Tome I. a

4oa THÉORIE ANALYTIQUE

* on aura, pour déterminer les variations séculaires des excetatricîtés et des périhélies, en ne portant Tapproxiraation que jusqu'aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons , et en ne considérant que Faction d'une seule platiète perturbatrice m', les deux équations .

2j =5 [«i^'l • ^'- sin (cù' — cû),

•£ = [ût,a']— [g^^].î-.cos K— û)).

L'action des planètes m", m!'*, etc. , ne fera qu'ajouter à ces équatipnsdes termes semblables. Désignons donc

par [^,^'"] ,.ra,aj , ce que deviennent les fonctions [a,a'']y [oL^ti'j f lorsqu'on y change a' et m^ en a'' et nJ';

désignons semblablement par [a,a'^*'] , [^,«'"1, ce que

deviennent ces mêmes fonctions lorsqu'on y change a' et m' en a"' et m'^, et ainsi de suite ; on aura , en vertu des actions réunies de tous les corps m% ni' y. w!^\ etc. ,

^5=ra^a'1 . e'. sin (û)'—- â^)^- r^ja*1.e''.sîn{û)'— a>)

^ s=5 {a^d ] + [^^«^"] + etc. — [^11, « j • -j- cos (o)' — «)

— \a^ct\ . j-cos (o)''— û))— etc.

De ces expres^ons, il est facile de conclure celles de

dJ dJ de" d^" ^ 1 X * »

7i' ir^ dï' W ^*^-' ^^ changeant successivement^ dans les équations précédentes, ce qui se rapporte à la planète m dans ce qui se rapporte aux planètes m'f w!'j etc., et réciproqueqaeut. Soit donc

[a',a],[a',a"]>[aV*], etc.,[âj^, t^jlfll' [aV^'],etc.

[a^a'],[a^«],[a^a''^,etc.,[^'], [5^], [^ïg']>«^-

etc.

ce que deviennent les fonctions que nous avons désignées par

[a,a'], \a,€i^f[a^a"% etc.,[^'J,[^^],[^^tt^,etc.,

lorsqu'on y change successivement ce qui est relatif km en ce qui se rapporte à ml^ ni' y etc. , et réciproquement; nous aurons pour déterminer tes excentricités et les périhélies des orbites de nhyrri^ rrl'f etcr, le système d'équations différentielles suivant :

2: = \a^aF\ .e'.sin(û>'- û>) +ra,a'l.e''.sin(a)''-û>)'4-etc.,

•^= [a^].e .sin(û> -û)') '\'\a\ci'\e^'.ûn[(»^-M')'^\fL\

It^ [aVf] .e .sin(a)-û>") +[^5^^'] .e'.sin(û)'-û)")-Hetc.l . . etc.

doi 'di

a,û j . — . cos (û)" — ft>) — • etc. ,

4o4 THÉORIE ANALYTIQUE

-^c=[a',a] ^-^{a\a^]'+' etc. — \a',a] • ^*cos {c» — a^

— ^ lof, a!' J . -7.cos(û>'' — eo') — etc.,

— - ïa!',a' J . -^ . cos (c/ — û)") •— etc.>

etc.

' On détermine fort simplement^ au moyen de ces formules , les variations annuelles des excentricités et des périhélies. En effets pendant ce court intervalle, on peut supposer constans les élémens e, e\ etc. , û), (ùy etc. , qui entrent dans les équations différentielles précédentes, et les intégrer dans cette hypothèse, ce qui revient à multiplier par le temps ^les

valeurs de ^, ^, etc., •^, ■^, etc. Les expressions

quW obtiendra de cette manière pourront même s'étendre, relativement aux planètes, à plusieurs siècles avant et après Tépoque que l'on aura choisie pour l'origine du temps. Si Ton veut avoir des valeurs plus exactes ^ on observera que les excentricités et la position des périhélies variaoït avec le temps, l'excentricité de l'orbite de m, pour un temps quelconque ty sera égale à

et la longitude de son périhélie à

dt d^t . d» d^m ^ /^ x !,•/•*

^' di> -dF^^^'' '^'di^'dF' ^*^-' ^^"^^ ""^^^^^ ^ l'époque. Or les valeurs précédentes de jr et de --^ donneront 9 en les différenciant et en observant que a

et a', etc. , sont constans , les valeurs de -7^ , -j^ , etc..

