Tome I
3aa THÉORIE ANALYTIQUE
On peut omettre le dernier terme, parce que b devant représenter une des cinq arbitraires a,k,(p, et, l,ce teri;ne est toujours nul.
Pour former les quanti te's -^ , -j-, T ' ^ ^^^* avoir
la valeur de l'angle i^ en fonction des variables oc^j^z; or on trouve aisément
jtr = r.cosi^.cos « — r.sm (^.cos ^.smct, j- = r.cosi'.sin « 4"'^-sinf^.cos ^.cos^ft, z = r.sin i^.sin <p;
d*oii Ton tire
z x.cos fli -f~ y. sin «
sm(^= — : — , cosi^= ^ .
Nous ferons usage de la première de ces valeurs , comme étant le plus simple. Elle donne en la différenciant
dp — xz dp — j^z dp r* — z*
dx r^.sin^.cosi'* cfy r*.sia^.cosi^' dz rKsïnç.cosp*
rdz-^zdr
dp z.cos^ dv dt
dp r.sin^.cosi' * dt r'.sin^.cosv*
Substituant ces valeurs dans la formule qui donne (gfb)^ et ajoutant^ à cause de la constante ^ qui
entre dans Texpression de sin i^, le terme {(p,b) . ^ , on aura
DU SYSTÈME DU MONDE. 3a3
db ^^^ db . db\ dg
S / db , db . db\
• r*.sm^.co8v \ dx^ ^ ^ dy^ dz^J
r.sin^.cosv dz^ ^ ^ ^ ^ da ^ ^^' ^ d^ ^ '
Il ne reste plus qu'à substituer les constantes a^ky(p^ a , 2 à la place de h dans cette formule. Faisons d'abord b:=::a, nous aurons
et
r^.sinç.cosp
(da , Az j^ Ag\ I û/a
* dx^ '^' ^:K/ * ^V • '*•«» **<»s ^ ' ^ / rdz'-^zdr \
\r*.sm ^.cos v/ ai
On a de plus {a^a) = o, {(p^a) == o j par conséquent
dg dp " ■ ■
et comme ^ = — ^ ^ ^"^ ^^^^
Faisons i =5 A ; l'arbitraire k étant foncti(m de^, c', c\ on a
dk , dh , dk
D'ailleurs (a, A) = o et (^^A) = oj la formule qui
3a4 THÉORIE ANALYTIQUE
donne {gtk) se réduit donc à
^^^ ^ r.sin^écosv d%, '
mais A* = c*+ c'* + c"% d'où Ton tire
dk c'y — c'* • ^ / ^ I • \
ou bien ^ d'après la valeur de cost^ trouvée préce'demmeut^
dk
-=- =5 r. sm ^ .cos (^ :
par conséquent
Cherchons la valeur de (g^,^), et pour abréger, au lieu de faire b =z(p dans la formule (d) , observons
que l'on a cos (p^ssjf par conséquent
(g:,^)=(gr,A:).^ + fe,c).t
dk * vô^-^Vc
1 est aisé de se convaincre que (g,c) =o j nous avons trouvé {g,k) = — I ; donc on a
Cherchons la valeur de {g^a); et étant fonction de cf et <?", on a
xnais^ il est aisé de se convaincre que l'on a
dt
(S>^")^- r.sïnicos.^J'+ ^^>'"H'
La yaleur de tang a = •— -T donne, en la différenciant ' ,
da c" ^ dm I .
Substituons ces valeurs dans {g,0L)y nous i^^urons
, . cos*-i /c^ar-f-c'vN , dulT. ,. dm , . ' dm'^
mais
dd
par conséquent
D ailleurs les valeurs de c^ c^, c'',:n''.. SQ^.idpanmt
COS O C.C08* • j> * •! / I.
•, . i^ =; — 77— • d OU il resuite
^°' ' r.sin.f.cosf V « ^ ' •^; et comme cz + c^ + c"jî = 0,11° 30 ^ on a cnGix
Déterminons la valeur de (g,/), dernière combinaison qui nous reste à considérer. La constante / peu;
être regardée comme fonction des variables r et ^, et des arbitraires a et k; nous aurons donc par conséquent
et comme (§•,«) = o et (g,k)= — i, cette valeur se réduit à
Puisqpaé r ne contient pas les variables x^jjr^^ 2^, la valeur de (g,r) se réduit à
(g,r) = (û,r).gH-((p,r).|.
Le second terme est nul de lui-même , puisque l'on a
et que nous avons vu que <p étant foqction de c, c\ c^\ la quantité j?i^ ^j-,^ ^z,.-— était nulle. Il ne ncoi&Mfirtadonc-à former que la quantité («,r).
