquent l'intégrale (a) satisfait également aux équations différentielles (A) , soit que l'on néglige , soit que l'on considère l'action des forces perturbatrices : la seule diflference, c'est que dans le premier cas l'arbitraire a est constante , et que dans le second elle doit être regardée comme variable. Il en serait de même de toute autre intégrale première des équations (A), abstraction faite de leur second membre , quel que soit le nombre des constantes arbitraires qu'elle renferme.