-^, "S?* On pourra donc continuer aussi loin que Ton

voudra les séries qui précèdent ; mais il suffira, dans la comparaison des observations les plus anciennes qui nous soient parvenues, d'avoir égard, relativement aux planètes, aux termes de ces séries multipliées par le carré du temps.

64. Quoique cette manière de déterminer les variations séculaires des excentricités etdes périhélies suffise aux usages astronomiques, cependant la théorie de ces variations ne serait pas complète, si elle ne donnait pas leurs valeurs finies pour un temps quelconque, ce qui exige qu'on intègre rigoureùseoient les formules différentielles ((?)• Leur intégration directe est impossible ; mais par la transformation que nous avons indiquée n"" 467 et dont l'idée ingénieuse est due à Lagrange, on les ramène à la forme d'équations différentielles linéaires du premier ordre que l'on sait intégrer. En effet, supposons, comme dans le n**cite,

&=e.sin û), &'=e'.sinV, i*.==e'.siuai',ptiQ.,l ^ x c=e.cos a>, c'=e'.cosû>', c*=e'.cpsû>',.etc. >

En différenciant ces expressions , on aura

db » de . dm

^-:=sm«.5^+e.cos«.^.

4o6 THÉORIE ANALYTIQUE

de. de . dct

db' . I de , / ^ I dm

-3^=sm«.^-»-e.cos«.-5^,

' ■ de' , dJ , , , dJ

3^=cos«.5^-e.sin«.-5j-.

etc.

w. j ' , .. 1 de dm dé dm' .

bi daas ces équations on remplace 'j'j'Tt^di'* "^ ^ ^ ' parleurs valeurs^ on aura^ pour déterminer g-, ,^, etc., les équa^onîs différentielles suivantes :

•j^ |[rt/ï']+[à^'].-4-ete.\.c— [^^.o'— [^rj-e'—étc., ^=5— /[a/]-».t«,a"]-|-etc. J .6 +[â]i?].&'4.[^].i'+etc., ^si= |{o',a]+[o',a^+etc }.c'— [^].c— [^i£].c"— etc.,

^=^ /[d'>]+[a%a']+etc.}.c''— [^].c— l^â^ J=^|[a^a]+[aV] +etc; }/+ [^].&+ [^JJ^'+etc

etc.

On peut d'ailleurs déduire directement ces équations des fommles (12), en y substituant pour F sa valeur en fonction de ^ , è', c, c\ etc. , donnée n® 53.

Les équations précédentes sont linéaires et s'intè-^ grent par les méthodes connues. Lorsque, par leur moyen, on aura déterminé les valeurs des quantités hy C; h\ c\ V\ d'f etc. , on obtiendra celles des excen-

tricitës et des longitndes des périhélies , ea remarquant que les équations (a) donnent

etc.

Il ne nous reste donc plu^ qu'à opérer Fintégra-

tion des équations précédentes ; pour y parvenir,

faisons

« b ssM. sm(ht+1)^ c =±:M.cos(A<+/),

b's=:W.sta{ht-\-l), c'=M'.cos(A<+/),

5"=: M". fiin(A<-f-Z) , c?= M".cos \ht^ 4 r

etc. ■ etc. •'

M, M', M^V^etG., étant, ainsi que h et /, des quotités constantes indéterix^inées.

Si l'on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les équations (P), il en résultera entre les inôéterminées M, M', M", etc., h et /, les équations de condition suivantes : .

M" A={ [a\a\ + [a V] +etc. } .M*'— [^].M — [££] JWT-ctc.

etc.

