Tome L

Si Ton suppose , comme dans les n° 4^ et &^ ,

bz=:e . siaoù, t/:=,e' . sinû)', c =z= e . co^cûf g'z=: e' . côsa»'^

la formule {b) deviendra

^= (^)+(tf:). ^ c^'+c) +(ii'X ihv+cc')

Cette formule servira à déterminer la variation séculaire de la longitude s de l'époque, causée par Faction de la planète perturbatrice m' ; l'action des planètes /w'% m'" ^ etc. , ne fera qu ajouter au second membre de l'équation précédente des termes semblables y qu'on obtiendra en y marquant successive^ ment d'un accent de plus les lettres a! ^b' ^ c' ^ p' et (f'. Si dans l'expression résultante on change ce qui a rapport à la planète /7i en ce qui est relatif k m\ et réciproquement, on aura une formule semblable pour déterminer la variation di'^ relative à m'; ^t Ton aurait de la même manière les variations i/^' , di^'\ etc., qui se rapportent à m'^ m"' , etc. Nous continuerons, pour plus de simplicité, à ne considérer que l'action mutuelle de deux planètes /it elm\ ce que nous dirons pouvant aisément s'étendre à un nombre quelconque de corps

I^OHS aurons ainsi

dt

+0. •(*'*+«")+(£f). 'ibV-i-cc') ) +(?^),.CCp'^j>)»+(y'-î)«--i^c'3. (

il est aisé de vérifier sur les- équations (i) et (:i) la

relation que nous avons vue exister généralement entre les variations séculaires des longitudes d'un système quelconque de planètes /w, m', ni' , etc. En

effet, si l'on multiplie la première par m s/a^ la seconde par m' sjd ^ qu'on les ajoute en observant que a \Ja . n = d\/a! . 7i'= i , et que les valeurs que nous

supposons aux quantités^^i, a!j , (a', a\ etc., donnent m \/a • (Âi?)+m' V^'-(^) = mni . A^*>,

my a.\a^\^ ni ^ d .\d^î==ini ^ ci »(a\cL\i'^m V ^'{^^^i = — j . mni . aa! • BCO; rn y a, (û,a' j^ -^rri^ d . (û',o\

= - . mni . F- .ad. BC»)— {a^^d") . BCoH

mV^ a,^c^^^+ni \/d'.Çd^^^:sz~.mm\aa .BCO

on aura, en mettant la fonction F du n® 53, à la place de la valeur qu'elle représente

m V^^'Jf^^' V^û'.^=2TO.F+^/»OT'.aa'.BC0.(6«+c«+y*4.c'») + imiw' . [^-ao'.BC<»)—(a*+tt'*).BCOn . (ii' + cc'),

équation qui, en substituant pour B^*^ et B^'^ leurs va-

leurs, et lès symboles [a,a']f (f^J ' h pl^ des quantités qu'ils représentent , devient

La fonction F est constante relativement aux variations séculaires n* Sj; ilerf est de même de la fonc-

tioa

• En qffet, si on la différencie parrapport a b, b' ,c, i^l'.f <oi({\^\on substitue pour db, db' , de y de' leurs yaleprs données par les équations (P) du n® 64 9 dans lesquelles on ne considérera que l'action de deux planètes ni et /w' , et qu'on observe que l'on a par les n°' 66 et 69

d'où l'on tire par conséquent

"on vewa que cette différentielle se réduit à zéro, ^însi donc le second membre de'Téquation (c) est constant ; de sorte que si l'on ne considère dans de et rfé' que les termes qui sont dépendans du temps ^, on pourra ,en faire abstraction ^ et l'on aura entre ces termes l'équation

m \Ja . de + m'\/a' . de'=o. (3)

Nous verrons, comme nous l'avons dit n^yS, qu'il est inutile d^avoir^ard dans les expressions 4es variations séculaires dé £ et dé é' aux termes sîmpiement proportionnels au temjis^ parce qu'ils -sç, confondent avec les moyens mouvemens nt et n't dans les expressions des longitudes moyennes de ttî et de m' , et qu'ils demeurent. d*aiUeurs . toujours inseii^ibles; (On aura donc immédiatement, au moyen de l'équation précé-

dente , la variation séculaire de e' lorsque celle de € sera connue, ou si Ton a calculé séparément ces variations , cette équation servira à vérifier les valeur* trouvées. Ces valeurs seront de signes contraires, et en

raison inverse des produits m \/a et /w' \/a' , ce qui s'accorde avec le résultat auquel nous étions parvenus par une autre voie n* 56.

