Tome I

lexpresslon du mouvement moyen j de très petits^ diviseurs du même ordre ^ deviendraient^ après Tintëgration, indépendans des masses , et produiraient des inégalités séculaires semblables à celles des autres élémens de l'orbite, qui dépendent de la première puissance des masses et qui sont données par une seule intégration. On sait d ailleurs qu'une iaégalilé de cette espèce , si elle existe y serait du second ordre par rapport aux excentricités j elle deviendrait comparable par conséquent à l'inégalité du mouvement elliptique^ dont l'argument est le double de l'anomalie moyenne , c'est-à-dire au second tern>e de l'équation du centre. Il est donc essentiel de s'assurer que le carré de la force perturbatrice ne produit que des termes périodiques dans l'expression du moyen mouvement ^ ou que si elle y introduit quelque inégalité séculaire, son coefficient^ qui est une très petite quantité du second ordi'e dans la valeur diflférentielle de cet élément, restera encore insensible après l'intégration.

Les tennes du second ordre, par rapport aux masses , sont introduits dans R par les variations de& démens elliptiques de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Si l'on substitue donc dans R a + ^ay e + <ye,etc., ci-^-^aly e'+cTe', etc., à la place de a, e , etc. , d y e\ etc. , la caractéristique i'^ désignant ici des variations dépendant seulement de "la première puissance des masses /» et m', qu^on développe ensuite la fonction résultante que nous désignerons par R^ , en se bornant aux termes de Tordre du carré des masses , on aura

R^ = R + cTR + cT'R. {a)

En supposant pour abréger

réquatioa (a) donnera^ en la différenciant par rapport à d'j

i'R, = rf?R + ^ . cTR + rf' . cT'R. (A)

On doit remarquer ici que, pour avoir la différentielle d! . cTR , il faudra , d'après ce que nous avons dit précédemment , faire varier dans cTR le temps introduit par la substitution des valent^ des coordonnées de m et des variations cTa, cTe, etc., et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de nil ; de même pour avoir d' . cPR , il faudra faire varier dans ^T'R le temps introduit par les coordonnées a:,/, z, et regarder comme constant celui qui résulte des coordonnées od ^y'y z\ et des variations J^V, cT'e', etc., des élémens de l'orbite de m!.

Examinons successivement les trois termes de la valeur de rf'R^ , pour nous assurer qu'aucun d'eux ne peut contenir de partie non périodique. Le terme ^'R est celui que nous avons considéré dans la première approximation; nous avons prouvé qu'il ne renferme aucun terme de cette espèce ; passons donc de suite au second. Si dans l'expression de J^R on remplace les variations «T^, cTe, par leurs valeurs résultant de l'intégration des formules différentielles du n^ 4^ , on aura

388 TBÉORIE ANALYTIQUE

1— ^* \dpj dq dq J dp J

Il faut observer que la différence partielle T^)

doit être prise ici sans faire varier n^ conforménient à la remarque faîte n** 6^.

Pour avoir la valeur de d! .S^y il faut diflerencîer complètement Texpression de JH relativement aux variations des élémens de m^ ou^ ce qui revient an même , supprimer les signes/ qui n'ont été introduits que par l'intégration des valeurs différentielles de ces élémens ^ et alors cette expression est identiquement nielle. Il suffira donc^ pour avoir J'.cTR, de difle^ rencier dans cTR^ par rapporta ni^ les quantités hors du signe /. Mais si Ton substitue dans JTR à la place deB sa valeur développée en sinus et cosinus d'angle» multiples, des moyens' mouvemens ni et v^t^ les différens termes de cette fonction pourront prendre cette forme V .f^.dt — Q.fJf.dt, en représentant par P et Q une suite de termes de la forme

A. .^' (i'nt — int + k)y

i et i' étant des nombres entiers quelconques^ positifs ou négatifs*

Pour avoir dans

des termes où les moyens mouyemens nt, rit produit' sent en se détraisant des termes non périodiques y il faut combiner ensemble les termes de P et Q qui àé^ pendent des mêmes multiples de ni et de rit. Soit donc A.cos {inlt — int -f- U) un terme quelconque de P, et soit A'.cos(/'/ï'f — m/+A:) le terme de Q qui a le même argument^ on aura^ relativement à ces termes,

— A' . indt. 8in( iV/— !»/+ h) . fkdt. co8[i nt'~^ int -^Jb) ;

expression qui se réduit à zéro lorsqu'on effectue les intégrations indiquées. Concluons donc que les variations des élémens de la planète troublée m ne produisent dans dfK, aucun terme non périodique.