Le nombre de ces équations sera égal à celui des eoefficiens M, M', M', etc.; mais comme chacun des termes qui les composent est multiplié par l'un de ces

4o8 THÉORIE ANALYTIQUE

coefBcienSjilsensuit.qùeron ne pourra déterminer^ par les équations précédentes ^ que le rapport de ces quantités entre elles , dé sorte qu'il y en aura toujours une qui restera indéterminée. En effet, soit /, par exemple, le nombre de ces équations de condition; il est aisé de voir, d'après leur forme , que sî , au moyen des f — - 1 premières , on élimine d^ la dernière les i — I coefBciens M', M", etc., le coefficient M en disparaîtra de lui-même ; de sorte qu'on arrivera à une équation finale en h du degré i, qui ne c6ntiendj*a plus que cette constante dinconnue, et pQurra servir par conséquent à la déterminer. Cette équâiioii sera touJQurs d'un degré égal au nombre des coefficiens arbitraires M, M', M", etc., ou des corps m, m', m", etc., du système; elle aura donc un nombre égal de racines qui , substituées tout* à tour dans les £-*« i premières équations (Je) , serviront à déterminer chacune un pareil nombre^de coefficiens arbitraires M, MV M^ etc.

- Soient donc /4, A,, h^f etc., les racines de l'équation finale en^A; soient M, M', M", etc., M,-, M',, M",, etc. , M., M'., W., etc., les différens systèmes de coefficiens indéterminés qui correspondent respectivement à chacune de ces racines, les valeurs de è, b\ Vf etc., de c, c', c'j etc., qui en résulteront, satisferont .toutes aux équations (P). Or l'intégrale com^ plète d'une équation différentielle linéaire est égale, comme on sait, à la somme de ses intégrales particulières; on aura donc

A=^M.sin(/i/+'/) + M,.sin(Ai«-f/,)-fM,.sîn(fra«+/0 + elc.,

&'=M',sin (/ii+/)+.M\.sin(Aif+/|) -f:M'..8m.(A.^+/0 + etc.,

etc.

c;=M. cos (ht+l)+Mi .ços (A,t-f-/,) + Ma. cos (A.t+4)+ etc., c =]Vr.cos (Af+/)4-M'i.cos(/z»*+/,) + M'a.cos {h^t+h)+ etc., etc.,

/, /i, /., etc., étant des constantes arbitraires- Ces équations renferment autant d'arbitraires qu il y a d'équations différentielles (P) ; car chaque système d'indéterminées M , M^, etc. , contient une arbitraire, et il y a de plus i arbitraires l^ /i,./.> etc. Ces équations sont donc les intégrales complètes, des éqtia-* tîôns différentielles proposées. Quant aux âi constantes arbitraires qui entrent dans ces équations ^ on Içs déterminera au moyen des observations. Elles ne donnent pas directement ces constantes, il est yrai| maia elles font connaître, pour une époque fixée, les valeurs des excentricités et des longitudes des périhélies des orbites, et par suite les valeurs des quantités 6, b% etc. , c, c\ etc. ; on pourra donc toujours en déduire les valeurs des a]:i>itraires inconnues. .

65 A\ résulte , de ce qui précède , que les excentricités et les longitudes des périhélies des orbites planétaires ne sont plus, comme les grands axes,, assujetties à de simples inégalités périodiques; les variations de ces deux élémens contiennent des termes îndépendans de la situation mutuelle des corps du système., et par conséquent la forme des orbites çt la position des grands axes peuvent éprouver dans la cuite des altérations considérables ; mais les ellipticités , en vertu de leurs variations séculaires, sont-elles susceptibles de croître indéfiniment? S'il en était ainsi; les orbites, aujour-

4io THÉORIE ANALYTIQUE

d'hui presque circulaires, deviendraient à la longue fort excentriques, et pourraient même (iqir par changer entièrement de nature. L'invariabilité des grands axes ne suffirait plus alors pour assurer la conservation de notre système solaire , qu'une pareille progression menacerait dans la suite des siècles d'un bouleversement total. L'équation (e) à laquelle nous sommes parvenus , n* 54, montre heureusement que ces changeiiiens sont à jamais impossibles; mais il ne sera pas superflu d'examiner ici' avec plus de détail cette question; puisque c'est sur elle que repose l'une des conditions essentielles de la stabilité du système du monde.

