Tome I. aS
— - • —5 — .cos ® — • - . —j — •cos 20 — etc-
s da ' ^ 8 da
OU biei\, ea mettant pour V"' et V""*** leurs valeurs en série ,
+ B'CO . cos ^ + B'CO , 008 2^ + etc.)
' i â' rfA'W a rfA'CO - n rfA'CO
=— — .— .— ^^7— — — — • — y— .co»^"^— — • — ï — .cosa^^etc»; Qi 8 da 8 da s da
d'où l'on tire généralement par la comparaison des termes affectés de cosinus semblables
'. da a ' a' * ■
ôtt bien, en mettant pour B'^*^ sa valeur donnée par la formule (b) ,
Si l'on différencie successivement cette équation par rapport à a ^ et que dans les équations résultantes on
substitue pour — t — et — ^ — leurs valeurs déterminées par la formule précédente, à mesure que ces quantités se présenteront, les différences successives de. A'^*^ se trouveront toutes exprimées en fonction de f^fiO^ A'^*"*"^ A'^"*-*^ et nous avons déjà vu comment on déterminait ces valeurs.
SI dans la formule (D)oasupposef=-, elle devient
da \ a.(a'* — o*) / ' \a*^a'^ J ' '
équation qui donne, en y faisant successivement t=oeti=si,
da ""a'*— a»'"' a.(a»— a») ' "" a' da *
rf^AO? aa'^ — 4tf'a^« .f., aM(a^'--3a') . (., da'^ a» . (a'» — a')» ' a . (a'» — a")» ' »
etc.
On peut donner à ces formules une forme plus simple en substituant à la place de A/®^ et A/*^ leurs valeurs en B^**^ et B^'^, valeurs qu^on obtiendra aisément par les formules (i) et (2), en faisant dans ces
formules /=o, 5 = -. Ou aura de cette manière
*^^^=û\BC0-.a.B(O; a.(^^^a'\ BCO-aa'. ^(P\
etc,
Lorsqu'on aura ainsi déterminé les difTérenoes successives de A/*^ et de B^'^ par rapport a a, il sera facile d'en conclure les différences successives des mêmes quantités par rapport i «'• Pour cela on remarquera que le coefficient A^^^ résultant du développement par rapport à ^ d'une fonction homogène de a et a' de la dimension — i , est lui>-méme nécessairement une fonction semblable en a et af de la même dimen-' sion ; par la propriété connue de ce genre de fonc-^ tion 9n a donc
d'où l'on tire en différenciant
etc.
De même, lecoefficientB^*^ résultant du développement d'une fonction homogène en a et a' de la dimension — S f on aura
€t en différenciant^
..(-')=-3.RW.(f->
etc. I
On aura ainsi les différences partielles de A^^ et de B^^, par rapport à a[ au moyen de le\ir8' différences partielles relatives à a.
On peut observer encore que les valeurs de A/^ et de B^^ restant les mêmes. lorsqu'on y changea en a\ et rédprpquement y ces valeurs et celles de leurs différences successives serviront à la fois dans le calcul des perturbations des deux corps m et m\ XiOrsque la valeur de A/^ sera connue, on aura celle de^ A^'^ par l'équation A^'^ss A^^,^^ i étant un nombre quelconque
différent de runîté, et pwr Féquation A^'^îssÀ/^— ^^
i étant égal à rùnîté.
55. On déterminera donc par ce qui précède les différentes quantités qui entrent dans le développement de R en série. Considérons de nouveau l'expression générale de ce développement, tour cela ,. reprenons la valeur de R du n*^ 4^ >
Lt/r>2r/;.cos(».;-i';+r'+(*'-z)' (/• + »'*)» J'
r^ et r/ étani; les rayons vecteure de m et m' projetés sur le plan des x/^ et v^ et c / les longitudes de ces rayons , comptées à partir de l'axe des x. Représentons par (r^),. (f,), (z), et par (/-/)>(»'/), {z')\es parties
358 THÉORIE AKAIrYTIQtE
des valeurs des variables r^, u^^ z, et r/, i^^ , z' qui dépendeat du mouvement eUiptique ou qui sont dues à la seule action du Soleil , et désignons en général par la caractéristique J^ placée devant une quantité la variation finie de cette quantité due à l'action des forces perturbatrices. On aura
r/^COH-cTr/, .'/ = (p/)+cr.''„ a' = (2')+<r2'.
