CHAPITRE IX

J^ariations périodiques des élémens des orbites,

planétaires.

80. Nous avons vu, n° 4^, qu'en vertu de leurs attractions mutuelles ^ le mouvement des planètes était soumis à deux espèces de perturbations distinctes. Les premières , dont l'accroissementest très lent, ne se rendent jsensibles à l'observateur qu'après un grand nombre de siècles ; elles affectent immédiatement et d'une manière continue les dimensions et les positions des orbites; les {secondes, plus rapides dans leur marche, sont simplement périodiques, et ne dépendient que du lieu qu'occupent dans l'espace lés différens corps du système solaire. Nous venons de donner la théorie complète de celles de ces inégalités dont le calcul est le plus important et le plus difficile; il nous reste à nous occuper des inégalités de la seconde espèce, qu'on a nommées, pour les distinguer des précédentes > inégalités périodiques.

Nous supposerons, comme nous l'avons fait jusqu'ici , que la planète troublée se meut dans une ellipse dont les élémens sont variables , et en tenant cotopte des termes que nous avons rejetés pour déterminer les variations séculaires des élémens de son

DU SYSTÈME DU MONDE. 4&i

orbite 9 nous arriverons de la manière la plus simple à la détermination de leurs variations totales. En in-^ troduisant ensuite les élémen:^ ainsi corrigés dans les formules du mouvement elliptique^ il nous sera Sicile de déterminer pour chaque instant le lieu de la planète par les méthodes ordinaires.

Nous ferons observer , toutefois , que, comme les inégalités périodiques demeurent toujours très pé* titesy et n'ont pour ainsi dire qu'un effet passager et altematify.il est peu important , pour les besoins de l'Astronomie, de connaître en particulier les altéra-^ tions qui en résultent dans chacun des élémens de l'orbite ; il suffit d'avoir l'effet total de ces variations sur le lieu de la planète, ce qui peut se faire par l'intégration directe des équations différentielles du mouvement troublé. On détermine immédiatement en effet, parce moyen, les inégalités périodiques des trois variables qui fixent à chaque instant la position de la planète: on peut donc, en regardant l'orbite comme constante par rapport aux variations périodiques , traiter ces inégalités comme de simples corrections à faire aux valeurs de ces coordonnées cal*culées dans l'orbite elliptique corrigée des variations séculaires. Mais cette méthode a l'inconvénient d'introduire dans les formules des termes qui renferment le temps hors des signes sinus et cosiruis; on est obligé d'employer ensuite des réductions particulières pour le faire disparaître , et l'on n'en déduit d^ailleurs que d'une manière indirecte les variations séculaires. Celle que nous avons adoptée, au contraii^, présente dans une même analyse, et sous un même

point de vue, toutes les inégalités des mouvemens des planètes, et peut-être,' à tout prendre, a-t-elle aussi le mérite de la simplicité ; car rien n'est plus aisé, lorsqu'on a déterminé la partie périodique de la variation des élémens, qile d'en conclure les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude. On verra d'ailleurs que cette méthode estla meilleure qu'on puisse suivre lorsque, dans la détermination des inégalités périodiques, on veut avoir égard aux termes .dépendans du carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.

Si.Les formules du n* 4^ nous ont donné, en cotisidérant seulement la partie non périodique du développement de R , les variations séculaires des élémens de l'orbite de m; les mêmes formules serviront à déterminer les variations périodiques de ces élémens , en ayant égard , dans le développement de K, à la partie périodique que nous avions rejetée d'abord. Reprenons donc l'expression de R du n® 48 ; si à la place dé u, u\ v, v\ on substitue leurs valeurs données n* 53, et qu'on réduise l'expression résultante, en observant qu'on a généralement

on trouvera, en ne portant l'approximation que jusqu'aux carrés des excentricités et des inclinaisons , et en rejetant les termes dépendant des inclinaisons dont nous nous occuperons pins tard ,

l =:^.A<'>.cos.i(n't—nt-ti''^i)

-i- —M^'^.e' . cos . [i(n'<— ni+g'— 6)+n<4-€— a»']

— . N^*^^ ee' .COS. [/(/ï7-/i^-+-€'-5)-4-<îy-A)']

étant susceptible de toutes les valeurs entières poitives et négatives , en y comprenant zéro , et en kyant soin seulement de rejeter , dans ce dernier cas y es termes tout constans.

Nous supposons^ pour abréger dans cette, expression ,

MW=-«'.(î^^)-|-a. (i- 1). AC'-O,

N(.>=l.Q(4^-5).ACO+..(./-0.a.(^)+«'.(^-)].

I I— a/AC-Ov

WCO ss-ij 4.(i-i)«.AC'-04.2.(i-i ) .a/-!^2J-)