^ X da dr ^ da dr ^. da dr
w / """ ^^^ • ^^ "T" j^^ * ûÇy dz/ dz'
Substituo'tis pour -7-, -r^','^, ^r-, zr^^-r- leurs
*^ d^^' c/y/ dzj dx' dy dz
valeurs , on aura Ainsi dooc
et par conséquent
/ 7\ ^ dr dl dg dl . dg dl
Si pour ^ ^t 3Â on substitue leurs valeurs tirées de
l'équation (B') du n' 5g , et de la septième des équations (B) du même numéro^ dififérenciées par rapport à ces constantes , et en y regardant e comme fonction de a et de A: , on trouvera, toute réduction faite,
et par conséquent
4 1 . Rassemblons les valeurs des quinze quantités que nous venons de déterminer, nous aurons
{a,k) = o, (a,(p) =o,(rt,a) = o, (a,g)=o, (a,/)=3a% (/, ^) = o, (/,(p) = o, (l,cC) = o, (/,g) = o , (A:,(p) = o, (A:,a) ==o, (A,g) = I ,
^^' ' it.sin^
Si dans la formule générale (i), on met successivement a, /, k, gf a et <p, à la place de a et b, et qu'on y substitue ensuite les valeurs précédentes, on aura pour déterminer les variations de ces six quantités
3a8 THÉORIE ANALYTIQUE
aa ' ^ dk ^.sin^ cùp ^
dcL=z - — -, — , .--.^dt,
f^ cos ^ û?R 1^ I dR 7
k.sinç ag i&.sin^ om
42. De ces formules il est aisé de conclure celles qui se rapportent à la variation des six arbitraires que nous avons considérées dans la théorie du mouvement elliptique ; il suffit pour cela de remplacer les constantes /, A:, g* par leurs valeurs en fonction de ces arbitraires. Nous avons supposé^ n*' 24 et 59,
tétant par hypothèse égale àû""*.
On tire de là en différenciant
de:=:dûù + n.dl . -^^ .da^
, anVT^- dk^l^ da
Quant à la valeur de dco, remarquons que nous avons désigné par g, n^ 5g p l'angle compris entre la ligne
DU SYSTEME DU MONDE. Sig
des nœuds et le grand axe de l'orbite ; cù est Fangle <iue forme ce même axe avec une ligne fixe menée dans le plan de cette orbite : on aurait donc doù = dg si la ligne des nœuds ne faisait aucun mouvement pendant l'intervalle de temps dt; mais cette droite changeant à chaque instant de position^ il est clair, que dcù est égal à dg^ plus le mouvement des nœuds projeté sur le plan de l'orbite; on aura ainsi ^ aux quantités près du second ordre ,
dcuzsz dg -{^cos (p.dx.
La quanti té R peut être considérée, soit comme une fonction des arbitraires a, l, k, g, cl, soit comme une fonction des arbitraires a, e, e, a> et a: on a donc, en la différenciant dans ces deux hypothèses, lequation identique
^.da+^.dl+-.dk+^.dg + ^.dct
Substituons dans le second membre, à la place de de, de, dœ, leurs valeurs précédentes, et égalons ensuite de part et d'autre lescoefficiens de da , dl, dk , dg etdet, nous aurons
û?R /ûHR-N , I— *• dK 3 (f— -») dR da \da/*^ lae de 2 * a * dm
dR dR
dl dt
irfR an.t/i — g' dR
33o THÉORIE ANALYTIQUE
dg dt '^'d^i* t
Si l'on substitue ces valeurs dans les formules (o); qu'ensuite on substitue pour da^ dl^ dky dg et dût leurs valeurs résultantes dans ds^ de et dco , on aura^ pour déterminer les variations des six élémens de l'orbite elliptique, en observant quen'szra'"*,
^ et que kz=. \/a.[i — e*), les équations suivantes da:^=iia^n.'-T-.dt^ (i)
rfflt=: r^-r=r= . -j-^dty (5)
rf(pC= ^ r- . -j-.dt. (6)
43. Nous voici donc parvenus à exprimer les variations différentielles des élémens de l'orbite elliptique parles différences partielles de la fonctionR relatives à ces mêmes élémens, et multipliées par des coefficiens qui ne renferment pas Iç temps. Il sujQGira donc, pour avoir leurs valeurs finies, de différencier par rapport à
ces élémens chaque terme du dé veloppement de R , et de l'intégrer ensuite; avantage précieux qui résulte de la fopoie particulière que nous avons dpnnée aux expressions de ces variations.