Four cela', reprenons les expressions que nous avons trouvées pour déterminer le^ valeurs des qoao*

tités bf et Cf savoir :

6==M,sîn(A^+/)+Mi»sîn(A,f+^,),4-Ma.sîn(Aa«+4) + etc., c=M.cos(/lf4-/)4-Mj.cos (A,f+/,) + Ma.cos(Aaf-+"^a) + etc.,

les quantités À, hi^h^y etc., étant les racities d'une équation déterminée d'-un degré égal au nombre des corps agissans du système, et M, M,, M», etc., Z, /,, 4 , etc. , des constantes arbitraires dont la détermination dépend des valeurs de 6 et de £? , à une époque donilée»

Substituons ces valeurs à la place de b eX c dans l'expression de l'excentricité de l'orbite de m ; on a €* t=3 ô* + c* ; on aura donc

^«=: M* + M,*4-Ma*+ etc. + 2MM, . cos [(A, — A) . f + /, — /]

-f 2lVlMa.C0s[(A. A).^+4— ^+2M|IMa.C05[(fta— 'lj).t4-4 ^i]

+ elc.

DU SYSTÈME DU MONDE. 4ii

Le premier membre de cette équation est constamment plus petit que (M+M,-f-M.+ etc.)% tant que les cosinus qui entrent dans le second membre sont tous réels; ainsi donc^ toutes les fois que les racines A, h^f A., etc., sont réelles et inégales ^ Fexcentricilé e de l'orbite de m ne peut jamais surpasser la somme des coefBciens M^ M, , M,, etc. , pris avec le même signe ; et si Ton suppose ces l^oefEcieus^ fort petits à une époque donnée y comme cela a lieu en effet dans la nature ^ elle demeurera toujours peu considérable.

Mais il n'en serait plus de même, si quelques-unes des racines de l'équation en h devenaient égales ou imaginaires.. Ces racines introduiraient, au lieu de sinus et de cosinus » dans les expressions de b et de c^ des arcs de cercle et des exponentielles , et ces quantités étant susceptibles d'augmenter indéfiniment avec le temps, il en résulterait que les valeurs, de A et de c ne seraient plus resserrées entre des limites qu'elles ,ne doivent pas dépasser ; que par conséquent les orbites pourraient dans la suite des temps devenii^ fort excentriques, et que les résultats auxquels nous sommes parvenus jusquici, fondés sur la petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbites cesseraient d'être exacts. Il s'agit donc dé montrer que les racines A, A,, h^y etc., sont toutes réelles et inégales; c'e^ ce que Ton peut faire d'une manière fort simple, et sans être obligé de former l'équation dont elles dépendent dans le cas où l'on suppose que les dîfférens corps tn w! ^ ni\ eic, du système, circulent tous dans le même sens.

En effet, reprenons les équations (o) du n® 65.

Si Tou multiplie respectivement ces équations par

m v/a.e, m' v/â\c', ni' \^af.e% etc. ; qu'on les ajoute, et qu'on remarque que

fiin(«— •')= — 8in(«'— •), sin(«— *»")= — 8in(«'' — 4^)9610.,

et qu'en vertu des valeurs de û, «H , \a\ a\ etc. ,

données dans le n* 63 , on a généralement

\a,a'\ . m \/a — [^', aj.m' Vo'zzzo ,

etc. , cette somme se réduira à l'équation suivante

m s/a.ede-^'m! \/a\e'dé'\-nf S/a'.e'de'-i-eic.^zzo.