75. Occupons-nous maintenant de déterminer la valeur de €5 pour cela reprenons la formuler (i)

^^= (iZ) + (iZ). • (** + ^0 + SX • (W' +^c')

Pour intégrer cette formule , il faut, dans le second membre, remplacer les quantités b,Cf b\ c',,pf p\ g f ç' y par leurs valeurs en fonction du temps t.- Or nous avons donné deux moyens de les obtenir, Tun qui peut servir à déterminer ces valeurs pendant plusieurs siècles avant ou après Tépoque que l'on a choisie pour origine du temps ^Tautre qui embrasse un nombre d'années indéfini. En substituant donc les premières valeurs dans lé second raembi^e de Féquation (i), on aura, pour déterminer la variation delà longitude s de l'époque, une expression qui pourra s'étendre h plusieurs siècles, ce qui suffira presque toujours aux besoins de l'Astronomie, et en employant les'secondes, une expression qui fera connaître sa valeur exacte lorsque cela sera jugé nécessaire.

Si l'on désigne par b^, c,, b\, c\, p^, q^,p\, q\, les valeurs de i, c, b' , c\p ^q ^p' y q' relatives à l'époque d'où l'on compte le temps, lés équattons (P) et {ù)y

n"* 64 et 69, donneront, après les avoir intégrées en y regardant les élémens elliptiques comme constans , et en négligeant les termes très petits de l'ordre t*,

Qu'on substitue ces valeurs dans Féquatîon (i) §t qu'on fasse pour abréger

"' dt *' d« J»

on aura

d'où l'on tire en intégrant

cTe = A . «« + B<*.

C'est l'expression de la variation de la longitude et de

l'époque qui doit être ajoutée à cette longitude dans, l'expressîon de la longitude moyenne nt + e.

Le terme X.nt ne feit qu'augmenter le moyen mouvement primitif dans le rapport de i à i -f- A, de sorte que le moyen mouvement , tel qu'il doît résulter des observations, sera (i + A), fit, et semblera répondre par conséquent à une distance moyenne

égale à — • ;. Ainsi connaissant cette distance qui

est celle qui provient de la comparaison des temps périodiques, on pourra déterminer la distance primitive a qui enfre comme élément dans le calcul des perturbations; mais la quantité A étant une fraction infiniment petite, puisqu'elle est de l'ordre des masses m et m% il ne résultera de là qu'une correction insensible et de nulle considération dans les distances moyennes. On peut donc n'avoir aucun égard à l'eflet du terme dont il s'agit.

Mais il n'en est pas de même du terme B^^ qui , croissant comme le carré du temps, produit dans l'expression de € , et par conséquent dans celle de là longitude moyennne de m, une véritable inégalité séculaire. U ne restera plus qu'à savoir si la valeur du coeiEcient B est assez grande pour que cette inégalité puisse devenir sensible par les observations. Gomme ce coefficient est du second ordre par rapport aujc masses m et /?»', il est à présumer qu'il sera toujours fort peu considérable. En effet, dans la théorie des planètes, le terme B^* est insensible et l'on peut le négliger; dans là théorie de Jupiter et de Saturne, par exemple , celles de toutes les planètes dont les per-^

44o '^^ THÉORIE ANALYTIQUE

turbations sont les plus considérables , ce terme est pour Jupiter,

— o^,oooooo65oi . i^y

d'où, en yertn de Féquation (3), on conclut pour Saturne

H-o'.oooooi5ii4 • ^f

t désignant un nombre d'années juliennes. Ces inégalités ne s'élèveraient pas, par conséquent, à un soixantième de seconde sexagésimale dans un siècle; elles sont insensibles par rapport aux plus anciennes obsenrations quîjious soient parvenues.