Il nous reste à considérer les différens termes de l'expression de d\^^ résultant des variaftîons des élémens de /»' j il n'est plus possible d'employer ici la réduction précédente, parce que la fonction R n'étant pas symétrique par rapport aux coordonnées XfYy z, x'y y y z', cette fonction changera de valeur relativement aux pertubations de la planète m\ Soit R' ce que devient dans ce cas R , on aura

el par conséquent

R = ^.R'+m'.(^x'+jy+zz').(^-f3).

La variation de R produite par les variations des ëlémens de Torbîte de /w' csj donc égale à la variation du second membre de cette équation relative aux variations des mêmes ëlémens , et par conséquent^ si la différentielle de cette variation relative à la caract^stique d' ne renferme aucun terme non périodique , on sera assuré que la fonction d^ . cT'R ne saurait contenir non plus aucun terme semblable. Considérons d'abord le premier terme de ce second membre : on aura , en vertu des varations de m',

Si Ton remplace S'a', Je', cTêVJ'»'^ ^PfW par leur$ valeurs, op voit, par lanalyse précédente , que J^'R' pourra se décomposer en une suite de ^termes de la forme V./Q^.dt — Ql.f.Vdt; et pour avoir la différentielle df.J^^', il suffira de différencier, par rapport à nt , les quantités hors des signes /, celles qui sont sous le signe intégral étant relatives aux ëlémens de la planète m', et devant par conséquent être regardées comme constantes. On prouvera, par la même analyse , que cette fonction se réduit à zéro lorsqu'on n'a égard qu'aux termes non périodiques qu'elle peut renfermer. La fonction différentielle d\S'K ne contient donc que des termes périodiques, et si des termes non périodiques peuvent exister dans J' . cT'R , ils ne proviendront que (Je la variation de

la fonction m'.(a:x'+ jj' + zz') . (^—75)-

Désignons pour abréger par L cette fonction. Si

DU SYSTÈME DU MONDE. Sgi

dans la première des équations (A) du n" Sy, on substitue M -|- /w h la place de ft , M étant la masse du Soleil^ on en tirera

on aurait pareillement

Les équations différentielles en/, z, J^' et z' fourniront des équations semblables. Si l'on multiplie respectivement par a:',/', z', les équations en x,jr,z ainsi obtenues, et par x^ f, z les équations en Jc', y, z', et qu'on retranche ensuite les secondes des premières , on aura

^-M -L sï ^ — J+^' ^""^

en nommant, pour abréger, N la fonction en x^j, z, xf,y, z' du second ordre relativement ibux masses m et m', déterminée par l'équation

L'équation (c) donnera, en la différenciant par rapport à la caractéristique d' , et ne considérant que le premier terme du second membre ,

j,| m' , rd.{xdx' — jfdx^dy'—ydy+zdsf—z-dzY^

Cette fonction ne contient aucun terme périodique loraâpfon substitue pour x^ jr y z, oc' , j' , z' leurs valeurs elliptiques. En effet, I^s coordonnées x^j^z ne contiennent que des termes périodiques dépendant de l'angle ni et de ses multiples, et les coordonnées •^'» y\ ^ ï^c renferment que des termes semblables dépendant de v!t\ il est donc impossible que les moyens mouvemens ni et vit disparaissent dans les produits xdx f x'dx, etc. ; les termes non périodiques que ces produits peuvent contenir proviendront donc de la variation des coordonnées de m et de m* ^ mais ces termes disparaîtraient, s'ils existaient, par la différentiation dans la valeur de dh.

En n'ayant égard qu'au terme N de l'expression L, on aura

drL:=d^.

