e ce que nou^ avons démontré dans le n

DU StStÈME DU MONDÉ. , 4à^

il résulte que la stabilité du système solaire jest assurée, relativement aux indiuaisous-des orbites planétaires , comme elle l'est par rapport aux excentricités. L'action réciproque des planètes les unes sur les autres ; à laquelle sont dus les déplacepiens séculaires de leurs orbites, ne cause dans leuns inclinaisons mutuelles que des variations comprises entre d'étroites limites qu^elles ne pourront jama;îs dépasser; elles resteront par conséquent toujours très petites^ comme elles le spnt aujourd'hui. La position des nœuds pourra au contraire éprouver dans la suite des temps des altérations considérables, et Ton ne devra pas regarder leurs mouvemens comme uni-* formes. Enfin ^ quelles que soient les altérations que subissent les inclinaisons des orbes planétaires^ elles seront toujours assujetties à la condition suivante :. Zàa somme de leurs carrés ^ multipliés par les masses des corps du sjrstème et par les racines carrées des grands axes de leurs orbites ^ demeurera constamment la même.

Nous étendrons bientôt ces résultats, qtli ne ^nt exacts qu'auxquantités près du second ordre par tâji^ port aux excentricités , aux inclinaisons et aux masfês perturbatrices, au cas où Von a égard au* carré de ces masses et à foutes les puissances des excentricités et desf inclinaisons.

43o TBÉ^IE AITALTTIQCE

PTariatian séeubure de la longitude de V époque.

•yS. H ïions reste , pour compléter la théorie des variations séculaires^ à cpusidérer les variations du sîxièmeélément des orbites planétaires^ de celui qui, dans Tellipse non troublée , dépend delà position de la planète à une époque donnée , ou , ce qui revient au même, de Finstant de son passage par le périhélie.

Pour bien concevoir l'importance de cet élément, il faut remarquer que c'est de la variation séculaire de la longitude t dé l'époque , que dépend celle de la longitude vraie de la planète dans son orbite, c'està-dire de la coordonnée la plus nécessaire pour la détermination exacte de sa position dans l'espace. En effet, tXL nommant v cette longitude, on a, par les formules du n* 24 >

en débiguf^^t par x ui^e suite de sinus des multiples de Fanç^aliq moyenne^; 4^ ^ — c^ multipliés par ks puis^nce^ de rexx^erjtrioité ^. Or, si l'on regarde comme y^fiables leç. élémç»^ elliptiques, : et qu'on ne considère que la partiç ^op périodique de la v^iria-* tion dex, il est évident que cette partie sera une fonction des élémens de la planète troublée et de la planète perturbatrice de l'ordre m'; en sorte que si l'on y regarde de nouveau ces élémens comme variables, en vertu de leurs variations séculaires, les termes du second ordre contenus dans cette fonction seront sim-

DD SYSnèME DU MONDE. 43t

plement proportionnek au teimps ^, et s'ajouteront au moyen mouvement nt dans la valeur de 1^ ; et I^ termes dépendant du carré du temps i, les seuls , comme nous le dirons, qu'il importe de considérer, seront du troisième ordre et pourront toujours être négligés* Nous ayons vu d'ailleurs que lé moyen mouvement nt n'était soumis à aucune variation séculaire; la seule variation de cette espèce dépendante du carré du temps , dont puisse être affectée ta longitude v, est donc celle qui provient de la variation de la lonjgitude e de Tépoque, et c'est une ràÎ8(m, par conséquent jf de l'examiner avec soiii*

74* Reprenons la valeur de di donnée par la trohsième des formules (ii)^ du n^4^.

Si Fon diffét^encie ht valeur (m) de la fonctionF, n**5S , relativement au:ir constantes^ e et a^ |e^ qu'il la place

des différentielles partielles -^T" > "3 — » 'T^^ ^^

substitue leurs valeurs doni^ées en fonction de B(^) fst B^"^, par le n* 52, savoir,

a^ 3a.BCo)+a-.BCO cfflCQ 3.^BCoH(.^).BC0 on trouvera

43s THÉORIE AlTALT^tlE

si l'on suBstitae ces valeurs dans Tequation (a) , en négligeant les puissances de «supérieures à la seconde et en faisant , pour abréger^

/ — -A m'.an.r(3«V-i5aa'»).BC«)— (aa<+i2à*a'»-iOrt'0.BW]

I £Z«£Z 1 !!I2"""w lin Il I ■ I .1. .11 I ^

/ — P> TO'.a''a».(3ao'.BW+«».BC'>)

quantités que Ton peut exprimer aussi en fonction de.(£ï,û').et de («XX pour les avoir sous la même

forme que les quantités analogues [a,ar\ , | a, a\ En

eflfet, il suffit pour cela de remplacer B ^*^ et B^*^, que nous nWons introduits que pour la commodité du calcul; par leurs valeurs données n'' 5i,

Les quantités (a, a) et (a,ay représentant, comme on sait , les coefficiens des deux premiers termes du développement de (a* — 2 aaf. cos ^ + a'*)*^^ série, de sorte que Ton a

f — j-v ni . a».[]aa*.(a, a') + 3ag^.(g,aV3 \cifr^— (a'»a»)» *

. — ... jï»' , a» . f 1 2 . a'o'. («,a') — 3 . {Zc^a' — aa'') . {a,aY^

__. OT'.a«.[:3.(a'-5a'')W.(a^')^3.(aH'6a V— 5a%(fl, oQT

(^ajajs= 4. (a""— a»)" '

on aura

On voit par celte expression qne si dans la valeur de di on n'avait égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons^ comnve nous l'avons fart pour la détermination des variations séculaires des autres élémens de Torbite, le second membre de l'équation précédente se réduirait à une constante j dans le cas même où l'on considère le carré des forcés perturbatrices. Il* en résulterait par l'intégration dans la valeur de € un terme proportionnel au temps <][ui s'ajouterait au moyen mouvem'ent ni dans la valeûrTz^-f-e de la longitude moyenne , nous verrons bientôt que les termes de cette espèce demeurent toujoursînsensîbles; d'où Fon doit conclure que si la longitude é de l'époque est soumise à une variation séculaire^ elle ne penVVlépendre que des termes de la valeur de dg du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; c'est par cette raison que nous avons conservé ces termes dans l'éq^tion {b). ....