Reprenons la valeur de la variation différentielle de a

, /da dR da dK^^da dR\ ,

"^Kdx/dxdy/dy^^dz/dzJ*

On peut donner à cette expression une autre forme ^ qui a l'avantage de conduire à des expressions très simples^ pour les variations des élémens elliptiques. Il suffit pour cela de substituer aux différentielles de la fonction R relatives aux variables x, y , Zp leurs

DU SYSTÈ]VIE DU MONDE. Sog

différentielles partielles prises par rapport aux constantes introduites dans R par la substitution des valeurs de :c,^, z en fonction du temps et des élémens de l'orbite elliptique. Si Ton désigne par a^ h y c^ f, g, h ces si^ constantes arbitraires^ en suivant la marche que nous avons indiquée dans le n^ i6^ on trouvera

expression dans laquelle on fait pour abréger

/ AN — ^ ^^ ^ ^^ i ^ ^^ da db ^ ' ' *"^ dx^ ' dx dx' dx^"^ dj^ ' dy dy' dy ^

da db da db

dz'dz dz* dz!

Et Ton suppose aux quantités représentées par (a, c), {<^ff)f etc., des valeurs analogues fournies par la même équation, dans laquelle on substituera simplement les lettres Qff^gj h y à la place de b.

Cette expression de da est surtout remarquable en ce que les coefficiens {a^b), (a, c), etc., qui multiplient les différentielles partielles de R , sont des fonctions des constantes a, b, c, f ^ g, A, qui ne renferment pas le temps implicitement. Cette proposition, que nous avons démontrée généralement n** 17, peut se vérifier ici d'une manière fort simple. Il suffit pour cela de faire varier le temps t dans les expressions de (a, b)^ (ci, c), etc.

3io THÉORIE ANALYTIQUE

En eflfet, différencions l'expression précédente de (a, b), nous aurons

, . ^ aa j db db j da db , da da , db ' dx^ dx dx^ dx dx dx^ dx dx^

da , db db ^ da db . da da db d^; ''dy~l^; '^z dy 'dy~dy' ' dy ,

da , db db y 4^ db . da da , db dz^' ' dz . dz^' ' dz dz' ' dz^ dz* ' dz^'

Formons les valeurs des différentielles d.-j-^ ^'7^^

e/.-i-, ^•J'f ^'T^ ^tc^f qui entrent dans le second

membre de cette équation.

Si l'on diflférencie par rapport à la variable x, l'équation

a = Fonct. (or, j, z, x^^ jr^, z^, t), (a)

^ et qu'on la différencie ensuite une seconde fois par rapport à /, en faisant varier tout ce qui varie avec

le temps t^ qu'on substitue pour ^f -^f 57'^^"^^^^^" leurs x^, j^, z^, et qu'on observe que si, pour abréger, on fait -=:V, les équations du mouvement elliptique donnent

dt~ dx' dJ~dy' dt~ dz' W

on aura

'^'di~\d^t'^ S?**' ^ d^'^^'^dxdi

dxdz' *

d^a d^r d*a dV J^a^ dV\ "*" dsçdx/ dx dxdy/ïïy dxdz/ dz)

^dt*

DU SYSTÈME DU MONDE. 3ii

Mais en différenciant simplement par rapport au temps 1 1 équation (a) , on a

a a 1 , da ^ , da , , da . -7- . a^ -I- -=- . do; + -7- . ay + -=- . aiS dt * dx dy -^ dz

da y , da , , da .

Le premier membre de cette "équation doit devenir une fonction de t, x,jr^z, ^,, X? ^/^ identiquement nulle ^ lorsqu'on y substitue pour cLVj , dj^, dz^ leurs valeurs tirées des équations {et), puisque l'équation (a) est une des intégrales premières de ces équations. Cette substitution donne

da , da , * da , da

Tt'^di'^^'^'^'^^^Tz'^^ .^

Ja dV da dy.da^ ^ » ^^ dx^ ' dx dy, ' dy dz^ ' dz """

Cette équation étant identique par rapport à t^ x , y fZy x\y^ z', subsistera encore en faisant varier se-* parement ces quantités; je la différencie par rapport à X y et je trouve

dxdf^l^-'^^l^y^^'^d^z^'

, d'à JV d'à £V i?a dV dxdx^ ' dx dxdy^ ' dy dxdz^ * dz

da à^xàa^ d'Y da d'\

3x^ * dx^ dy^ ' dxdy ^^ dz^ * dxdz ""^

La valeur de la différentielle de ^ se réduira, en vertu de cette équation , à

t da /da d'\ da d*V da d^V \ *

On trouvera de la même manière

, da^ fda d«V da d'Y da <?V\ ,

T dà /da ^X , da ^^V , ^ f^V\ j

^ da*^ \dx / dxdst'^ dy / dydz^ dz' ' dz^ /

Si Ton différencie la valeur de a^ d'abord par rap-* port à or^ ^ et ensuite par rapport au temps / ^ on aura

• da ^d^a , d*a i ^^ • c?*g ^

^'2;ir^\d^t'^'srd7;^t'^dydx;^''^dzdx;^^^ .