La fonction N étant de l'ordre du carré des masses , si l'on n'a égard qu'aux termes de cet ordre , il suffira de substituer dans N , au lieu des coordonnées de m et de m\ leurs valeurs elliptiques, et il est aisé de se convaincre alors que rf'N ne renferme que des quantités périodiques. En effet, des équations du mouvement elliptique de m et m' on conclut

yjg' +yy + gg' a:d V +ydy + zd^z

(M + w) . dt'

lia fonction N devient donc ainsi

mnî /xd^x^y^y+z'd*z\ m f , /dR\ /tiR\

■^M.(M+/i») \"~ 3? J^HÎ' if \dxj''\d7)

Les deux premiers termes du second membre ne renferment aucun terme non périodique; car nous ayons prouvé précédemment que les produits de la forme xd^x', x^d^Xy etc., ne pouvaient contenir aucun terme semblable lorsque substituait simplement pour a:, a:', etc., leurs valeurs elliptiques. Quant au dernier terme y si l'on substitue dans R à la place des coordonnées de m et wl leurs valeurs elliptiques , cette fonction pourra se développer en une suite de cosinus d'arcs multiples de nt et de rJty et l'on aura la

différentielle —, en ne faisant varier dans R que ce qui

se rapporte aux coordonnées de /ti, d'où il suit que cette diflFérentielle pourra contenir des sinus et cosinus d'angles multiples de nty mais jamais aucun sinus ou cosinus où entrerait isolément l'angle vit. La valeur de a:' ne contenant d'ailleurs que des termes périodiques dépendans de rit y il en résulte que les moyens mouvemens nt et vit ne sauraient disparaître dans

—\ On démontrerait de même que les autres produits semblables

Y/{x'—xy+{y—yy+(,z'—zy .

Il en résultera, dans R, des termes multipliés par m'ni' et qui seront fonctions des coordonnées elliptiques X ,/ , z et des angles nU ^ ii^'t, ou bien, en rem-

ne peuvent contenir que des termes périodiques, et \r que par conséquent la fonction N et sa différentielle d'N ne sont composées que de termes semblables. Il suit de là que la fonction différentielle d' . «T'R ne rei^erme que des quantités périodiques, du moins tÉût qu'on ne porte l'approximation qu^ jusqu'aux termes du second ordre par rapport aux masses «

Les résultats précédens peuvent aisément s'étendre à un nombre quelconque de planètes perturbatrices. Soit en effet m" une nouvelle planète dont on considère Faction sur m; elle ajoutera à la fonction R les termes ,

VX^'- X)» + (y-yr+ (zT- zy

Les variations des coordonnées de m et de m" , résultant de l'action réciproque de ces deux planètes, produiront dans la variation de R des termes multipliés par mn! et par 7?z"*, et l'on prouvera par l'analyse précédente qu'aucun d'eux ne pourra donner dans ^.tT^'R de termes non périodiques.

Les variations des coordonnées de ni résultant de l'action de rd* sur m! produiront une variation dans la partie de R dépendant de l'action de ni sur m , et qui est rq)résentée par

rri ni . [xx' +yy' + zz)

W SYSTÈME DU MOHDE. SgS

L z par leurs valeurs, des termes fondions .^k V^^^K '^'' "'^' ""'* ^^^ ''^'^ moyens mou- ^^ ^^^^^^nt sedctruii-e entre eux, ces termes ■^^^^^^^1 des termes périodiques dans (fR. s le développement de R^^dcs rdu moyen mouvement Rf,'71s t-mêniespar la diffërenliatîon dans i considère au contraire les termes de'- Qe cet angle seul, ces termes seront de la Tm'rti' .d¥ , P elant une fonction des coordonlles elliptiques de m. Il en résultera dans fd'K des termes de la forme m'm" . fd'P ou m'm' . P, puisque d'P est une différentielle exacte. Ces termes seront donc encore du second ordre après l'intégration , et nous négligeons les quantités de celte espèce dans la valeur de cette fonction.

De même, la variation des coordonnées x, 7*, z, produite par l'action de m" sur m, ne peut introduire dans la partie précédente de R. que des termes multipliés par m'm" et fonctions des coordonnées x", /', z' et des angles nt ou n"t, ou fonctions simplement des trois angles nt, n't, r^t, et ces trois angles ne pouvant se détruire entre eux, il n'en saurait résulter dans d'R que des termes périodiques. Quant aux termes dépendant seulement de nt, ils ne produiront que des termes non périodiques de l'ordre m'ni' dans /(^R.