Si l'on intègre cette équation , en observant que les grands axes a ^ a\ etc. , sont constans^ puisqu'on n'a égard qu'aux variations séculaires ^ on aura

m \/a.e*+m! \/7P.e'*+m' v/â'.e^*+etc.=const. (e)

Les corps m, m\ etc. , étant supposés tourner dans le

même sens, les radicaux \/a, \/a\ \/a? devront être pris positivement, et chacun des termes du premier membre de cette équation sera par conséquent positif. Nous sommes déjà parvenus à cette équation, n** 54; mais nous avons voulu montrer comment elle résulte des équations dififérentielles (o).

Supposons maintenant que l'équation qui détermine A ait des racines imaginaires, quelques-uns des sinus ou cosinus qui entrent dans les expressions de b

DU SfSTEME Dû m^. 4i3

il c, se changeront en exponentielles, de sorte que la râleur de b, par exemple , contiendra un nombre fini le termes de la forme C.c^% c étant le nombre dont e logarithme hyperbolique est l'unité, et C une quan- ;ité réelle puisque b ou sa valeur e sin cù est une quanité réelle. Soient Dc*^% C'c*^', DV% etc. , les termes ;orrespondans de c, b'^ dj etc* , D, C, D', ett., étant mssi des quantités réelles, la valeur de e' contiendra e terme (C* + D*) . c*^', la valeur de e'* contiendra le :erme(C'* + D'*),c**^', et ainsi de suite. Le premier iiembre de 1 équation (e) renfermera par conséquent le terme

+ni! V^'.(C''*+D"0+etc.].

Si c^* est la plus grande des exponentielles que renferment les expressions de bf c, b^, c', etc*, c*^ sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre de Féquation (e) ; le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de cette équation; en sorte que pour que son premier membre se réduise à une constante , il faudra que le coefficient dec^* soit nul de lui-même, ce qui. donne

m' \''â. (C*-|-D'*)+etc.==o;

équation qui ne peut être satisfaite, à moins qu^on n'ait séparément 0=0, D=o, €'=0, D'=o, etc.,

si Ton suppose que les radicaux \/a, \^o!j S/a!'^ etc..

4i4 THÉORIE ANALYTIQUE

sont de même signe , c'esi-à-»dire que les corps m , rrij îri'j etc., circulent dans le même sens; d'où il suit que les valeurs de 6, c, b\ c\ etc. , ne renferment pas d'exponentielles, et que par conséquent lequation en h ne contient pas de racines imaginaires.

. Si cette équation avait des racines égales, il en résulterait des arcs de cercle dans les expressions de h y c, 6', d , etc. L'expression de h y par exemple, renfermerait un nombre fini de termes de la forme C/'. Soient Dz', ^1% D'^% etc. , les termes correspondans des valeurs de c, h\ dy etc. , C, D, C, D', ete* , étant des quantités réelles , le premier membre de l'équation (e) renfermera le terme

e^[//^V/â.(C*+D')4-/î»V?.(C'*4-D'*)+l»V^^(C''•4-D''*)+elc.]

et si f est supposé la plus haute puissance de t que renferment les valeurs de è, c, Vy c\ etc. , V^' sera la plus haute puissance de t qui entrera dans cette équation; il faudra donc, pour que son premier membre se réduise à une constante, qu'on ait

ce qui est impossible lorsque les corps m, zn', ni\ etc., circulent dans le même sens, à moins qu'on n'ait séparément C=o, D=o, C'=o, D'=o, etc. Les valeurs de b^ c, b% ç% etc. , ne peuvent donc contenir ni exponentielles ni arcs, de cercle, et l'équation en h a par conséquent toutes ses racines réelles et inégales.

DU SYSTÈME DÛ MONDE. 4i5

Le cas particulier que nous avons examine est celui de la nature^ où toutes les planètes circulent dans le même sens autour du Soleil. Il suit donc^ de ce que nous venons de démontrer, que les excentricités des orbes planétaires n'éprouveront pas par la suite des siècles d'accroissemens considérables^ et qu'elles resteront dans tous Içs temps très petites^ comme elles le sont aujourd'hui.

C'est d'ailleurs ce qu'on peut conclure immédiatement de l'équation

V/â.e*4-w' s/«'.e'»+/w" \/«".e"» + etc. = C.