La constante arbitraire e étant toujours jointe à
l'angle nt. on a-f- = ~t-# d'où Ton tire -j-.ndt=:^{rR., ^ ' dt ndr dt '
la caractéristique d désignant une différentielle relative au temps t^ prise en ne faisant varier t qu'autant qu'il est multiplié par n ; les valeurs de da et de de deviennent ainsi
dat=^2a^.d^y
de=-^ ^-'=^.( , ^/T=^MR-an- V^T^e\i-, dt.
e ^ ^ • ^ ami
On peut employer indifféremment ces expressions ou ceUes dont elles dérivent.
Nous avons supposé n = ^i" »; on aura donc en différenciant
dn=z'^5an.dR. (7)
Cette formule donnera en l'intégrant la valeur qu'il £aut substituer à la place de n dans les formules du mouvement elliptique. Or en nommant ^ la longitude moyenne de la planète m, on aL^z^nt-^^i, et par conséquent
d^ = ndt'\^ tdn + dé;
expression dans laquelle il faut remplacerjrf/i , de par leurs valeurs. Maïs il y a ici unej observation essentielle à faire, c'est que, dans la différence partielle de R, relative à a^ on peut se dispenser de faire varier la
33a THÉORIE ANALYTIQUE
quantité n qui dépend de a. En effet ^ R étant fonction de w^ + g, donnera , à raison de la variation de /i,
le terme -j-^t-T'; la valeur de d^ renferme le terme
ai da '
— 2a^.-T—.ndt. La variation de te y introduira donc
le terme — 2a* . --j- ^^-r* ^^t ; par conséquent la variation de la longitude moyenne sera, à raison seulement de la variation de n,
d^=: tdn — 2a*. -7- . -j-.ndt.
^ da dt
Si l'on substitue pour dn sa valeur, et qu'on re-
dn 3 .1 ^ dh r^ jffk
marque que -?-= . - et -7-./za^=rfn,onverra
^ *■ da 2 a di
que cette expression se réduit à zéro. 11 suit de là que dans la valeur de d^ on peut omettre le terme tdn , pourvu qu'on regarde n comme constant dans la différence partielle de R prise par rapport à a. On aura donc ^ zzzfndt + g pour l'expression de la longitude moyenne dans le mouvement troublé, et toutes les formules relatives au mouvement elliptique auront également lieu dans le cas de l'ellipise invariable et dans le cas de l'ellîpse troublée, pourvu qu'on y change nt en fndt, et que l'on détermine les élémens de l'ellipse variable par les formules précédentes. Cette manière d'exprimer le moyen mouvement a l'avantage de faire disparaître les termes qui se trouveraient sans cela multipliés par le temps t hors des signes sinus et cosinus. Si l'on fait ^ =fndt, on aura d!^ = ndf} et en substituant pour n sa valeur tirée de
Téquatioa (7), et intégrant ensuite, on trouvera pour déterminer la variation du moyen mouvement la formule
Ç= — 5 . ffandt . d!K. (8)
44* Les formules (5) et (6), qui donnent les valeurs de dct et de d<p , contiennent au dénominateur le sinus de l'angle <p , quantité très petite lorsqu'on suppose rinclinaison de l'orbite sur le plan fixe peu considérable, et qui devient imlle lorsqu'on rapporte la position de la planète au plan de son orbite primitive , comme nous le ferons dans la suite. On peut éviter cet inconvénient en substituant aux arbitraires ^ et a, qui représentent l'inclinaison de l'orbite et la longitude de son nœud ascendant, les quantités tang (p . sin etr et tang ^.cos CL qui en dépendent. En effet, si l'on fait
;7=tang(p.sin a, ^= tang ^.cosce,
on aura en différenciant
j COS « f 7
Si Ton considère R comme fonction de ^ et a, et ensuite comme fonction dep et y, on a l'équation identique
J^^dci + ^.d(p^^.dp+-^.dq.
En substituant pour dp et dq leurs valeurs, et en égalant de part et d'autre les cpefficiens de da et de ^(p, on trouve
dRdB.dK 'i:i^^''d^~~P-'d^'
dK sin 4 dîa^ ^ cos u, é/R d^ """ cos"* ç * dp cos^ ^ * dq'
Si Ton substitue ces valeurs dans celles de dct et de ^ ; qu'ensuite on substitue les valeurs résultantes dans dp et dqy et qu'on néglige les termes du second ordre par rapport à ^ , ou bien qu'on fasse cp = o , ce qui suppose que l'on prend pour plan de projection le plan même de l'orbite de m , on aura
dq^=z > -T-^dL (\o)
Ces formules, jointes aux quatre premières du n** 4^^ sont celles dont nous nous servirons désormais pour déterminer les variations des élémens de l'orbite elliptique , et nous en conclurons d'une manière très simple toutes les inégalités du mouvement des planètes.
