G4 THÉORIE ANALYTIQUE

H«= ■.[(^).(4;-3).AC")-,.C.«K.(^)+a'.(!?^t:')] .

NCi) = i r4.(£i)..AO-0-2.(j-,),a.(^^^^

Le nombre i doit être supposé positif et plus grand que zéro dans ces trois dernières expressions , le cas de / = G ne donnant dans R que des termes non périodiques. Nous désignerons par N^"^^ ce que devient N^*^ lorsqu'on y change i en — t j il est aisé de voir qu'on a alors N^-5^= N^4\

Il est commode , pour les applications numériques, de n'avoir dans les formules que les différences relatives à Pune ou à l'autre des deux quantités a et ' a\ On trouve alors, par le n** 62 , en transformant les différences relatives à é/ eh différences relatives à a,

KW=i.Q4?-,;+,).A"-)+a.(î,-0^(-3— )+.-.(-__)J,

-5Î Ton substitue dans les formules des n^' 4^ ^^ 43^ à la place de R sa valeur ^ on aura^ parla simple difTërentiation de chacun de ses ternies, les termes correspondans des variations difTërentielles des ëlémens de l'orbite de m, et Ton en conclura ensuite par l'intégration leurs valeurs finies. On trouve, de cette manière, en bornant les approximations aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons,

, Pour la variation du demi grand axe

V!a=— m'a*. -7 . A^O . cos . «(/i'/— nt + /— 1)

— m'aV , tr^~ V '.^ . MC*»> . cos . lUn' t-^nt+t'^) + nt+ 1-«»] r-m'a*e'. , (^0-^ .MCO.cos. [iV^-ni+i -f)+w*+ 1-«»'] ;

Pour la variation du mouvement moyen

/Ç=-. m'a. 17-7 — r..A^').sin.f(/iVn<+i'-i)

On peut remarquer ici que la double intégration d'où résulte la valeur de t donne pour diviseur à chaque terme du wveloppement de R, le carré du coefficient qui multiplie le temps t sous les signes si-nus ou cosinus j ce qui rend ce terme très grand , lorsque ce coefficient est fort petit. Cette observation importante est,, comme nous le verrons, celle qui conduisit Laplace à la découverte de la cause des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. Tome I. 5o

On trouve de même , pour la variation de Texcen* tricité ,

I Tl

+ 7 . mae . > . A^O . cos . i(/i i-^nt^j- •'— i) 4 y* ""1

+ m'a e . t;-? — r-r- — .NC°).cos.[i(/i'i-»^+^ -O+aw^+ai-a*] + - .ma e.T}4—y* NC*> . cos . [i(^n' t-nt+t'-^ym+^tj,

Pour la variation de l'ëpoque ,

^=t — wa.TT-T — r.a.l — i — l.sm.w» *-n<+f -tj *(w-7j) \ da / ' '

I lï

+ 7.w»'a «.TT-T — r-^ — .M^*^ . sîn . [itnt-nt + •'-<) +»*+«-•]

— w» aV . ^. / x^^.-^- . sm. liÇn t-^nt+ê -•)4•7^^^-l-«^ ] ;

Pour la variation de la longitude du périhélie ,

4- m'a* • Y"7~vr — • ^^**^ • ^^^ • [«Xw''*-»*+t'-t)+2»H-2«-î»*]

+ w»'a c . TT-T — V . N^^^ . sîn . i(nt' nt+%'^t) *(ii-n) ^ ' '

+i . m'a e' . tz^z . N^^) . sin . [»(n'/-/2/+/-0-*+«'' J.

DU SÏSTÈME Du MONDE. 467

Enfin , la troisième formule du n^ ^5 donnera , pour la variation du demi-paramètre k,

tri i

— — ,e. 77-7 — r-ï — .M^"5.cos.[i(7i'/-/i/+f'-f)+7i^+t-«]

.e\ -zri — r-; — . M^O.cos. [i(/i'^-n*+i'-e) -{-«*+ «-•'].

Il nous reste à déterminer les variations des quantités p et q. Nous avons trouvé , n" 53 , z^^i-^^px^qy^ ; si Ton suppose donc la fonction R développée par rapport az, on aura

dK /rfR\ dz^ /dR

dp \dz/ dp

dK /dR\ dz /û^\

dq ^\dij'd^— ^*\dzr

Prenons pour plan des xj le plan de Forbite de m à une époque déterminée; l'inclinaison de son orbite mobile sur ce plan fixe , ainsi que l'ordonnée z , seront de Tordre des forces perturbatrices : on

dVi

pourra donc supposer 2=0 dans la difierence -r- $

puisqu'on néglige le carré de ces forces» L'expression de R du n® 4^ donne de cette manière ,

^===^'~îîî^\2.BC0,COS.i(ll'«— /l«+6'~6),

la valeur de i s'étendant à tous les nombres positifs et négatifs, depuis /= i jusqu'à l'infini.