En effet, tous les termes du premier membre de cette équation étant positifs, loi'squ'on suppose que les corps /w, /w% ni', etc., tournent dans le même sens , chacun de ces termes est plus petit que la constante du second membre. Si l'on suppose donc à une époque donnée les excentricités e, e', e", etc., très petites , la constante C sera une fort petite quantité ; chacun des termes de l'équatidn précédente restera donc aussi fort petit, et ne sera pas susceptible par conséquent de croître indéfiniment. Mais les considé-? rations précédent^ montrent comment l'étemelle petitesse des excentricités des orbites des planètes résulte de la forme même de leurs valeurs, et nous avons cru devoir les développer ici , pour ne rien laisser à désirer sur une question aussi importante.

66. Considérons maintenant les équations d'où dépend la position des périhélies. Si l'on remplace dans

l'équation tang « = -, i et c par leurs valeurs^ oa

4i6 THÉORIE ANALYTIQUE

aura

M.s^n(Aig^-/)-^M|.Sin(A^^^^/,)^^Ma.8Îp(fea^+/g)-^etc. a^g*=jyj . cos(At+/)+M, . cos(/^, *+/,>-|-M • • cos(Aa^-f /a)+etc'

Si de langle où on retranche l'angle ///-f- Z, en observant que

tang(^-A^--Z)= taDga>-:Jang(ft/+Q

en vertu de l'expression précédente , on aura

*^"S^ "^~M+M^cos:[(A,-A).<+A-/]+Ma.cos.[(A.-/ï).^H.4-/]+«l

Si le coefficient M est supposé plus grand que la somme de tous les autres coefficiens M„ M», M3, etc., pris positivement, le dénominateur du second membre ne sera jamais nul; tang(â) — ht — /) ne pourra donc pas devenir infini , l'angle ca — hi^^-^l n'atteindra jamais le quart de la circonférence ^ et cet angle sera compris par conséquent dans les limites + go* et — 90®, entre lesquelles il ne pourra faire que des oscillations plus ou moins grandes y de sorte que hv^l exprimera le vrai mouvement moyen du périhélie.

Mais de ce cas particulier il est impossible de rien conclure en général sur la natui% de l'angle a» ; on doit donc regarder les mouvemens des périhélies comme n'étant pas uniformes, et comme pouvant éprouver dans la suite des siècles des variations dont On ne saurait assigner les limites; on a seulement la certitude qu'en vertu de la première des équations ' (r) n* 54^ ces variations seront toujours très lentes, comme elles le sont aujourd'hui.

DU SYSTÈME DlT MOHIffi. 417

67. Concluons de ce qui précède qae la stabilité du système- du^mônde est.assurée relàti'FeinenMiuiL lex^ centrîcités comme elle l^t par rapport aux grands axes. Les orbites des planètes , en vertu de leurs actions mutuelles^ et en ne considérant que les variations séculaires , ne font qu'osciller autour d W état moyen^'ellipticité dont elles s'écartent peu ^ de sorte que ces orbites dans les siècles à venir conservei^nt toujours à peu près la forme circulaire. Les grands axes des orbites demeureront constamment de la même grandeur, les moyens. mouvemeiis qtii en dépendent seront toujours uniformes, et la position de ces grands axes pourra seule éprouver dans la suite des variations considérables; enfin les excentiicités, quelques altérations qu'elles subissent, seront sans cesse assujeïties'à la condition suivante : la somme de leurs carrés f multipliés par tes masses des corps du système^, et par les racines : carrées des grande ^ axes de leurs orbites, restera, constamment la, même.

Il faut bien remarquer que ces résultats, du moins quant à ce <pû regarde les excentricité» et left peci* hélies, ne sont exacts qit'aux.qtiantit& près du second ordre par rapnort aux excentricité, aux -indinaisons et aux forces perturbatrices. Nous montrerons bientôt comment on peut les étendre aux secondes dimensions de ces forcés et à desi excentricités et des inclinaisons quelconques.