Tome Î

45ô THÉORIE À»ALYTrQlIE

Réprenons les équations {A) du nuinéro précédent^ sans y rien négliger : si Ton substitue pour xdjr—jrdx^ x^ffyf ^^ydx' > etc. , leurs valeui*s , etTqu'on su ppose , ce qui n'ôte rien à la généralité de la démonstration , M ^m^=: ij M'+'m's=zi, etc: , la première de ces éqùatiotis devient '

m.y/a.Çi — e*).cos(pH-/w'.Vû'.(i — e'*j.cos^'^-etc.

Si Ton fait abstraction des variations périodiques, et si l'on néglige les quantités du quatrième ordre , par rapport aux masses /w et m\ le premier terme dp second membre de cette équation peut être regardé comme constant. En effet, le produit j^rfjr' ne saurait contenir de termes non périodiques , lorsqu^on y substitue pour^ et dx' leur valeurs] elliptiques; car la valeur de jr ne contenant que des termes périodiques dépendans de n^t , tandis que la différentielle daf ne contient que des termes périodiques dépendant de ni y le produit /^x' ne peut renfermer aucun terme où les moyens mouvemens nt et rJt se détruisent. Si ce produit contient des termes non périodiques ^ ces termes sont donc du premier ordre , par rapport aux masses m ^\ m' ; et comme ils sont fonctions des élémeiis elliptiques de m et de m', leurvàHatîon est du second ordre, et par conséqtient la variation du produit nrni.ydx' est du quatrième j il en serait de même difis auti'es produits xdy'^fdx ^ x'djr. . ,La même observation peut se répéter à l'égard des autres termes du second membre de l'équation pre-

DU SYSTEM» bu MONDE. 45i

cétknte^ puisqu'Hs sont tous absolument de.inéme forme que ie preniier. Ce second membre doit donc être considéré comme une constante, indépenoante des variations séculaires que subissent les clémens des orbites de m^ m', etc., du moins lorsqu'oa néglige les quantités du quatrième ordre, par rapport aux masses m, /n', m", etc.

Il est aisé devoir encore que* si, dans le premier membre de la même équation, on substitue à la placé des élémens elliptiques la partie périodique dé leur valeur, les termes non périodiques qui en résulteront seront de Tordre/?/^ , et pourront être regardés comme constans, aux quantités près de Tordre m^.

La première des équations ( i ) devient ainsi

m. V^a.(i — e*),coBÇ'^m', V^a'.(i — e'*).cos^'

-+• m". i/a'-Ci—e*») . cos Y+ etc.=C.

Les deux autres intégrales (A) donneraient de même

m . Ya,{i — e**) . sin 0 cos A^mf , y a' . ( i — «'•) .sio f'o09 a'

+ m^ \/a\(i —e"^) .sin (p'cos « + etc. =C, m . \^a. (i '— e^) . sin ^ sin ot + m' . ^a . ( i ^— ^'^) . sîn ^sîù **

' ' + m\ v/5\(r^'^) sin (p^^în it" + etc.isG'"^

Et ces équations, exactes aux quantités près du quatrième ordre, i^ubsisteront , quelques changemens que subissent dans la suite des temps les eitcentricités et les inclinaisons des orbites en vertu de leurs variations séculaires., même en ayant égard , dans la détermination de ce^ variations, au carré deç forces perturbatrices. .

^ Si Fou ajoute énsemble^ les trois- équations précédentes après avoir élevé au carré les deux membres de chacune d'elles; que pour simplifier on ne considère<}ue l'action réciproque de deux planètes m et m', et qu^on nomme y l'inclinaison mutuelle de leurs orbites , en observant que

cos y = cos (p . cos ç' + sîn (p . sin ^' . cos (a' — a) , . on aura . .

"Cette équation coïncide avec l'équation (d) à laquelle nous sommes parvenus n* 77 , en n'ayant égard qu'à' la prenlière puissance des forces perturbatrices. On vpit que cette équation est exacte en considérant même les termes dépendans du carré de ces forces , et l'on en peut conclure , comme dans le numéro cité, la relation suivante^

. m . y a • «d> + m . y a . # /îp^ H •—' ^-= = 0 ,

quivse vérifie en effet lorsqu'à la place de ^fe, cT^, J'y, on y substitue leurs valeurs dépendantes nonseulement de la première puissance , mais encore du carré des masses m et m', et exactes aux quantités près du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons*

Si l^'onvfait passer dans lé second membre de l'équation (g) les termes constans, elle devient

Où pieut écrire d'uoe autre manière cette écfuatioB, e^ observaQt que l'on a '■

Vi— e";

+ »/lT-«'''

COS>= I — — ; — ^ — ; ^ I + cos y

d'où l'on tire

Substituons cetteValeur dans Pëquation {k), et faisons passer dans le second membre le terme coilstant amm' . a^a!*nn^y nous aurons

+ îim7n'.a»a'*/i/î\ -f2^^+ am/n^aV«/^/.^ -5Ï!Î^^ =C,f

C étant une constante arbitraire.

