Tome L

4i8 THÉOftIB: ANALYTIQUE

Variations séculaires des ineUmusons et des longi^ > Uêdes des noeuds^

68. Déterminons maînfenani les variations séculaires des nœuds et des inclinaisons. Leur théorie »la plus grande analogjîe avec celle des variations séculaires des éxce'ntrièifés et des périhélies.

En désignant par Ç> l'angle ^ue forme le plan de l'orbite primitive de m avec un plan fixe que nous supposons très peu incliné au plan de cette orbite ^ et par cl Tangle que fait leur commune intersection avec ,une droite prise à volonté dans le plan fixe, en donnant à (ft et cJ des significations analogues relatives & l'orbite de m\ et en supposant, afin de simplifier l^s formules ,

^ sstang^ .ànAy y sxttang^ •coa«i, p' s=3 tang ^' . sin ot', 9^= tang ^^ • cos et' ,

nous avons trouvé dans^ le n** Ifi^ pour déterminer les variations difierentiçlles des quantités p et q , les

équations suivantes : 4^'

Si Ton différencie par rapport aux variables pet q la, valeur de F du n* 53, on aura

En faisant donc pour abréger^ comme àdgû& len^ 65 ^

on aura, en, négjiige^nt le? cadrée 4^ ex^çtridtes et des inclinaisons^

U est aisé dç conclure de là les tariations diffërentielles dé ^ et dé a. ErieflFet, les valeurs que nous avons supposées aux quaqtil^j! et ç dçjpxi/dnt •

tàng(p= V>?'-t:.«% taiig«=se.

En différgnciati»^ et eh obiservant que nous héffliEeons les carres deâ mçunai^Ons, de qi;u donne cos9 s= i » on trouve

Si Ton substitiie pour dp et rfy leurs valeurs données par les équations (rt), après y avoir remplacé/;, y, p' ^ q' par les quantités que ces lettres représentent,

on aura , /

Jj^^[a,^3 . tàng«>' . sÎQ (A — *')> .i-=-[«,«']4-lVi,«>*^.cos(«~a')î

valeurs qu'on\ aurait pu d'ailleurs déduire directement des fonAul$s(5)et (6Jdu n^4^> comme il est aise de le yérifier.

Nô^S i?aV6Hà côfiâdâ^é jusqU^ici que raçlîon d*une seule planète perturbatrice m'; l'action des planètes m'', m'", etc. , introduirait dans les seconds membres des équations précédentes deâ termes semblables à ceux qulls renferment. Si dans ces équations on change ce qui a rapport à m dans ce qui est relatif à m% et réciproquement^ on aura des expressions analogues pour^ > 57' ^* ^'^^ trouverait de la même

manière les valieurs de&différèntieUes -4: 9-^9 *4", etc.,

relatives à m", m'", etc. j^ d'où Ton peut conclure qu'on aura géneràlemetat pour déterminer les variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des périhélies des orbites des planètes m, m\ nP^ etc., lia systèniè d'équations différentielles suivant

pu. SYSTÈME pu MOHBE. 4^» '

^7=C<i',o].tang^.sm(«'-*)+i:*/,a*3.taiigf'.«îi»(»'-«0+etç.

^=-{ [^,«]+[^,o'3,+ete.)+C« .«D-t^^ •<*• (*'— )|

$1= [a',a]. tang^.8in«-*)+[a',fli'].taiig^'.«in(«V*')+otc. ,/ (*) ^==,{[a^al+Ca^a^+etcJ+Ca^«3,^-^:co.:(-•J

etc.

Ges.équations sont ^e forme ^absolumentfieiiiblable à celles qui nous ont servi à détern^iner les ys^riations séculaires des excentricités et des périhéHei^il^ seule différence qui existe entre ellés^ c'est que les symboles

^?g^J j fa, a'^ , etc. p sont ici' rempUcés par les sym-

boles [a, ar\ , [^,a"] , etc,; les quantités e, e', e^, etc., par tang(pi, .tang.^% .tang^'^, etc., et Je^ajogles o», ù/ , etc. , par a, a! , etc. Nous pouvons donc appliquer aux équations précédentes les mêmes^considérations qui nous ont guidés dans les n® 63^'et^suivans , ce'<jui abrégera beaucoup ce que n,ous ayons: à dire; sur cet objet.

6g. Nous yoyons.d'abord que si l'on intègre Ips équa-« lions (b) en y regardant les angles ^, ^', etc.,^,, a , etc. , comme constans,.on aura pour les yàriatiqns séculaires des inclinaisons et des nœuds des expressions qui ne sont rigoureuses que lorsque le temps i estin^ finiment petit, mais qui pourront cependant servir

THÉORIE AHALltlQUE

pQur les planètes pendant aa long intervaUe. Si Fou veut avoir des valeurs plus exactes de ces variations^ on réduite en séries ordonnées par rapport aiulemps les expressions de ç>, «&, ^' f^% etc., et en différenciant les valeurs précédentes de^, -^, -^r, «te, on

pourra continiier ces séries aussi loin <jue l'on voudra. Déterminons les expressions rigoureuses des inclinaisons et des nœuds. Il faut pour cela intégrer complètement les équations {b) , ce qui exige qu'on leur donne d'abord une autre forme. Faisons , comme précédemment^

;i PB tang^ • 8tna , ^ xstangç «cosa^ f/ sa tang^^ . srnct^ ^' c= tang^' • cos «'> c»tc« etc.