Telles sont donc les valeurs qu'il faudrait isubstituer à la place de r^, (^^, 2, etc., dans l'expression de R pour avoir la valeur exacte de cette fonction; mais ti^r^^ J^Vjf J^z et J^i^^f S'u'^y ^z\ sont nécessairement de très petites quantités de l'ordre des masses m% m^^ etc. ^ puisque ces variations sont nulles quand on fait abstraction des forces perturbatrices ; il n'en saurait donc résulter dans R que des termes de l'ordre du carré des masses, puisque cette fonction est elle-même du premier ordre par rapport à ces masses. Si l'on se borne donc a considérer les termes du développement de R du premier ordre relativement aux masses perturbatrices, ce qui suffit presque toujours, il faudra substituer seulement dans cette fonction à la place de r^, rj,z, r/, u/f z' leurs valeurs elliptiques. On aura ainsi
Désignons par r le rayon vecteur de m dans son orbite elliptique; par u la longitude de ce rayon
DU SYSTÈME DU MONDE. SSg
comptée dans le plan de l'orbite à partir de son intersection avec le plan fixe des x^jr; et par a la longitude de cette ligne comptée sur ce dernier plan à partir de l'axe des abcisses xj en sorte que (r^) représente la projection du rayon vecteur r, et v^r^ct la projection de Tangle v\ nommons enfin (p l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe ; nous aurons par le v!* 25^ en bornant les approximatk)â^ aux termes du second ordre par rapport aux excéh^ tricités et aux inclinaisons •
r^ = (r^) = r • (i —- .tang'^ .siu^p) ^ 9^z=iÇy^ = p + a — tang* -fl) . sin2t^;
OU bien , en mettant à la place de r et t^ leui^ valeiyyr^ données dans le n^ 24 >
— tang* -fl ,, 8iii2.(i**+0v
a étant lé 4^mî grand axe de l'orbite dé iti^ e Fexr centrîcité, û) la longitude, de son périhélie, eXhu\r^ la longitude nioyenAe de /»• ' r
O v . -. ■ .-. '1',. I ^ r »■ i tf,
En comparant les valeurs précédentes de r et V à celles que nous leur avons supposées n"! 4^^ ^voir ^
ou aura
?6o THÉORIE ANALYTIQUE
uss=-«.ooa(nt+i-m) ^—e». [i-cosa(n»+i-«») ] — .tang'.^.8m*(nt + 1)
Si ron désigne par a', e% r(y e', û)', a' et ^' par rapport à /7i' les quantités que nous avons désignées par a, e^ n^ ^. a>, ctetîp relativement à m^ on trouvera de lamême
Enfin on aura pour déterminer s et z' ,
« ŒST"^, tang ç . sîn (♦'^ — m) et ^=z jf^, tang ^' . sin (v/— •') •
Telles sont par conséquent les valeurs qu'il faudra : substituer ^à. la place de Uf-i^y 25, i/, f/, z' dans le développement de R du jx** 48 , et Ton aura ainsi la valeur de^te£[)nctionexaGtey auxquahtités près du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Si à la place des iûdiiniisôùs (p et <p' des orbites de m et de m' sur le plan fixe ^ et des longitudes cl et ctf deîéurs^œuds, on veut introduire dans R les variables p et ^ que^ iibus avôiis considérées n^ 44 > ^* leurs analogues jp' et ç', on fera comme dans ce numéro^
/;î=î^tang^ . kîrtàt, ^'^'langip cosat^ ou 1 on tire
DD SYSTÈME DU MONDE. 36i
tang^ = V)?* + ^% tangrtss^.
