r^dp
r=:^.(i — <?.cosw), ^+/=ô».(m — e.smu) ^ a (i— eO
I 4"^ • COS(i^ — »)*
Nous supposons , pour plus de simplicité , /^ = i .
Ces intégrales contiennent sept constantes arbitraires; mais comme elles ne doivent en renfermer que six distinctes entre elles , Tune de ces arbitraires est nécessairement comprise dans les six autres.
En eflfet, on a, n° 20, entre les constantes c, c'y c", a, e, l'équation de condition.
De sorte que ces cinq constantes n'équivalent réellement qu'à quatre arbitraires distinctes, et qu'on peut regarder l'une d'entre elles, prise à volonté, comme fonction des trois autres. Les constantes c , c'f c" fixent la position du plan de l'orbite; et en nommant (p son inclinaison sur le plan des xj^ et cl
3i6 THÉORIE ANALYTIQUE
la longitude de son nœud^ comptée sur le même plan , à partir de Taxe de x ^ on a
tang(p = , tanga= — ^ ,
d'où , en faisant pour abréger A:* = c* -f- c'* -f- c "\ on tire
cz=zk. cos^, c'=— A.sinÇ.cosflt, c*=Â:.sin^.sina.
Ces valeurs nous seront utiles dans les recherches suivantes.
La constante cû exprime la longitude du périhélie comptée sur le plan de l'orbite à partir d'une ligne fixe prise à volonté j nous supposerons, dans ce qui va suivre, que cette ligne est l'intersection du plan de l'orbite avec le plan fixe des ûc /, et nous nommerons g ce que devient dans ce cas la constante a> ; la dernière des équations (B) donnera ainsi
cos(p-g) = *l=r. (B')
40 • Cela posé, les six arbitraires dont nous allons déterminer les variations d'après la théorie générale exposée au commencement de ce chapitre , sont les cinq constantes^, a, ç, /, g, et la constante k dont le carré représente le demi-paramètre de Torbite, et que nous emploierons de préférence à l'excentricité €, parce que les calculs qui s'y rapportent sont moins compliqués. Ces constantes , substituées tour à tour à la place de a et 6 dans la formule générale, produiront quinze quantités symboliques (a, A:), (^>ût); (A:,ot), etc. , qu'il faudra calculer
par la formule (2). G)mmençons par chercher les valeurs de ces quinze quantités.
Formons d'abord les combinaisons {a^k), {^f<P)f (a,ct), (k,<p), (fc^ct), (a,(p), où n'entrent point les constantes / et g. Si Ton ajoute les carrés des trois premières équations (B) , on aura la valeur de fc en fonction de ûCfjr^z, Jo^fj-^, z/, en mettant à la place de c, c', c", leurs valeurs dans les expressions de aet^, on aurait de même la valeur de ces constantes en fonction de,r,^, z, x^^y^^ z^. On pourrait donc ainsi déterminer directement, d'après la formule (2), les six quantités précédentes ; mais il sera plus simple de regarder les constantes kj a^ (^ comme fonctions des constantes c, d y c", et d'employer dans cette recherche la formule (E) du n* 18.
Si, au moyen des quatre premières équations (B), on forme les différentielles partielles des arbitraires c, c'y c''et a y prises par l'apport aux variables a*, ^, 2, :r^, y^y Zjy qu'on substitue ensuite les valeurs résultantes dans la formule (2), on trouvera sans peine
La constante k est déterminée en fonction de c, c'y c% par l'équation
la formule (E), n* 18, donnera donc
(«,A)^(«,c).g+ («,c04 +(a,c").§; d'où l'on tire
3i8 THÉORIE ANALYTIQUE
Les deux arbitraires cp et a étant de'terminées par les équations
i/c'»-Uc"* c"
tang(p = , tangct = — -r
on aura de même
Pour former les deux combinaisons (k,(p) et (it,a), remarquons que Ton a par la formule citée
ic,k)=(c,c'yi+ic,d'),j,
(c',A:)=(c',c).|+(cV")4,
Si l'on substitue pour (c,c'), {c^d^)^ (d,c'^), leurs valeurs, en observant que Ton a, n*i8, (c',c)= — (c,c'), (c\c) = — (c,c")> (cV')= — (c',c") , on trouve
(c,A:) = o, (c'5Â:)=o, (c'\k):=zo.
D'ailleurs
Par conséquent
Çk,(p)t=o, (k,a)=zo.
Pour former la combinaison (a,^), remarquons que
Ton a
d*oii l'on déduit
cos(p=^;
(ût,(p) = («,c).^.
Nous omettons le terme (ct,Â:) .^ , parce que (u,k)esi nul, comme nous venons de le voir.
et en substituant pour (c',c), (c'',c)y -p, -^ leurs valeurs
et par conséquent
'^ '^^ fe.sin<p
Passons au calcul des combinaisons dans lesquelles entrent les constantes l et g, et commençons par chercher les valeurs des quatre quantités (^^Z), (A:,/)^ (^,Z) , {ct,l). Si dans la septième des équations (B), on substitue pour u sa valeur donnée par l'équation qui la précède , celte équation prendra cette forme
Z=s — f + Fonct. (a , k, r) ; (c)
d'où Ton tire, en faisant d'abord abstraction des cons^ tantes aetk,
dl dl dr X di
dx~^ dr* dx r * dr '
dl dl dr ^^J' dl
dy dr ' djr*'^ r * dr^
dl dl dr z dl
dz """" dr * dz ^^ r * dr*
La valeur de l ne contenant pas les variables x^ ^jr^ , z^ f on aura ^ par rapport à une constante quelconque b^
Pour avoir ëgard aux constantes a éi k contenues dans la valeur de ly il faudrait ajouter au second membre de cette équation la fonction-
Mais on peut l'omettre, parce que b devant représenter l'une des quatre constantes a, Â:, (p^ cty\es deux termes prëcédensc sont toujours nuls. Il ne reste plus qu'à substituer successivement ce.s arbitraires à la place de b dans la valeur de (/,^).
Il est aisé de voir d'abord par les valeurs de c, c'y d\ que la substitution des constantes cp et et ou de toute autre fonction de c, éy c% à là place de by rendra nulle la fonction
dh , àh db
On aura donc aussi
DU SYSTÈME DU MONDE. Sai
Quant à la constante a , on trouve
da ^ da ^ da ^
^=3a\x,, j^=.:xa*.y,, -^=:2a'.a,î en faisant donc ^= ^ dans {Ji^V)^ on aura
mais réquation (c) donne évidemment 3- = 3" î par
conséquent
Faisons enfin b:=:k, la constante A: étant fonction de Cf c\ (? ^ on aura ^ d'après ce que nous avons dit plus haut^
Passons maintenant à la recherche des cinq dernières combinaisons {g,a)y fg,A:), (g^,(p), (g,flt) et {g,l) qui renferment la constante g. L'équation (B') donne, en la résolvant par rapport à g^
On aura donc, relativement à une constante quelconque bf
{g>^) — r'V^'dx^ ^^'dy^ ^^' dz^ )' dr
/dv db^ JU^^ '^^ ^U~ ^* ^ *"" \dx ' dxj "^ dy ' "^Ô dz ' dz^J