#a dV d'à dV d'à dSf\ ^'^^^ "^ d!»/ * d« dxjiy^ * dy"^ dxjiz^ * &/

mais si Ton différencie , par rapport à x^ , l'équation identique Ç)^ en remarquant que Y ne contient pas les variables x^^ jr^^ z^^ on ^

d^a , da d'à ^^ d^a ^^ d'à

^t'^ di'^d^dÊ;^''^d^3u;^'^i^/^'

■^ d!»/ * £Îr • dx/iy^ * dy '^ ' dxjdz^ ' dz

On aura donc simplement^ en vertu de cette équation,

, da da »

a . - - = — — «T- • at.

dXj dx

On trouverait de même

j da da ». » Ajs d »

a.-jT* =^ •""■j"»"* f a . -y- = •^ -T- • «*• ay^ dy dz^ az

Et en supposant la constante b donnée par une équation semblable à celle qui détermine a, on aura

DU SYSTÈME DU MONDE. 3i3

1 j'iï»' x« Il j db j db j db jm db

pour les dinerentielles «•^-^ «•^) ^*d'' dT '

d.-r- , ^•J'y ^^^ expressions semblables aux pré-

cédentes ^ en y changeant seulement a en b.

Si l'on subscitue ces valeurs dans l'expression de d. (a, b), on verra que les termes <jui contiennent

1 !•/¥>'' .«Il 1 da db da db da db

les dineren tielles de -r- , -r- . ■>— > , - 1 j- » -r- > se

dx/ dx/ dy, dy/ dz/ dz/

détruisent mutuellement, et qu'en ordonnant par rapport aux différences partielles de V les termes

qui contiennent les différentielles de j- , j- , g- , etc.,

les coefBciens de chacune de ces différences se réduisent d'eux-mêmes à zéro.

D'où il suit que la quantité représentée par (a, ii), et par conséquent les autres quantités semblables {a, c), (b, c) y etc., ne renfermeront pas le temps t dt ne pourront être que de simples fonctions des constantes a, b, c, etc., lorsqu'on aura substitué, à la place de x,J'fZ,a:^,y^,z^, leurs valeurs elliptiques en fonction de ces constantes et du temps t.

Ainsi , la variation différentielle da de l'un quelconque des élémens de l'orbite de m se trouve exprimée par une formule qui ne renferme que les différences partielles de R , prises par rapport aux cinq autres élémens b, c, etc., et multipliées par des fonctions de a, b, c, etc., indépendantes du temps.

Ce résultat remarquable n'est qu'un cas particulier de celui que nous avons obtenu d'une manière générale, dans le n** 17; mais, vu son irnportance dans la théorie des perturbations planétaires, nous

3i4 THÉORIE ANALYTIQUE

avons cru qu'il ne serait pas inutile de montrer comment on y peut parvenir immédiatement, par la seule considération des formules du mouvement elliptique, et coqiment se vérifiait, dans ce cas, d'une manière très simple, l'indépendance des symboles ifly b)y (a, c), etc., à l'égard du temps t.

Il nous eût été facile, d'ailleurs, de déduire immédiatement et indépendamment de toute autre considération, la formule (i), de la formule générale (D) du n*> i8.

En effet, si l'on ne considère que le mouvement d'un seul corps m , dont les trois coordonnées rectangulaires a:,jr,z ne sont liées entre elles par aucune équation de condition, on pourra prendre pour variables indépendantes ces coordonnées; on aura ainsi ^ = a:, '^s=zjr^ fl==z, ce qui donne (p'z=^x^ i 4'^=î^/^ fl'=25^, et la valeur de T se réduira, dans ce cas, à

d'où l'on tire

du dT rfT

Ces valeurs, substituées dans la formule générale (D) , en observant que la fonction représentée par Cï doit être ici remplacée par /wR , reproduisent la valeur de da , k laquelle nous sommes parvenus plus haut.

39. Appliquons la théorie précédente au calcul des perturbations planétaires.

Reprenons , pour cela , les diverses intégrales que

DU SYSTÈME DU MONDE. 3i5

nous ont fournies les équations du mouvement elliptique, et déterminons, d'après la formule générale (i), les variations qu'il faudra faire subir aux constantes arbitraires qu'elles renferment, pour étendre ces intégrales aux équations différentielles du mouvement troublé. Nous sommes parvenus, dans le chapitre IV , aux huit intégrales suivantes :