Les mêmes raisonnemens s'appliquent évidemment

à la partie de R , dépendante de l'action de m" sur nt.

Concluons donc enfin que, quel que soit le nombre

des planètes dont on considère l'action réciproque, les

variations desélémens elliptiques de laplanète troublée

et des planètes perturbatrices ne produiront dans d^

aucun terme non périodique, du moins tant quon

n'aura égard qu'aux carrés et aux produits des masses

perturbatrices.

61 • Reprenons maintenant la formule (2) |^

da=z2a^.d'K. (2) |^

Lorsqu'on a égard aux quantités du second ordre par rapport aux masses , il n'est plus permis de regarder comme constant le facteur a^ dans le second membre de cette équation : en substituant donc à sa place (a + S'ay et intégrant l'expression résultante, on aura pour déterminer la variation du grand axe de l'orbite de m, la. formule

Nous venons de voir que yi^'R, ne renferme que des quantités non périodiques de l'ordre mm' , lorsque considère dans R^ les termes du premier et du second ordre par rapport aux masses perturbatrices. R étant une simple fonction des coordonnées elliptiques de là planète troublée et des planètes perturbatrices, peut se développer en une série de cosinus d'arcs multiples des moyens mouvemens nt , v!t^ etc» Soit

m' .&. . cos {i!n't — int + K) ,

. l'un des termes de ce développement. Les termes coirespondans de dK et de fd'K seront

^'R = indt . m'A . an (i'n't -^ int + k) ,

fd'K =.— -7-7 — - . /w'A . cos (i'n't — int + k) ;

!t il faudra ëyidemment combiner ensemble ces ermes dans la valeur de S'a pour que nt et vit pois-' ent s'y détruire. Mais on a de cette manière

m .fdK^^r^^^."^— . sin 2{i'n't — int + k),

:e qui donne dans S'a une inégalité périodique dé- 3eudante de Fangle 2(tVi — int + k).

Il suit de là que la variation du grand axe de Torbite d'une planète ne peut contenir aucune inégalité séculaire du premier ou du second ordre par rap- . port aux forces perturbatrices, qui puisse devenir sensible par la suite des siècles, quel que soit le nombre des planètes qui troublent son mouvement. La même résultat s'applique évidemment à la variation du moyen mouvement; en effet, nous avons trouvé pour la déterminer la formule

d^zziz^'S.fand'^.dt. (i)

S] l'on considère les termes du second ordre, il faut regarder comme variable le facteur an dans le second

membre de cette équation: or, on a ^/i = «""', d'où l'on tire en différenciant

rf.ûwssi— -a* . — ;= — a^n.d!K.

La valeur de cTÇ deviendra donc par conséquent :

crç=— 5û« . ffdR,.dt+Sa^ 4J{ndt . d'K.fd'R) . (4)

Formule qui ne peut renfermer aucune inégalité se'culaire, si la formule (5) n'en contient pas.

Concluons donc de l'analyse qui' précède , ce beau théorème qui est de la plus haute importance dans la théorie du système du monde : Les mojrens mour vemens des planètes et les grands aœes de leurs or^ { bites sont invariables lorsqu'on fait abstraction des inégalités périodiques et que Von néglige les quantités du troisième ordre par rapport aux forces perturbatrices.

Ce résultat cesserait d'avoir lieu si les moyens mouvemens de la planète troublée et des planètes perturbatrices avaient entre eux des rapports commensurables. Nous avons vu que ce cas n'existait pas dans la nature lorsqu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices ; mais il pourrait se présenter lorsque l'on pousse plus loin les approximations. En effet , si l'on considère l'action mutuelle de trois corps /w, m', ni' circulant autour de M ^ on voit par l'analyse précédente qu'il en résultera dans fl^'R des termes du second ordre par rapport aux masses m , m'y ni' y et de la forme K . sin . {int — i'n't '^t'rl't'^k). Si l'on suppose donc que les rapports des moyens mouvemens ntj rit y ri't soient tels que la quantité in — i^n' -+- i'ii' soit une très petite fraction de w, il en résultera dans la valeur de ^ une inégalité qui pourra devenir considérable. Ce cas très singulier se présente dans le système des satellites de Jupiter; le moyen mouvement du premier satellite^ moins

trois fois celui du second plus deux fois celui du troisième, est exactement et constamment égal à zéro, -'est-à-dire que Ton a » — < 3/^' + 2/1"=: o; et ce phénomène, unique dans le système du monde, produit dans les moyens mouvemens de ces astres des (variations dépendantes de la seconde puissance de» niasses perturbatrices que la théorie détermine, mais que les observations n'ont pu jusqu'ici rendre sensibles.