On aura de même
On am*a ensuite
Comme la fonction R ne contient que les carrés et les produits de z et z* et que Pf^^p^^tq'f sont des quantités de Tordre des inclinaisons <p et (p^ ^ il suffira de substituer à la place de x et j* , x' et jr' dans ces équations ^ leurs valeurs indépendantes des excentricités et des inclinaisons : on a dans ce cas
a: = a . cos (»i -f- 6 + a), .yz=za . sin (wi + 6+ a) , a:'= âf' • cos {jJt + €'+ a'), j^'= d • sin (/*'/ + i^ cl') ;
ce qui donne par conséquent ^
= ^ . sin (/îi? -f- 6 •!- fit) — ^/? . ço$:(/z< -H * +.«) ^
--ji^tf. sin(/z'i4-6'4-flî;')^--iy . cos(7z'«+€'4-*0 •
Si rpn substitue ces diverses valeurs dans Fexpression de R du n*'48 etqu'on ne conserve que le premier terme du développement 9 c'ést-à-dîre le terme indépendant des angles nt et n'tf on trouvera pour la valeur de la quantité que nous avons désignée par F dans le n* 4^^
36a THÉORIE ANALYTIQUE
-ÏA.>+f£..(-^')+i....(^]..
4C»'-(^Vî---(^')]-'-
,1 ,/rf'ACO\-| , - , .
Si dans cette expression on fait A<^"»^=:A/'' et
Af •>= A/'> — ^ et que pour A W, A/'' et leurs diflfé-
rences partielles, on substitue leurs valeurs en B^"' et B^') données dans le n* 52, en remarquant que Ton a
La valeur précédente de F prend cette forme plus simple y
F=^ . A/«)+-^ .fla'. BCO. [e»+/»— 0>'— />•) — (/ — (7*)],
Enfin ^ si dans cette expression on substitue pour B^*'^ et B^*^ leurs valeurs
on aura
On peut encore donner une autre forme à cette expression y en faisant ^ comme dans le n^ 4^ ^
^=e.sinû», csee.cosâ^y £'=e'.sinû)'^ c's=:<?^cosû>^
On trouve alors
F=^.A«-?^^^^;â'.[A»+c»+i'»+c"-0>'-/,)«-(<?'-î)*]' a 2.4.(0*— a')" ir X
£a substituant à la place de la foaction F sa valeur
364 TflÉORIE ANALYTIQUE
(n) dans les formules ( 1 1 ) de l'article 46 ou sa valeur (/?) dans les formules (13), on aura par la dîfférentiatîon de chacun de ses termes les variations différentielles des élémens de Forbite de >?2 , exactes aux quantités près du second ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, que nous regardons comme de très petites quantités du premier ordre.
Il est bon de remarquer que A/*^ ainsi que les fonctions de a et a' qui sont représentées par des parenthèses dans la valeur de F, étant symétriques par rapport à ces deux quantités , cette valeur ne varie pas lorsqu'on y change a, b, c^ p,q, en a', J', c\ p' , g', et réciproquement, de sorte que si l'on fait F=: m' .F', la fonction F' sera la même pour les deux planètes, et pourra servir simultanément pour le calcul de leurs perturbations. C'est d^ailleurs ce qu'on peut conclure à priori de l'expression de R. En effet on a
Il est aisé de se convaincre , et nous prouverons dans le chapitre suivant, que lorsqu'on n'a égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux
masses perturbatrices , la partie — ^^fLlEJl^|LZlfl de
la valeur précédente ne produit dans le développement de R que des termes périodiques , en sorte que la partie non périodique de R, que nous avons désignée par F=/?i'*F', ne peut provenir que de la partie non périodique de la fonction
ni . [(x'~a:)»-f.(^-'-j)« + (2'--2)*r ^>
liU SYSTÈME DU MONDE. 365
d^où ii suit que F' est égal à la partie non périodique
de la fonction [(a:' — ocy^i^iy — ^)*+(2' — ^)*J"* développée en sinus et cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps, et que par conséquent sa valeur est la même pour la planète m et pour la planète m'.