Mais ce même terme devient très sensible dans la

^ théorie de la Lune , et sert à expliquer la variation

séculaire que les observations ont fait remarquer dans

l'expression de sa longitude. En effet ce terme est

pour la Lune

De sorte que, dans un siècle, cette inégalité peut s'élever à plus de 10", ce qui s'accorde assez bien avec les observations qui la fout monter à 9' à peu près. En multipliant 10', 2066 par le carré du nombre de siècles écoulés depuis l'époque d'où l'on compte le temps , on aura l'accélération du moyen mouvement de la Lune, due à son équation séculaire. 76. Déterminons maintenant, quoique cette donnée paraisse peu nécessaire dans l'état actuel de l'Astronomie, la valeur exacte de la variation séculaire de £. Il faudra pour cela substituer , comme nous l'avons dit , dans l'expression de ds, les valeurs des quantités &, c, V,

c\ py qy p\ c'y déterminées par les formules <^es n* 65 et 69 , et comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus d angles croissant avec le temps ty la variation di, sera intégrable» Les termes constans qu'elle pourra contenir donneront dans € des termes proportionnels au temps qui se confondront avec le moyen mouvement dans l'expression de la longitude moyenne , et les termes en .sinus et cosinus produiront des termes semblables qui exprimeront les variations séculaires dont cette longitude peut être affectée.

Les formules du n® 65 donnent , en ne considérant que Faction mutuelle de deux planètes m et m! y

è* + c» = M* + M^ + 2.MM,.cos.[(A'— ^).f + Z— /] è'*+c'=M'* + M'»,-f 2.M'MVcos.[(A, — A)^+/, — /] iy+cc'=:MM'+M^M;+(MM;+M'MJ.co8.[(ft— A)«+/— /].

On a , en second lieu y en nommant ^ l'inclinaison mutuelle des deux orbites, et en remarquant que cette inclinaison est invariable , n*' 55 ,

N étant une constante.

Si l'on substitue ces valeurs dans la formule (i), en faisant pour abréger

A'»=(5^')+g2), . (M»+ M/) + (^'). .(MM'+M,M;)

B'=2. (^'), .MM'— a.(^), M'M',+(^), .(MM;4-M;tf'),

443 THÉORIE AKâLTTIQUE

OB. aura . - ' '\-

cfe = A'. wA4- F. cos . [(Ji^— A) . i H- /,— /] . dt. (d)

Si, dans cette équation, on négligé le premier terme du second membre qui ne produit dans l'expression de é que des termes proportionnels à nt, termes dont on peut faire abstraction comme nous Tayons vu n* 76 , on aura en intégrant

cTéss , ^- . sin .[(Ay— A) •t+l^ — Ij.

C'est l'expression de la variation séculaire de la longitude de l'époque relative à un temps t quelconque. ^

Cette variation séculaire, comme celles des autres <^émens de l'orbite elliptique, est périodique ; mais sa période , qui dépend de l'argument h^ — h, est extrêmement longue. Nous verrons, par exemple, dans la théorie des planètes, que, pour Jupiter et Saturne, elle est de 70414 années.

L'expression précédente de J^g monti^e encore comment la variation différentielle de, quoique composée de termes de l'ordre des masses m et m' , peut cependant devenir sensible dans la suite des siècles, en acquérant par l'intégration un très petit divisi^r A' — A du même ordre. Nous montrerons toutefois, lorsque nous appliquerons les formules précédentes à la théorie des plai^ètes, que, relativement à Jupiter et à Saturne, celles d'entre elles dont les masses sont le plus considérables, ce coefficient ne s'élèverait guère

qu'à un millième de seconde , et que par -conséquent les variations séculaires de la longitude de Tépoque peuvent être regardées dans cette théorie comme absolument insensibles, ce qui est conforme à ce que nous avons dit dans le n^ 75.

Enfin la formule (<i) peut servir à trouver une valeur de € plus exacte que celle que nous avons donnée dans le n° cîté, en réduisant en série ordonnée par rapport aux temps t les sinus qu elle renferme, et en négligeant les termes constans ainsi que ceux qui sont simplement proportionnels à t, et qui se confondent avec le mouvement moyen dans l'expression de la longitude moyenne.

De la stabilité du système solaire.

