Reprenons la formule du n'*4Sy

da ^=i 2a^ .ctK.

La caractéristique d! ne se rapporte ici qu'aux coordonnées de la planète troublée, en sorte que si l'on regarde R comme une fonction des coordonnées

^fjf ^9 x^j'y ^9 ^*c., de la planète troublée et des planètes perturbatrices, on a

Par conséquent^ si l'on remplace les coordonnées Xy j^ZyX% f y z', etc. , par leurs valeurs en fonction du temps ^ il faudra pour avoir la différentielle d'R^ faire varier le temps qui aura été introduit dans R par la substituti(m des valeurs des coordonnées de m ^ et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de nif m% etc. y c'est-à-dire qu'on aura

rfH = -r- . ndt , le temps t ne devant varier dans R

qu'autant qu'il est multiplié par la constante n.

Cela posé y ne considérons^ pow plus de simplicité^ que l'action mutuelle des deux planètes m et ni! \ ce que nous allons dire pouvant d'ailleurs s'étendre^ comme on le verra ^ à un nombre quelconque de planètes perturbatrices. Si dans une première approximation on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première^ il suffira de substituer dans R^ à la place des coordonnées de m et de ni y leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. Nous avons vu que la fonction R peut toujours se réduire alors en une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps y de sorte que chacun des termes de ce développement sera de cette forme

in\ A . cos {Srét — int -f» A),

ni et rit représentant les nfioyens mouvemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice^ i et ï des nombres entiers qui peuvent prendre toutes les valeurs positives et négatives y compris zéro; enfin ^

A et A:^ des fonctions des élémens des èî^bîtes <le m et m' indépendantes du temps t.

Pour avoir la différentielle de ce terme ^ par rapport aux coordonnées de m ^ sans faire varier c^jk&& de m'f il faut différencier , par rapport au m^îj^èn inouvement ntf et regarder le moyen mouvement n't comme constant. Cette différentiation fera disparaître le terme constant du développement de R qui répond à i^=o^ i = o ^ et l'on aura^ relativement au terme qui précède ,

d!K = m! . kin dt . sin {i'n't — int + A:).

Le terme correspondant de da sera donc

da s= nm' . Aina^dt . sin (^i'n't — int + A") ,

etenintégrant, onaura

da = 7-7 : — • cos (inft — mt-^- k) .

La différentielle da ne peut contenir aucun terme constant^ à moins que Ton n'ait iV— - m = o, condition qui suppose les moyens mouvemens des planètes m et m' commcnsurables entre eux , ce qui n'a jamais lieu dans notre système planétaire. Le grand axe , et par conséquent le moyen mouvement^ ne contiendront donc aucun terme croissant^ comme le temps^ et ils ne seront assujettis qu'à des variations périodiques dépendant des moyens mouvemens nt et n't^ et de leurs multiples^ du moins tant qu'on n'aura égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices.

Dtl SYSTÈME bu MONDE. 385

Si le rapport des moyens mouvemens nt et nU, sans être exactement commensurable, approchait beaucoup de celui de i à /', la quantité tV— - in deviendrait très petite , et le terme précédent de la valeur de J^a , et à plus forte raison celui qui lui correspond dans Texpression du moyen mouvement , et qui a le carré (/'«' — m)* pour diviseur, deviendraient très considérables* Il en résulterait, dans l'expression de la longitude moyenne de la planète m, une inégalité qui, croissant avec une grande lenteur, pourrait faire penser, lorsqu'on comparera les anciennes observations aux modernes , que son moyen mouvement n'est pas uniforme, et qu'il est affecté d'une' inégalité à longue période du genre de celles que l'on nomme inégaU-^ tés séculaires. C'est ce qui est arrivé pour Jupiter et Saturne. Cinq fois le moyen mouvement de Saturne est à fort peu près égal à deux fois le moyen mouvement de Jupiter, en sorte que la quantité 5n' — 3» n'est pas la soixante-quatorzième partie de «; et cette circonstance singulière produit les grandes irrégularités obseiTées dans les mouvemens de ces deux planètes , et qu'on avait regardées long-temps comme inexplicables par la loi de la pesanteur universelle.

60. Voyons si le résultat précédent subsiste encore, lorsqu'on considère les carrés et les produits des masses m et m'. C'est une question importante à examiner, parce que si la seconde puissance des forces perturbatrices introduisait des termes non périodiques dans l'expression différentielle du grand axe , ces termes , quoique multipliés par le carré des masses, en acquérant par la double intégration qu'ils subissent dans