45* Si Ton supposait enfin
p'=:sm(p.sin a, 7' = sin ^.cosa,
on trouverait , par upe analyse semblable à la précédente ,
f f an. cos O dK ,, dp'= —=^ .^^^.dt,
f I an. COS0 dK ,^
ag = — ' — == • -y-mClt*
^ y i e« dp
Ces formules sont rigoureuses, tandis que les précédentes ne sont qu'approchées; elles se confondent avec elles quand on suppose (p une très petite quantité. En général , on peut observer que la disposition des ronnules précédentes dépend uniquement des arbitraires que l'on a choisies , et peut varier par conséquent d'une infinité de manières. Si l'on prenait pour constantes arbitraires les cinq quantités ^ , g, eo^ p, q, et le demi-paramètre Â:* au lieu de Texcentricité e, on trouverait pour déterminer la difierentielle de k
dk=i -y-.rfi*4- -5- • dt.
Cette formule nous sera utile dans la suite.
On aurait des formules plus simples encore que celles que nous avons développées dans le n* 41 > et qui auraient l'avantage de ne contenir qu'une seule diflférence partielle delà fonction R, en prenant pour constantes arbitraires les cinq quantités a , k, l, a^ (p, du û^ ^o, et la quantité œ du n® 4^- ^^ trouverait sans difficulté, pour déterminer les variations de ces constantes^ les équations suivantes :
dazrz
dr^^>
dl=:
dR
' da
.dt,
dk =
dR
dt,
dc&=i
dR "" dk'
dt,
dtl=
' ^^ dt k,8inf 09 '
dK da. *
dt.
it.sin^
Oa aurait encore, a** i8, des formules dont chacune ne contiendrait qu'une seule différentielle partielle de R, en prenant, pour constantes arbitraires , les valeurs des trois coordonnées a:,
y y Zf et des trois vitesses, -^ , -^^ -^ de h
planète, relatives à une époque déterminée, par exemple, à l'instant d'où l'on compte le temps t.
46. Considérons maintenant, d'une manière générale , les diverses formules que nous venons d'obtenir. La fonction R, dont les différences partielles entrent dans ces formules, est une fonction donnée des coordonnées a:, j", z de la planète troublée, et des coordonnées x\y, z\ etc., des planètes perturbatrices. Cette fonction est du premier ordre, par rapport aux masses de ces planètes; de sorte que li, dans une première approximation, on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première , il suffira de substituer dans R, à la place des coordonnées ia:,j^, Zy x^fy z', etc., leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. R devient alors fonction du temps t et des élémens^, e, e, o), /?, ç, a', g', e', tù\ p' f^'y etc., des orbites des planètes m, m', etc., et l'on peut toujours supposer cette fonction développée en série ordonnée par rapport à t. Nous donnerons dans le chapitre suivant le moyen d'effectuer ce développement; il suffit ici seulement d'en concevoir la possibilité. Il suit de là que si l'on désigne par F le premier terme de cette série, c'est-à-dire le terme indépendant de ^, F étant une fonction connue des élémens de la planète troublée et des planètes
DtJ SYSTÈME DU MONDE. 337
perturbatrices^ il en résultera dans les variations des élemens a y e, e^ etc.^ des termes proportionnels à l'élément du temps , lesquels produiront , par Tinté^ gration daps les variations finies de ces élémens , des termes croissant comme le temps , et qui seront indépendans de la position des planètes m, m!, m", etc.^ dans leurs orbites. Si Ton substitue donc F à la place de R dans les formules (i), (2), (5), (4), (9), (10), et qu'on observe que la différentielle de F par rap-* port à nt est nécessairement nulle ^ on aura^ pour déterminer ces termes, les formules suivantes :
daz=iO,
1 an.\/i — e^dF -
, an.\/T^'?dF , M")
e de
j an dF ».
^ {/ l ^dq '
j an dF j^
OQ = — — T==.-7- • at.
^ ^i^e^dp
Les variations déterminées par ces équations ont été nommées inégalités séculaires , parce qu elles croissent avec une extrême lenteur. Quant à l'autre partie de la variation des élémens elliptiques de m , on les déterminera au moyen des formules de l'article 42 ^ en ne conservant dans le développement de R que les termes que nous y avons négligés.