62. Il suit du théorème que nous venons d'énoncer que, dans la suite des siècles, les orbites planétaires ne feront que s'aplatir plus ou moins en vertu des inégalités séculaires de leui*s excentricités ; elles conserveront toujours les mêmes grands axes; et les moyens mouvemens , qui s'en déduisent par la troisième loi de Kepler , seront inaltérables , ou du moins, s'ils sont soumis à quelques variations séculaires, elles seront insensibles. On ne peut pas encore en conclure rigoureusement , il est vrai , que la durée de la révolution sidérale moyenne des planètes sera constante aussi; en effet, nous avons vu n"* 22 que la planète m revenait au même point de sou orbite lorsque la longitude moyenne nt^e était augmentée d'une circonféreuce ; le premier terme de cette expression , qui est proprement ce qu'on appelle le moyen mouvement de la planète, croit uniformément avec le temps, et son coefficient est invariable , comme nous venons de le voir; mais le second terme peut être soumis, comme nous le démontrerons bientôt, à des inégalités séculaires contenant des termes croissans comme le temps et du premier ordre par rapport aux masses , et des

4oo THÉORIE ANALYTIQUE

termes proportionnels au carré du temps et du second ordre par rapport à ces masses. On pourra faire abstraction des premiers , parce qu'ils s'ajouteront au moyen mouvement; mais les seconds produiront dans la longitude moyenne de véritables inégalités séculaires. Heureusement ces termes, comme nous le verrons , sont tout-à-fait insensibles pour la Terre et pour les planètes; mais ce sont eux qui produisent l'accélération séculaire qu'on observe dans le mouvement de la Lune , et dont les astronomes avaient long-temps vainement cherché la cause.

Les résultats précédens s'appliquent à tous les corps de notre système planétaire; mais c'est surtout dans la théorie de la Terre que leur importance se fait sentir, à cause de l'influence que les inégalités de son moyen mouvement auraient sur la durée de Tannée sidérale, élément que les astronomes ont toujours regardé comme invariable et qui sert de base aux calculs de toutes les tables des mouvemens célestes. On devait désirer qu'il ne restât aucune incertitude sur une donnée aussi essentielle ; mais d'une part les observations anciennes sont trop peu exactes , et de l'autre les modernes sont comprises dans un trop court intervalle de temps pour qu'on en pût conclure rien de certain sur l'invariabilité de Tannée sidérale. Cette question est donc une de celles où la théorie devait devancer l'observation, et l'analyse que nous venons de développer fixe un point important du système du monde, qui n'aurait pu être établi d'une manière incontestable, par les observations seules, qu'après un grand nombre de siècles.

f Variations séculaires des excentricités et des longi*

tudes des périhélies.

63. Après avoir démontré Finvariabilité des grands axes et des moyens moiivemens par rapport aux inégalités séculaires, avec tout le soin qu'exigeait cette importante question , nous allons examiner successivement les variations séculaires des autres élémens des orbites planétaires.

Commençons par les variations des excentricités et des longitudes des périhélies. Pour cela, reprenons les expressions diflFérentielles de ces variations^ données n** 46 9

e de

En différenciant par rapport à a» et par rapport à 6 la valeur (/i) de F, trouvée n° 53, on aura

rfF 3/l.^[ûa^(fl,flr)+(a>+a^0.(fl^)^ ,

Te.- 2. (a-- a»)» -'^ • ^'"^ C* -^ •) '

ॠ3/»'. ad. (a, d )'

Te~ 4.(<i'»— «•)» •'

+ â.(a"~cT • * • ^'^^ "■*'^-

SI par conséquent on fait pour abréger

Zwl.an . \ad.[fifi") + (a*+ a^*).(a,ay]