La valeur de cette constante est une très petite quantité par rapport âuic carrés et aux produits des masses m et m', puisque ces carrés et ces produits sont multipliés dans le premier membre de cette équation par <e*, e'*, sin*^, et que nous supposons qu'à une époque déterminée les excentricités et rinclînaisôn mutueUe des orbites sont très petites. Il suit de Et que chacun des termes dû premier membre restera très petit par rapport aux carrés et au produit de m et m', tant que ces termes seix>nt de même signe; puisque

454 TflÉOHIE ANALÎTÏQUE

chacau deux $era aloi^ B^essaireinent plus petit que la constante C du second membre. Or^ si les planètes m et nJ sont supposées tourner dans le même sens autour du Spleil, comme cela a lieu dans la nature, les moyeps mouvemcns nt et vit seront de même signe ; les six termes du premier membre de l'équation (H) seront donc positifs tant que l'angle y sera plus petit que go'; mais si l'on suppose y «= go*", on a sîn 5/= i, cos^ = o. Le dernier terme de l'équation (H) n'est donÈ plus très petit par rapport à Tnm\ ce qui est impossible, puisque la constante C Qst très petite par rapport au produit des masses m et /?/ et que les autres termes du premier membre sont positifs. L*anglé y ne pouvant jamais atteindre 90**, il s'ensuit'que l'inclinaison^ et les excentricités e et e' des deux orbites demeureront toujours peu considérables; car QQ&y ne pouvant pas devenir négatif, tous les termes du premier membre de l'équation (H) seront . positifs , et chacun d'eux par conséquent restera toujours très petit par rapport aux carrés et aux produits des masses m et m', ou, ce qui revient au même , les coefficiens e*, ^'f , sin^y de ces termes seront toujours de très petites quantités, comme ils le sont aujourd'hui.

Les mêmes raisonnemens s'appliqueront évidem^ meut à l'équation (H) quel que soit le nombre des planètes /w, /»', rr! ^ etc. , que l'on considère, puisque chacune d'elles ne fait qu'ajouter au premier membre des termes semblables à ceux qui le .composent.

Concluons de là que la stabilité du système plané"

taire est assurée par napport caix excentricités et aux inclinaisons des orbites , comme elle Vest par rapport aux grands a^es , quelque loin que Con pousse les approximations relatisfement aux excentricités et aux inclinaisons , et en ayant -égard aux termes du second ordre par rapport aux masses perturbatrices.

79. Nous ayons vu , dans le n? ^3 du P' livre , que dans le mouvement d'un système de corps , il existe un plan qui reste toujours parallèle à lui-même et que y par cette raison , nous avons nommé plan im^a^ riable. La propriété remarquable qui le caractérise^ c'est que la somme des masses des difTérens corps du système, multipliées respectivement par les projections des aires décrites par leurs rayons vecteurs dans un temps donné y est un maximum par rapport à ce plan, et qu'elle est nulle par rapport à tout autre plan qui lui est perpendiculaire.

La position du plan invariable se détermine au moyen des trois équations (Â). En effets si l'on noii^me O son inclinaison sur le plan des xjr, et II la longitude de son nœud ascendant , on aura , n^ ^3 , .liv. P% pour déterminer ces deux angles*, les équations

tang$.sinn=-^, tangO,.cosn=— ,

et par conséquent en substituant pour C,'Ç' , C", leurs valeui's .

m, {/a,( ï-^*).»Ui^.sîn«.4-m'. ya'J i -e'*) ..sm^'.sin«('+etc.

y0.Sinn= ' > ^ s — : . ; ' ; ■ ■ »

m V/ a. (!-«'). cos^+//i . V a'.(i-e *).cos^'+etc. |

m. va.(i-«*).sÎD^.008«i+'»'. yaJi-e O-sîn^'.cosii'+etc. ^.cosn= — ^ — ■■■■ ■

l'ome L *

456 THÉORIE ANAl/TTIQUE

Nous avons dëfoohtréque les seconda membres des équations (A) scxal(^nstans^ quelles que soient les yariatiôns séculaireà qu'éprû,uyent les élémens elliptiques qui entrent dans le ^premier membre , et lors même qu'on a égard auj^ termes du second ordre dans la détermination de ees variations; d'où il suit, par conséquenty xpiie.ia position duLptan maximum des aires demeure encore invariable lorsqu'on a égard aux perturbations causées dans les mouvemens elliptiques des plantes par leur action mutuelle, et qu'on porte les approiti mations jusqu'aux carrés des masses.

