V-'-' =^ B'^«^ +B'^'\ cos (p +B'^»>. cos 2(p 4- etc

Si l'on multiplie par a'* — 2aa'.cos^+à* les deux membres de cette équation , et que pour V"* on substitue sa valeur en série , on aura

1 A'^*^+ A'(»>.cos(p+A'^»\cos 2(p+etc.

=(a*— 2aa'.cosç>+û')r-'B'Co)4.B'CO.cos(p+B'C»).cos2Ç> + etc.Y

et en comparant les coefBciens des cosinus semblables, on trouvera

mais il doit exister entre les coefHciens B'^''"*\ B'^*V B'C'+O des relations analogues à celles qui existent entre lescoefficiens A'^'-*^ A'^'^, A'^'"^*^- la formule (a) donnera donc, en y changeant s en ^-f-i et / en /-f-ti ,

Xi — s).aa

Si Ton substitue cette valeur dans l'expression pré* cédente de A'^'\ elle devient

Cette équation donne^ en y changeant î en /+ 1,

d'où l'on tire , en substituant pour B'^**^'^ sa valeur précédente,

Si l'on élimine B'^*""*^ entre cette équation et l'équation (i), on aura

ou bien, en substituant pour A'^'"*"'' sa valeur donnée par la formule (a),

On déterminera au moyen de cette formule les valeurs de B'^«>, B'CO^ B'W, etc., lorsque celles de A'^«\ A'CO^ A'^*^, etc. , seront connues ; et comme celles-ci sont données par la formule (a) lorsqu'on connaît les valeurs de A'^*^ et A'^*^, il ne nous restera plus que ces deux quantités à déterminer.

5q. Four y parvenir, nousferons usage de la méthode très simple que nousavons déjà employée dans le n^ ^5 et qui s'applique à tous les cas analogues. Elle consiste à exprimer le cosinus qui entre dans la fonction Y en

36o THÉORIE ANALYTIQUE

exponentielles imaginaires et à la développer etisuitei^

On a, n* 24* cos^= — ;onauradonc

y = d^ — aa\ (c*^*^-' + 0^*^*^^)+^'; on peut par conséquent regarder Y comme le produit des deujs

facteurs a' — a.c^^"^ et a' — a.c^^^'^ , de sorte qu'on aura généralement

Si Von développe séparément chacun des facteurs du : ^ second membre ^ on aura les deux séries

^ 1.2.3 -a'^+s*^ -^etC., jjj

^ 1.2.3 a'^s-^ -hetc. \

Si Ton multiplie ces deux séries l'une par l'autre, | et qu^on ordonne leur produit par rapport aux puis^ '

sauces dec"^*^""* et de c*"^-^""*; que Ton substitue !

ensuite 2 cos ^ à la place de c^' ^""' +c"" ^' ^""^ ^ et '

en général 2 cos i(p à la place de &^' ^"^ +c"" '** ^^^i ' la valeur de V"' se trouvera exprimée^ comme il est facile de s'en assurer, par une série de cette forme, J&'^+ 2À^'\ cos ^+ ^A:^*^ cos 2^ + etc. On aura donc ainsi généralement A'^'^=2A:^'^; et en supposant /=o et / = I , on trouvera

DU SYSTÈME DU MONDE. 35i

a*' \ a ' 1.2 al^

Ces séries seront convergenles toutes les fois que le

rapport ^ sera moindre que Funite. Or, comme on

peut regarder également la fonction V comme le pro-

duîtdesdeuxfacteursa' — a.c^' ^""^ et d — a.c"^*^— ',

ou des deux facteurs a — d.c^' *^'"* eta — a!.c^^ ' ^^^ y il s'ensuit qu'on pourra changer dans les séries précédentes a en a! y et réciproquement. On choisira donc pour déterminer A'^*^, A'^'^, celles de ces séries où la plus grande de ces deux quantités entrera au dénominateur.

5 1 • Four rendre ce qui précède applicable à la ques^

tionquinousoccupe, ilsuffiradefaire.9=-; ^=:- dans

les formules que nous avons trouvées, et de supposer que les quantités que nous avons désignées par A^^""^, A'CO^ A'^*), etc., deviennent A/^^ A/'^, A/»^ et que celles que nous avons nommées B'^®^, B'^*^, B'^*^ deviennent gCO^ B^'^, B^*^, etc. ; mais, dans ces deux cas, les séries précédentes sont peu convergentes ; elles le deviennent

davantage lorsqu'on suppose ^ = — - ; et si l'on fait

V * = (û, a!) + (a, af. cos ^ + {dfd)'. cos 2^ + etc* , on trouve ; pour d^lenniner (a,a') et (a,a')';