54' Après cette digression indispensable sur le développement de R en série, reprenons les formules générales que nous avons trouvées dans le chapitre précédent pour déterminer les variations séculaires des élémens du mouvement elliptique, et développons les conséquences importantes qui en résultent relativement à la stabilité de notre système planétaire. Considérons un système composé d'un nombre quelconque de corps m, m', /w", etc., réagissant les uns sur les autres. Nommons a', b' , c', p', q\ é ^ a', a', <p par rapport ^Tn\a^D^Cyp ,^ ,e y on ,a ,^ par rapport à m" , et ainsi de suite, ce que nous avons nommé a, 3, c^ p^ ^, e, ai, cl^ (p relativement à m. Substituons pour A^^^ sa valeur dans l'expression {p) de F, et faisons pour abréger ,
(g^+q'*) ■ {a, aO+3 .aa . (a,ay 3.aa\(a,ay
L=:2 . mmf . / . [6» + c* + i'* + c'* — (/>' —/?)*— {q' — qY 3
____ .(iJ +CC ),
en désignant par S la somme de tous les termes semblables aux précédens qu'on obtiendra en combinant entre elles deux à deux et de la même manière les
masses m,m' , nf, etc., et les quantités qui leur sont relatives.
Si Ton substitue L à la place de F dans les for^ mules (il) et (12) du n^ 4^, on aura des équations différentielles au moyen desquelles on déterminera les variations séculaires des élémens b, c, p^ q de Torbite de m^ causées par l'action des corps m% nf , etc. ; et comme la fonction L est symétrique par rapport à tous les corps du système ^ il suffira de marquer successivement d'un accent dans ces formules les lettres m, b, c, p, q pour avoir les variations des mêmes élémens relatif aux orbites de m' y ni' ^ etc» En négligeant les carrés et les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons^ et en se rappelant que a^n*z=z i , a'W*= i , etc. , on obtiendra de cette manière le système d'équations différentielles suivant :
àb = -^ .^t ^dty de = — —7=- * IfT *^^>
my a de ' my a ^^
dp = — — =- . -T-. at^ dq =— — — - . -j- . dtj
^ m\/a ^ ^ mVa ^P '
dV == - — 7= . -r; • dt. dd = ^— — = • -777- m dt^
^ m'y/d «7 ^ m'V'd dp '
db'' = 7=v . -j-iT* dCf de' = — -=i . -77- . dt .
4p'' =^-7-7=5 •TTf •dt, dg^'zzz^^ v= . -j-r . dt,
^ rd'y/d dq" ^ ^ Tnry/a" dp ^
etc.
La forme simple et symétrique de ces formules fait connaître plusieurs relations qui existent entre les variations séculaires des élémens d'un système de planètes m^ m\ rr! y etc. On tire d'abord des équations précédentes
j^'db+^.dc=o, ^^dh+^.dc=o, ^„Jb+^,dc=o,
etc.^
dL ^^^L j dL • , , dL , , dL - . dL , .
^'dp+^.dq^, -,.dp+^.dq^, —,dp +j-,Jq =a,
etc.
Et comme L est une fonction des variables a, b, c^ p, (f, al y h' y etc. , indépendante du temps, et que d'ailleurs a, a! y et y etc., sont constans, n® 46 > P^i* rapport aux variations séculaires , il s'ensuit qu'on aura d\j = o, et par conséquent L := constante, équation qui doit subsister quelques variations que les élémens
^y ^9 P> ^f ^% c\ etc.^ subissent dans la suite des siècles.