Différencions ces expressions, et substituons pour d^f dcù, d(p% djoi ^ etc., leurs valeurs, noiis aurons

^=-{[ûXI+Tû,a1+ctc.}.y +[a,ûl./+[a, a*]-g'+èta, *^^ {[a,aO+[o,o'J+6tc.}.p — [a,a'3.p'— [a,fl^]./

—etc.,

^s= ([«/,4+[a^a^+eta}./,'^[d',a]./,-[o>^./-etc.,) <' ^'=-{[a',a]'+[afy]+etc.}.<?»+[«',«»].î+[«*,«']-î'+etc,| ^= {[<^,a]+[a',<0+elc.}./>'-[a',a]-/,-[a',a'].p'- etc.

<lc

HXJ SYSTÈME DU KOUSE. 4^3

Ces expressions résultent d'ailleurs imméiiateilieBt de celles que nous avons trouvées directement pour

2^et^,nb8.

On obtient aisément plusieurs intégrales da.sjrstème d'équations précédentes. En effet, si Ton multiplie

respectivement ces «K{UAtions par nn^/a «^/^ , n^a . ^ ,

nisfS .j( ^ m'^a' • q^etç.f qu'on les ajoute ensuite et qu'on intègre leur . somme , en faisant attention qu'en vertudes valeurs des quantités [a,a^f \p^f^9 etc.^ on a

[a, a'Q.w \/a — [a", d\.ni^ >/d' = o , etc« on aura,

. Si l'on multiplie ces ^mémes équations, la -première

par m • s/a^ la troisième par m' m V?^ !& cinquième

par ni'. V^> etainsi de duité,et qu^onles ajoute, on aura, en vertu des mêmes relations ,

d'où Ton tire en intégrant

On trouverait d'une manière âïialogue ,

m \/a . (f'-^ni y/a' . ^'-+- W \/a'. g"i4^ etc.= const.

Nous étions déjà parvenusdans le chapitre YII à ces diverses équations qui exprimeat des relations qui

4^4 THÉOEIB AîCALYTTQUE

dotyeut ; toujours »ister entre lés quantite$ p^ 9fp'f

.q\ elc. ^ quelques changemens qu^elles éprouveut, et

qui pourront servir par conséquent à vérifier leurs

valeurs.

Lesjstènôre d'é<|natioiis différentielles linéaires (c) étant d ailleurs parfaîtemeiit semblable à celui des équations (P) du n^ 64^ ou' pourra appliquer à leur inflation la vûAxuà analyse. On trouvera ainsi

/E>=±N .9in.(Ai4-i)-f^N, .8Înl(//,*4"A)+Nft .•îii..(^a^+4)+etc,/ ^ =N .cos.(A^+Q+I^i .cos.(A,«+/,)+Wft .cos:(^a^+^•)+etcj

etc. '

^9^x9 Kf clc«^ étant les racines d'une équation dW degré égal au nombre des corps agissans du système^ et les arbitraires N, N', N", etc. , /, h^hf etc., des constantes qui dépendent de la position des orbites à une époque donnée.

Si les racines A, ht^h^, etc. , sont toutes réelles et inégales, les valeurs de /?, q^p'^q', etc., ne sauraient contenir ni e^^ponentielles ni arcs de cercle. Or c'est une consécpience que Ton peut tirer de l'équation (p), comme nous l'avons fait voir dans le n^ 65, pourvu que les corps m^m! , m", etc, soient'supposés circuler . dana le. même sens ; d-où l'on doit conclure que les inclinaisons des orbites planétaires ^ur un plan fîxe> si elles ont été très petites à une certaine époque , demeureront toujours peu considérables , et.ne feront qu'osciller entre d'étroites limites qu'elles n^ pourra out,4W)ais i&'anqbir« La positic^ die^nœud^^^atu

contraire, pourra éprouver dans la suîtè'des siècle^ des variations considérables, et leurs mouveniens devront être regardés comnié n'étant pas uniformes.

La stabilité du système planétaire est donc aussi assurée relativement aux inclinaisons des orbites qu'elle Test par rapport aux excentricités.

70* Les expressions de p et ^., données par lés formules (^, offrent un moyen facile de cotistmire géométriquement les valeurs de ces quantités par le moyen des épicycles.