On voit parles équations (K) que> pour fixer exactement la position du plan invariable, il faudrait connaître les masses de tous les corps du système solaire , et les élémens de leurs orbites ; c'est ce qu'on est loin . epcore d'avoir avec précision ; mais comme les planètes dont nous connaissons les masses sont celles qui doiv«ent le plus influer sur la position du plan invariable, et que les niasses des comètes paraissent en ^éiléral assez petites pour que l'on puisse négliger leu]" action ^ il sera facile au moyen des équations (K) , e\ avec les données que nous avons. sur les élément du système du monde , de déterminer d'une manière approchée là position de Ce «plan. En prenant pour plan Gx.e celui de l'écliptique au commencement de l'année 1 75o , et la ligne des équinoxes pour la droite à partir de laquelle on compte les longitudes , on a trouvé ainsi , pour l'époque de 1 750 ,

ns=ioa«57'3o^'.

£d substituant ensuite dans les équations (K) pour e, ^, A, e' , ^', à', etc. , les valeurs que ces quantités auront en i gSo , on a trouvé pour cette époque f

* = i«35'5i", n = io2«57'i5".

Ces valeurs diffèrent très pen des précédeotes ^ et ce résultat peut servir de vérification aux formules (K) et auK données employées pour les convertir en nombres.

Un géomètre distingué a fait dans ces derniers temps , sur latbéoriedu plan invariable^ quelques observations d'où il semble résulter qu'elle n'est pas complète et que sa détermination, telle qu'elle résulte des formules précédentes, n'est pas suffisamment exacte. Il liii paraît évi^ dent que pour fixer la détermination de ce plan, on doit avoir égard aux aires engendrées par la rotation du Soleil et des planètes autour de leurs centres de gravité. La remarque est de toute justesse si l'on considère en génériftl le mouvement d'un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles ; mai^ on va voir que la constitution du système solaii^ autorise e t j ustifie l'omission qûê liôus i^us sommes permise de ces quantités.

1^. Nous remarquerons d'abord que c-est un fait confirmé par toutes Ics^^bsei^vations, que Jorsqu'il stades mouvemens des- centres de gravité des corps eél^N^les grandes distances qui les réparent ne laissent sub^!^^r que les effets résultant des actions prin*cipales cpi^ils c>^çcefit les uns sur les autres, et £cMt disparaître l'influei^xdes causes ^condàired, telles que la loi de leur deBS^^>4cur forme , le$ fluides qni

les recouvrent, etc. La figure presque sphérique des corps célestes contribue encore à Texactitude de ce résultat, qui. forme l'un des principaux avantages qu'ofiFre aux géomètres la constitution du système du monde» On peut donc, lorsqu'on n'a en vue que de déterminer les mouveméns généraux des planètes et des comètes y considérer le système solaire comme un assemblage de points matériels réagissjmt les uns sur les autres , et le plan invariable, tel que nous l'a-* vous défini jusqu'ici, est celui qui existerait dans un pareil système. Ce plan ne coïncide pas exactement, il est vrai, avec celui qui a lieu dans la nature , où les corps célestes ne sont ni homogènes ni parfaitement spfaériques, mais il n'en diffère ^ns doute que très peu , puisque les quantités négligées dans sa détermination ont paru jusqu'ici insensibles.

2^. Dans tout système de corps de formes quelconques , et soumis à leurs attractions réciproques , il existe un plan im^ariable, et ce plan est unique^ si l'on entend dans up sens absolu le mot ins^ariable. Mais le plan invariable n'existe pas de fait dans la nature , c'est une abstraction mathématique qui résulta des lois générales du inouveraent; il suffit donc aux besoins de l'Astronomie, de connaître un plan dont on soit toujours certain de retrouver la position à telle époque qu'on voudra. £p ce sens, il peut exister plusieurs plans invariables, selon qu'on négligera ou qu'on aura> égard aux dimepsions et à la nature des diiSerens corps du système ou de quelqu'un d'entre eux. Il suffira, pour les déterminer, d'évaluer les quantités qui servent à fixer leur position dans la

même hypothèse aux divei'ses époques, qu'on voudra considérer, Ain^i donc les équations (K) ne doivent être regardées que cooime une relation qui existe entre lesélémensdes orbites qu^èlles renferment, semblables à celles qui ont lieu entre les excentricités et les inclinaisons, et qui se vérifiera toutes les fois que ces élémens seront calculés c^n faisant abstraction des quantités que nous y avons négligées.

3°. D'après cela, et comine l'a fort justement observé M. Poisson, on ne voit pas quel serait l'avantage de faire entrer dans la théorie du plan invariable la cottsidéraliondela rotation du Soleil, ce qui obligerait à avoir légard aussi à la densité de^cet asti'e dont lalpi nous est totalement inconnue , et ce qui rendrait par conséquent la détermination rigoureuse de ce plan absolument impossible. Sa position au contraire, telle qu'elle résulte de la théorie précédente, ne dépendant que des rapports des niasses des planètes, et d'autres données fournies par l'observation, sera toujoursfacile à retrouver ^ et l'on pourm juger àin$i des changemeqS' réels survenus daûs les positions des orbes, et des équateurs planétaires, ce qui rend la découverte du plan dont il s'agit si précieuse a^ic astror nomes.

46o THÉORIE ANALYTIQUE

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