Si l'on multiplie les équation's (M) , la première par
m \Ja . 5, la seconde par m \fa • c, la cinquième par
va!\fâ! .V y la sixième par m \/d . c', et ainsi de suite^ qu'on ajoute entre eux ces difierens produits, on aura
m |/â. ibdb+cdc)+7r/ ^â!.{b'db'+c'dc')+mr {/ âF.{b''db''+c''dc'') . dL dL ^ ,, dL , dL . ,, dL „ dL ,
Il est aisé de se convaincre que le second membre de cette équation est nul de lui-même par la nature de la fonction L. Si l'on observe donc que les demi
, grands axes a y al ^ a" etc.^ sont constans et que J*^£j*ss-e*, i'»+^'*=^'*^ etc. , l'équation précédente donnera en l'intégrant
m s/a . e*-f-7»' v/«' . e'*4- irf \/J . e^'H- etc. s= const (e
C'est-Ànlire que la somme des masses des différens corps du système, multipliées par les racines carrées des demi grands axes et par les carrés des excentricités de leur$ orbites^ sera la même dans tous les temps. Si Ton suppose donc cette somme très petite
à une certaine époque et tous les radicaux S/a^
\/a!y etc., de même signe, elle demeurera toujours
peu considérable. Nous verrons bientôt que cette
remarque assure relativement aux excentricités des
orbes planétaires la stabilité du système du monde.
Si Ton multiplie les équations (M), la troisième
par m \/a .p , la quatrième par m \/a . y , la septième
par ni \/d . /?', et ainsi de suite, qu'on intègre la somme de ces produits en observant que, par la nature de la fonction \Lfi on a,
c{L d\.i , -f dLt , dL . „ dh „ dL»
on trouvera
D'ailleurs, en nommant (p, (p', (p", etc., les inclinaisons des orbites de m , /w', m'\ etc., sur le plan fixe des a^, on a
p»+Sr»=tang*ç>, />'*+S''» = tan8y, /*+/^=tangV, etc.
L'équation précédente donnera donc .
m ï/fl.tang"^ +m' v/^.tangV +7»" l/ô^tang V+etc.;=con8t., (/)
équation d'où l'on tirera, relativement' aux inclinaisons des orbites, des conséquences analogues à celles qu*a fournies l'e'quation (^) par rapport à leurs excentricités.
Si Ton multiplie les mêmes équations, la troisième
par m^a , la septième par n/ \/a^, et ainsi du reste, qu'on les ajouté ensuite; si l'on multiplie la quatrième
par m Sja , la huitième par m \/cl , et ainsi de suite; qu'on ajoute les produits, et qu'on intègre les deux sommes résultantes, en observant que par la nature de la fonction L , on a
^ , û?L , \d\j ^ ■ dL , dh , dL ^ ^ >
on aura les deux nouvelles intégrales suivantes :
m {/a .p + m ^ a' ./>'+ 1»" V^a" .p" "{JlfCtc. = con^t^l ,jk
Si l'on multiplie la première des équations (M) par
m \/a . c , la seconde par — m \Ja . i , la troisième par
m \/a.qj la quatrième par — m s/a.p^ la cinquième par
vni sjal .d ^ et ainsi de suite, et qu'on ajoute entre eux les produits résultans , on aura
ToHE I. :24
370 THÉCHIIE ANALYTIQUE
ssb—-t'0 — A-e' —4-0' —4-b' — -A-e' — + etc;
dL dL ,dL,dL. „ </L , rfL j^ +P'd^+'i--^+P'^'+9-d^'-^Pdf''-^^-d^''^''^'^
Or y la quantité que représente L étant une fonction homogène du second ordre , par rapport aux variables b,i:, p, q , b', c', etc. , on a, par la propriété de ces sortes de fonctions ,
'''dè^^'dc^'''dP^'^'dP^^^*^'
On a d'ailleurs ^ d'après les valeurs àe b, c, p, q, b\ c', etc. ,
cdb ^bdc =t é'ddù , (^db' — Vdd = ef^dt»' , c^dJ*— A'^* = e''-dcé\ etc. , y^/;— ;?dy=:tang» ^ .d«, q'dp'-^p'dq':=dtàsx^ ^' .do! , ^V;?''— ./4p''===tang*(p'.rfa^ etc.