'j'j. Nous avons vu, dans len* 65, que la stabilité du système solaire reposait sur deux conditions: i ''• l'invariabilité des grands axes des orbites planétaires, 2**. le peu d'étendue des limites dans lesquelles doivent être constamment renfermées les variations séculaires de leurs excentricités et de le\irs inclinaisons.

Nous avons démontré la première proposition en ayant égard a toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons , et en portant les approximations jusqu'aux carrés des masses perturbatrices.

Nous avpns prouvé ensuite, en regardant les excentricités et les inclinaisons comme de très petites quantités dont il est permis de négliger les carrés ,

et les produits, que les orbites des plantes resteront dans tous les temps prescpie circulaires et peu inclinées les unes aux autres , comme elles le sont aujourd'hui. Cette approximation suffit sans doute aux besoins de l'Astronomie; mais le principe de la conservation des aires fournit une démonstration nouvelle de cette proposition , qui a Tavantage d'embrasser toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons , et qui peut même s'étendre aux termes du second ordre , par rapport aux forces perturbatrices. Comme un point aussi important dans la constitution du système du monde ne saurait être établi avec trop de précision , nous allons la développer ici, et prouver par ce moyen l'éternelle petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbes planétaires, en poussant les approximations aussi loin que nous l'avons fait pour démontrer l'invariabilité de leurs grands axes.

Reprenons, pour cet effet, les trois intégrales que nous ont fournies n** 9, en vertu du principe cité, les équations différentielles d'un système de corps //i, n/, ni* j etc., circulant autour de M. Ces formules peuvent s'écrire ainsi

C, C, Ç' étant des constantes arbitraires.

Il est aisé de retrouver, au moyen de ces équations, les diverses relations qui existent entre les excentricités et les inclinaisons des orbites d'un système de corps, /w, rrl j ni' ^ etc. En eflfet, jdx-^xdjr est le double de l'aire que décrit pendant Tinstant dt la projection du rayon vecteur de m sur le plâri des cty. L'aire décrite par ce rayon sur le plan de Torbite sup-

"^ tlt. .

posée elliptique pendant l'instant dt est — VfAû.(i-e*)j

pour rapporter cette surface au plan des JCjr, il faut la multiplier par le cosinus de l'inclinaison (p de l'orbite sur ce plan ; on aura ainsi

' ^ \ \^ tang*©

ydx — «d'

On aurait de même, par rapport à ni ,

ydx' — x'dy' ./-T—r-t 77. ^ . A.a'.(i/*)

dt y r' \ ^ *' V I + tang>' '

et ainsi de suite.

Il faut remarquer que ces valeurs déduites de là considération du mouvement elliptique subsisteront encore dans le cas du mouvement troublé, puisque pendant chaque intervalle de temps infiniment petit dt , leé corps tti , m' , etc. , sont supposés se mouvoir dans des orbes elliptiques; seulement il faudra alors regarder les élémens Uyo! ^e^ e', ^, ^', elc, comme variables en vertu de leurs inégalités périodiques et séculaires. Nous ne nous occuperons ici que de ces dernières variations. Cela posé, si l'on Isubstitue les

446 THÉORIE AHALYTIQDE

valeurs précédentes dans la (>reniière des équations (Â), qu'on néglige les niasses m,m\ etc. , par rapport à la masse M du Soleil prise pour unité ^ ce qui donne fc = I , f&'= ly et qu'on fasse d'abord abstraction des termes qjoi sont de l'ordre du carre des forces perturbatrices,'on aura

^' \/ —Tz — ï^-h^ • \J — rr — r-7+etc.=C, (a)

C étant une constante égale à la valeur dû premier membre de cette équation dans un instant donné.

Cette équation exprime donc une relation qui doit toujours exister entre les excentricités et les inclinaisons des orbites planétaires, quelques changemens que leurs valeurs éprouvent dans la suite des temps en vertu de leurs variations séculaires.