En effet, que Ton imaginé un cercle dont le rayon soit N, et qu'à partir d'un diamètre fixe on prenne sur ce cercle un arc qui comprenne l'angle At-f-Z, qu'à l'extrémité de cet angle on place le centre d'uh nouveau cercle dont le rayon soit N„ et qu'on prenne à partir d'un diamètre mené' parallèlement à celui du - premier cercle un arc qui réponde à l'angle A,^ -}- /t , qu'on place à l'extrémité de cet arc le centre d'tm nouveau cercle dont le rayon soit N^, et qu'on prenne de même sur ce cercle, à partir d'un diamètre parallèle aux précédens, un arc qui soutende l'angle hjt^l^ et ainsi de suite; si de l'extrémité du dernier arc/^m abaisse une ordonnée perpendiculaire au diamètre du premier cercle, cette ordonnée sera la valeur de ^ , et l'abscisse correspondante, comptée à partir du centre du même cercle, sera celle de a.

En effet, ilest visible, d'après cette construction, que la première de ces detix coordonnées sera exprimée par

N .6kï(**H-/)-+-P^..sif»(Ai<H-/0-t-N..8in(A.H-/:)-fete. ,

et la seconde par

On voit de plus que si du centre du premier cercle, on mène un rayon vecteur à Textrémité de Tare prk sur la circonférence du dernier cercle , ce rayon sera l'expression de tang^, et Fangle qu'il forme avec Taxe des abscisses sera égal à Fangle a , puisqu'en effet on aura ainsi,

tang(p= V/>*+yS tang<i = 2.

En appliquant la même construction aux expressions de betde c du n"* 64, on déterminerait géométriquement les valeurs de l'excentricité e de l'orbite et de la longitude a> de son périhélie. La première serait égale au rayon vecteur mené du centre du premier cercle à l'extrémité de Tare pris sur le dernier épicycle , et la seconde a l'angle que forme ce rayon avec l'axe des abscisses.

7 X • Jusqu'à présent nous avons supposé fixe le plan auquel nous avons rapporté la position des orbites pla« nétairesy mais les astronomes ont coutume de la rap* porter au plan mobile de l'écliptique ou de l'orbite que décrit la Terre autour du Soleil dans son mouvement annuel ; c'est en effet du plan de cette orbite que nous observons tous les mouvemens célestes. Il est donc nécessaire , pour rendre les formules précédentes immédiatement applicables aux usages astronomiques, de montrer comment elles peuvent être modifiées de manière à déterminer directement les

variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des corps m, m% m'p etc., par rapport à l'ôrbiYb mobile de l'un d'entre eux pris à volonté , relativement à Forbite de m, par exemple. Soient donc X^ , jr^ , z^ les trois coordonnées de ni rapportées à un plan fixe quelconque; soit z l'ordonnée d'un point situé sur rôrbite de m et répoujdant aux mêmes abscisses a/ etjr^} nous aurons

Si Ton suppose très petite Tihclinaison mutuelle des deux orbites ainsi que leur inclinaison sur le plan fixe, la différence 2' — s=: — (p' — pj^^^^hi^'^^^y des deux ordonnées z' et z exprimera à très peu près la bauteur de /ti' au-dessus de l'orbite de m. Orjt si l'on désigne par z/ cette hauteur, et par (pj etct/ l'inclinaison et la longitude du nœud de Torbite de m' sur l'orbite de m, on a. aussi, à très peu près,

2'^=— tang^'^ . sinA^^ . a/ H- tang^'^. cosx\.y,

d'où Ton çondura

tang ^'^ . sih cl\ z^p^'^p , tang^'^ . cos af^ = ^— q ,

et par conséquent ' '

Oa déterminera aisément, au moyen de ces deux équations, le lieu du nœud commun et l%ieliiiai^n mutuelle des deux orbites.

Si Ton suppose que le plan fiise lauquel se rappor-

tent les quantité PfP'i^f ^ ^o^t celui de Porbtte de ^ à une époque donnée, on aura pour cette époque pzsezOf 9 =3 o< Mais les diffisrentielles dp et dç ne seront pas nulles et en différenciant les valeurs précédentes on aura

ûf^'^ss (dp'— dp) . 8m«'-f {dq' — dq) . oosa', - , {dp' '^dp) . cos«' — (jdq' '"^dq) . Ana' ' taDg qf

En substituant pour dp^ dq^ dp\ d(f ^ leurs valeurs précédentes, on trouvera

dâl

^ = {[flf,a'] — [;a,a*]).taiig^^.8În, (*' — «•)

+{[a^a•]-[a,a^}. Jj^^" . cas (•'—-) +etc.

On obtiendrait de la même manière des formules semblables pour déterminer les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites de ni' y m"'p etc.., relativement à l'orbite de m. Quant au degré de précision de ces réductions, il est facile de se con^ vaincre qu'elles sont exactes , aux quantités près du troisième ordre , relativement aux inclinaisons mutuelles des orbites; en sorte qu'on pourra toujours les employer comme tout-à«*fait rigoureuses, tant qu'on ne voudra pas pousser au-delà les approxima-* tions.