L'équation précédente deviendra donc
yy^K a«--7~ + TO V^tf > ■ *. J{-m'ya»—^ — if- etc. I- wy/a . — ^L l-mV« • — ^ f-^ K û5\ — ^ l-etc.=2L,^
mj SYSTÈME DU MONDE. 871
et comme la fonction L est constante , on peut , dans le second membre de cette équation^ substituer sa valeur à un instant quelconque. D^ailleurs , comme ks variations séculaires des excentricités et des încli-* naisons^ tant qu'on ne considère que les termes du premier ordre par rapport à ces quantités^ sont données par des formules absolument indépendantes entre elles, on peut supposer les orbites de m, m% m", etc.^ dans le même plan ^ lorsque l'on ne considère que les variations des excentricités^ ou les supposer circulaires , lorsqu'on considère celles des inclinaisons. En faisant donc tour à tour ^s=o , (p'=o^ (p"=:o, etc. , et e==o, e'=o, c"s=:o, etc.-, dans l'équation précédente, on aura séparément,
Y a . -j7+ K « • -T—. +/W K a • --^-= — h etc.=const., - j
* dt '" ^ ' d ^ ^ — dt f-^t<î-=<»n«tl
ri
T ^ ... / dm dm ^ dct det
Les quantités^ , ^, etc., ^^ ^, etc., expriment les vitesses angulaires des mouvemens des périhélies et des nœuds des différentes orbites; les équations précédentes donnent par conséquent une relation qui doit toujours exister entre ces vitesses, et montrent qu'elles ne pourront pas croître indéfiniment , si on les suppose toutes de même signe , ainsi
que les radicaux v/a, \^a' , etc.
Les diverses équations auxquelles nous venons de parvenir expriment des relations qui doivent tou-
jours subsister entre les élémens des orbites de m , m\ etc. , regardées comme des ellipses variables à raison de Faction mutuelle de ces corps , quels que soient les changemens que ces élëmens éprouvent dans la suite des temps , du moins tant qu'on n'aura égardy dans la détermination de leurs valeurs^ qu a la première puissance des excentricités, des inclinaisons et des forces perturbatrices. Eljes fournissent par conséquent autant d'équations de condition , au moyen desquelles on pourra vérifier ces valeurs lorsqu'on les aura déterminées.
55. Considérons en particulier les mouvemens des orbites de deux planètes m et m' que nous supposerons assez éloignées des autres corps du système, pour qu'ils n'aient sur elles aucune influence , en sorte que ces deux planètes forment entre elles, avec le Soleil , une sorte de système particulier. Nous verrons dans la suite que ce cas est, à très peu près, celui de Jupiter et de Saturne.
Si l'on prend pour plan fixe , le plan de l'orbite de m à une époque quelconque, qu'on nomme y Yia-^ clinaison mutuelle des deux orbites , que nous supposerons toujours très petite , on aura (p s=o et (p' = y; d'ailleurs, d'après la remarque que nous avons faite dans le n* précédent , si Ton ne considère que les variations des inclinaisons, on peut supposer nulles les excentricités dans la valeur de la fonction L , qui devient simplement alors
L^^ L (^^^^5 +24.(a-'^af'<> +*
La fonction L' doit demeurer constante ,^ quelques variations que subissent les quantités/?' et ^'; on a d'ailleurs /?'*•+• y'* = tang* y\ L'équation précédente donnera donc
tang (p' =s tang y s= CQnstante ,
c^est-à-diite que^ dans ce cas^ Finclinaison mutuelle des deux lorbites est toujours la même.