Si Ton néglige les quantités de l'ordre e* et e* ^'^ cette équation devient

m V/â+m' V/â'+etc.-i.m ï/â.[e*+tang«Ç)]— m' V/a^.[tf'*+tMigy] — etc.=C

On peut faire passer dans le second membre la partie

m \/a + ni \/«'|+ etc., qui est constante puisque a, a\ etc., sont constans séparément; on aura donc, aux quantités près de l'ordre e^ et e*^*,

m v/â.(if»+ tang*^)+jw' kV. (/*+ lang^^O + etc. = const. (a)

Nous avons vu , n** 54> que lorsqu'on n'a égard qu'aux premières puissances des excentricités et des

DU SYSTÈME DU MONIffi. 447

inclinaisons^ }es variations séculaires de ces élémens sont données par des équations différentielles indépendantes les unes des autres ^ c'est-à-dire que les variations des excentricités sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan , et que les variations des inclinaisons sont les mêmes que si ces orbites étaient circulaires. L'équation précédente , en y supposant tour à tour ^=o, ^'=o, etc., et e=:o, €?'=o, etc., donnera donc> dans ce cas,

m \/ a. 6^-+- m'^af .e[^^eic.z=zcousta.nte, m v/^.tang*^ + /7i' \/a', taog*^'H-etc. = constante ,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans lesn*" 54, 65 et 69.

Si, dans la seconde des équations (Â), on substitue

de même, à la place de ~ — , sa valeur v//ï.(i-e*)

multipliée par le cosinus de Tangle que forme le plan de l'orbite avec le plan des xz , cosinus qui est égal à sin ç.cos et, et étant la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur le plan des açjr ; en négligeant les termes de Tordre mm', on trouvera

La dernière des équations (A) donnerait de même , ^ en observant que sin ^ .sin et est égal au cosinus de l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan des^z ,

mYa.(i — ^).siii^siiifltHh''^' yd.{\ — e '').sin^'sînfle'4*etc=const, (c)

Si dans ces équations on néglige les quantités de

448 THÉCAIE ANALYTIQUE

Tordre da carré des cxcentnchés et des indinaûsons

ce qai permet de prendre les taogentes des angles fj Ç% etc^ , à la place de leurs sînns, en Élisant

p = tang p « sin a, 9 = t^i% P • ^^s a, jjf = tang p\ sin a', ^ = tang ^f. cos «% etc. y

on aura

m \/a.p+ m! s/cï.p'+nif v/5'.;^"+etc=:const. m\/a .q + m' \/d . q'+ ni' \/d'. q'+eltc. = çonst . ,

équations auxquelles nous sommes déjà panrenus dans

les n* 54 et 69.

Si Ion ne considère que Faction mutuelle de deux planètes m et m\ qu'on désigne par y Finclinaison de lenrs orbites Tune sur l'autre , et qu'on observe que Pfq, cos ^ , et /?', q\ cos (p' étant les cosinus des angles que forment les plans dé ces orbites avec les trois plans coordonnés ^ on a

cos y = cos ^. cos (p' +pp' + qq'.

On trouvera , en ajoutant ensemble les carrés des trois équations (a) , (6) ,. (c) «

OU bien en observant que cos 7^=1 — a.sin**-.^, on aura

— ^.pim'. \/o.(i-«*).V/a'.(ir«'*)-sin*.-yc=coa»t-

Si Ton néglige les quantités du quatrième ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons^ et qu'on fasse passer dans le second membre les termes tout constans, on trouve

mV^â.e''+mfl/7.e'^'j -= ■ „ ^ =C.

La constante C est égale au premier membre de cette équation à une époque déterminée ; elle doit donc être indépendante des variations des élémens €,e* ^y. Si l'on désigne donc par J^e, ^Te', Sy ces variations^ et qu^on observe que a et £i^ sont constans , on aura

my a*e&)e '\- m y. a * e &e -f- -= 7=r* = Oi

mya-\'m'ya!

relation qui doit toujours exister entre les variations séculaires des excentricités dea deux orbites et de leur inclinaison muti^Ue ^ et qui se vérifie ea effet , lorsqu après avoir déterminé leurs valeurs , on les s\ibstitue dans cette équation.

78. Voyons maintenant comment, à Faide des équations (A), on peut démontrer que les excentricités des orbites et leurs mutuelles inclinaisons resteront toujours très petites» en ayant égard au carré des masses m y m! y etc. , et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons. *