PLANÉTAIRES
PQ
J^ariations séculaires des grands axes et des mojens
mouvemens*
58. Le grand axe est , de tous les ëlëmens des orbites planétaires ^ celui dont les variations séculaires sont les plus importantes^ parce que non-seulement il influe de la manière la plus directe sur la forme de l'orbite, mais encore, parce qu'il détermine le moyen mouvement, ou, pour parler plus exactement, ce qui dans l'orbite troublée répond au moyen mouvement dans l'orbite elliptique; d'où il résulte que la moindre altération dans le grand axe de l'orbite d'une planète en produit une nouvelle, beaucoup plus sensible encore , dans la durée de sa révolution.
En efièt , si l'on fait n = û"» , et que l'on désigne par Ç" le moyen mouvement de /ti, on a dans l'orbite elliptique dl^ = ndt. Or , nous avons vu qu'on pouvait dans le mouvement troublé, supposer que pendant chaque instant infiniment petit dt la planète m se meut dans un orbe elliptique; Téquation précédente aura donc encore lieu dans ce cas, seulement
la quantité n ne sera plus constante, et ce mouve-^ ment , par conséquent^ ne sera plus uniforme. Nous continuerons cependant , par analogie y à appeler Ç ou l'intégrale fndt le moyen mouvement de la planète troublée^ parce qu'il correspond^ dans les formules du mouvement troublé^ au moyen mouvement nt dans les formules du mouvement elliptique. On aura, n** 4^, pour déterminer Ç dans l'orbite variable, la formule
l^=:—5.f/andt.d'K, (i)
et la valeur du grand axe sera donnée pat* l'équation
a=:2.fa\drK. (a)
On voit donc que si la différentielle ^'R renferme un terme proportionnel à l'élément du temps , ou , ce qui
revient au même, si — i- renferme un terme constant^
il en résultera dans l'expression du grand axe, un terme croissant comme le temps et de la forme kt^ k étant une fonction des élémens des orbites de m et de ml; et dans l'expression du moyen mouvement, un terme de la forme kt^y qui , croissant comme le carré du teiAips, deviendra à la longue extrêmement sensible. Ainsi, au bout de quelques siècles, la forme des orbites et la durée des révolutions des planètes pourront se trouver sensiblement altérées. Si au contraire la différentielle ^'R n'est composée que de termes périodiques, c'est-à-dire qui ne contiennent pas le temps t hors des signes sinus et cosinus , les valeurs de a et ^ ne contiendront que des termes semblables : les grands axes des orbites et les moyens
88a THÉORIE ANALYTIQUE
mouvemens ne seront soumis par conséquent à au<^ cune inégalité séculaire^ on susceptible de croître indéfiniment avec le temps ^ ils ne seront assujettis qu'à des inégalités périodiques dont on pourra toujours assigner les limites ^ et qui^ dépendant uniquement de la configuration des difierens corps du système, reprendront les m^es râleurs toutes les fois que ces corps reviendront aux mêmes positioiB.
Il est donc extrêmement important d'examiner avec soin la forme de la difierentielle rf'R. Nous avons déjà vu^ n"^ ^6, que cette différentielle ne pouvait contenir que des termes périodiques , lorsqu'on n'avait égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices f quelque loin d'ailleurs que l'on porte les approximations par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais^ pour ne laisser aucun doute sur ce point, l'un des plus întéressans du système du monde, nous allons reprendre ici cette démonstration , et nous retendrons ensuite au cas où Ton considère les carrés et les produits des forces perturbatrices.