Détemiinbns le mouvement des nœuds de Torbite de m! sur Forbite de m. Si dans la formule (5) du
n* 42 on remplaVre R par —7. V, on aura
En substituant dans cette expression^ à la place de h' sa valeur précédente^ et en négligeant les termes du second ordre ^ par rapport aux excentricités et aux inclinaisons , on trouve
Ti ~4.l/Â^(a• — o*)*^
c'est l'expression de la vitesse angulaire du mouvement du nœud de Torbite de m' sur le plan de l'orbite de m. On voit que cette vitesse est constante. Le mouvemjent de l'intersection de deux orbites pendant le temps t , en vertu de l'action mutuelle; de
m et de m , sera donc - — y^- — 7-^ — — . t sur le plan
de Forbite de /w : le mouvement de cette intersection pendant le même intervalle sur le plan de For-
374 THÉORIE ANJlLYTIQUE
bite de m' sera ^ '^ -(^>g j^ . f , et leur inclinai-
son mutuelle pendant ce temps ne variera pas.
Concevons un plan fixe intermédiaire entre ceux des deux orbites^ et passant par leur commune intersection. Soit ^ FinclinaisOB de l'orbite de m^ et ^' l'inclinaison de l'orbite de w! sur ce plan, en sorte qu'on ait ^' -f- ^ = >"• Le n[K>uvement des nœuds de chacune des deux orbites sur le plan fixe sera détermine par les équations
det I cTL
di m . \/a, (i g» ) ' sin (p . cf(p '
dA . I dh
* ~ ni. \/a\ii—e'^' * siiKp'.tiSp^
L ayant la même signification que dans le n^ 54*
Si Ton n'a égard qu'a Faction mutueUe de deux planètes m et n{^ et qu'on substitue potur Pf^fP^ ^' leurs valeurs n"" 55^ dans la fonction L^ on aura ^ aux quantités près du second ordre en ^ et tp'^
dL ^ âL
à^où. Ton voit d'abord que les tnouvemens instetitâ^ nés ll^ et da' des nœuds des det'si orbites ^ur te plan fixe 9 se font en sens contraire^ te cfui résdf e -en effet de ce que^ par là ôonstraetion^ le fideud asceiidant<de>rime d'elles coïncide ^ec le nœud descen^dant de l'autre , et réciproquement. On voit dé plus que si l'on fait
/^. V/a.(ï — è*) «sin 4) =ç= m!*\/a!J^i — e'^). ski ^%
DU. -SYSTÈME DU MOSlME. 37$
on aura , pour un instant quelconque , doL^^^^ dct' , c'est-à-dire que^ dans ce cas , l'intersection commune des deux orbites restera toujours sur le plan que nous venons de considérer^ pourvu qu'il partage l'angle y de manière à ce que les angles (p et (p' satisfassent à Féquation précédente.
Cette équation combinée arrec la suivante qui n'est qu'une extension de l'équation (Z) du n° 54, et que nous démontrerons dans la suite ,
m. \/a.{i — e»).sin*^+/?i'. V^.{i — e'*).sin*^'=c% donne
m. V/a.(i— «ÔT'^- V^«*(i— «*)+m'. l/a'.(i— «^*)J
sm
Ces valeurs montt^nt que lès deux angles ^ et (ff sont constans ; lea indinaisons des orHtes de /ri et de ni sur le plan fixe sont donc invariables ^ ainsi que leurs inclinaisons mutuelles; ces trois plans auront toujours une intersection commune^ .et le mpuveinent de cette intei^ection sera uniforme. Nqi^s venons dans la suite que le plan qui jouît de cette propriété remarquable y est Celui du maxmuan des airèd'^ que nous avons nommé plan invariable dans le n"* 25 du premier livr^.
56. Il qous reste à cpnsidérey la variation de la longitude € de l'époque. La troisième des formules (ii) du n"* 46 qui la détermine^ peut être mise sous cette forme :
Si dans cette formule on substitue à la place de-F la fonction — .L du n* 54, pour avoir des formules syinétriques pour toutes les planètes , on aura ^
^= (i— \/i— ^e").^â> .-j-.dL
• Désignons par e', e", etc. , ce que devient g relativement aux planètes m\ m', etc. , nous aurons , pour déterminer les variations dê% dé", etc. , des formules analogues à la précédente , en marquant successivement d'un accent dans celles-ci^ les lettres m,n, a, e, (à. Cela posé, si l'on multiplie ces différentes formules, la première par m y/a, la seconde par w!\/c! et ainsi de suite; qu'on les ajoute en observanft qu'on
a généralement a s/a.n = i , on trouvera
m\^a .dt + m')/^ .dt'+m" l/7 . c?i^4. etc. =zm\/a . (i — v/i — é5*) . dm
/ ctti . ,dL, „dL , \ ,
L étant une fonction homogène en a, d, ci*, etc., de la dimension — i ; on a, par la propriété'^de ces fonctions.
Nous avons vu, n* 54, queb fonction L est constante par rapport aux variatloiis séculaires des ëlémens de m y m', etc.; d'ailleurs'^ si l'on néglige les puissances des excentricités supérieures à la deuxièpoie, on a , numéro cité ,
C étant une constante invariable. >
On aura donc enfin,
^ dt .— ^/ . jg"
m \a • ^ + ^' V ^' • -y- +'»" V^" • -^ — H etc. =const., {s)
relation semblable à celle qui existe entre les longitudes des périhélies et des nœuds , et dont on peut tirer des conséquences analogues.
Si l'on ne veut considérer dans le premier membre
■ ■ ' dt.
de l'équation précédente, que les tërâ)jes;^de -g,
-J'y etc., qui sont proportionnels au temps, on
pourra faire abstraction de la constante du second membre. Oà ^aura donc entr^ces termes l'équation
m s/â.iie+w»' Va'. ie' -+-;*'' Vâ^.Éfe"+ etc. =0, (0
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d!où il suit qne la somme des termes des longitudes € , ^y d'y etc. y proportionnels au carré et aux puissances supérieures du temps , multipliées respectivement par m\/ii, m' \/a'y ni' s/cP , etc., est constante. On retrouve donc entre ces parties des variatians séculaires dès la longitude de l'époque , les mêmes relations qu'on remarque entre celles cbs carrés des inclinaisons, et en général, entre les inégalités dont les périodes sont très longues.
57. Nous ayons fait voir que la fonction L, et par conséquent la fonction F du n^ 4^ , ne varient pas lorsqu'on y fait varier les élémens a, b, c,p, q de la planète troublée et des planètes pertiu'batrices , en vertu de leursrinégalités séculaires; c'est-à-dire qu'on aura toujours
Nous n'avons démontré cette proposition qu'en portant l'approximation jusqu'aux termes de l'ordre du carré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; mais il est facile de l'étendre à toutes les puissances de ces élémens. En effet, si Ton substitue à la place de da, db, etc., da', dU y etc. , leurs valeurs déterminées par les formules (i i) du n** 46, l'équation précédente se vérifiera d'elle-même; d'où l'on peut conclure que la fonction F est rigoureusement constante pat rapport aux variations séculaires de la planète troublée et des jdanètes perturbatrices.
Dans le chapitre suivant, nous examinerons en particulier les inégalités séculaires de chacun dès élé-
mens des orbites planétaires; nous développerons les formules différentielles de leurs variations^ et nous les intégrerons ei^suite ; et comme la forme des intégrales a la plus grande influence sur la constitution et sur la stabilité du système solaire y nous donnerons à cet exanaen toute l'étendue et tous les developpemeiis que son importance exige.
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