Nommons y la tangente de l'inclinaison . de l'or-

bite de ni sar le plan fixe ^ Il la longitude de son nœud ascendant, et désignons, comme dans le n* 53, par r'/ la projection du rayon vecteur de nJ sur ce même plan, et par c^', la longitude de r', comptée à partir d une ligne fixe : on aura

z' = /, . j/ . sin {y\ — FI).

Substituons pour r'/Ct v\ leurs valeurs. numéro cité, et négligeons les produits des excentricités par les inclinaisons, nous aurons

z'zsza! .y . sin {n't + €' — II) j et la valeur de ^ deviendra par conséquent

-T- =r — -7j . <y . SIQ . (/l ^ + I — n)

+ — .a'.2.BC'-0.y. 8În. [/(n'/— 7i*+ •'— •) +n/4.«— n].

la valeur de i devant s'étendre ici , comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres positifs et négatifs , la seule valeur i == o exceptée.

Si dans les formules (g) et ( i o) du n* 44 ^^ substitue pour -g- et ^ leurs valeurs ainsi déterminées, et que Ton néglige le produit des excentricités par les inclinaisons, ce qui permet de supposer a:= a . cos(«/+fi) , 7=11 . sîn(/z/ +€) dans ces valeurs, CD aura , pour la variation de p ,

ou SYSTÈME DO MONDE. 469

*(»—») + ai» ^ ' . •* J '

et pour la variation de q ,

+^7-7 ri •cos,[i(n!t — nt-\'t — f)+2/if+2f — II] y.

Un — n)+2/» )

82. Nous n'avons pas ajouté de constantes aux valeurs de J^a, J^e, J^ûû, J^e, J^p, ^Ty, parce que leur considération était inutile à l'objet que nous nous proposons , et que Ton peut d'ailleurs les supposer comprises dans les valeurs des élémens a, e, a>, e, p, q du mouvement elliptique , qui deviendront ainsi ,

«+«/^ ^+^tf û)+û>^, 6-|-€^, P+p,, (f + qj;en représentant par a^, e^, co^, e^, p^, q^ de très petites quantités de l'ordre des forces perturbatrices. Les élémens de l'orbite troublée seront donc

. . ^-r^'^t'^J'^f p + p, + ^Pf q^q,-\riq^

Comme a)^ e^y etc., aîûsi que S^a^ cT^, etc., sont de Tordre m', on pourra substituer dans ces dernières quantités n-f-^^, e+e^^ etc., à la place de et, «, etc.j elles deviendront par conséquent des fonctions du temps et desf six constantes ^-f-^^, e+e^, etc. Le« Tome I. *

4;o THÉORIE ANALYriQUE

formules du mouvement troublé ne contiendront donc en définitive , comme celles du mouvement elliptique, que six constantes arbitraires , et par là disparaîtra ce que pouvait avoir d'étrange l'introduction des six nouvelles constantes ^y» ^^^ c^fy t^^p^^q^y dans une question qui , par sa nature , n'en comportait que six.

Quant à la détermination de ces arbitraires , elle se fera très simplement de la manière suivante : supposons que l'on veuille connaître les perturbations que subit la planète m pendant un intervalle de temps donné ; on déterminera les constantes a y e^ etc. , d'après sa position y sa vitesse et sa direction à l'instant que Ton a choisi pour époque y et les constantes a^ , e^ y etc. , par les équations

o^ 4- cTû =2 o , ^, -f- cTa ==» o , etc. ,

dans lesquelles on substituera pour J^a, cTe, etc. ^ leurs valeurs relatives au même instant.

Jj'effet des forces perturbatrices, pendant la période quel ^on considère sur chacun des élémens elliptiques, sera alors exprimé, tout entier, par les quantités a^^^^J^ay e -f- cTe, etc., qui ne contiendront plus rien d'arbitraire. Ce procédé est le même, comme bous le verrons, que celui que l'on suit dans la théorie des comètes, où l'on est forcé de calculer par des quadratures les variations que subit chaque élément de l'orbite pendant l'intervalle de t^mps-qui s'écoule eatre deux retours successifs de Tastre à son périhélie.

En réunissant les valeurs de J'ay J^Ç, cTe, cTc^cT^», J'p^ Sq déterminées par les formules précédentes , à

celles qui dérivent des équations différentielles (i i), iï*4Qf et que nous avons considérées avec étendue dans le chapitre précédent, on aura les deux parties dont se composent les variations des élémens de l'orbite elliptique, résultant de l'action des forces perturbatrices; Tune de ces parties dépendant', n* 4?» ^^ ^^ configuration mutuelle des corps m, m', etc., et l'autre indépendante de cette configuration.

Variations périodiques de rayon vecteur ^ de la longitude et de la latitude.

85. La position d'une planète dans l'espace est fixée lorsqu'on connaît son rayon vecteur projeté sur uu plan fixe , sa longitude vraie ou l'angle que fait la projection de ce rayon avec une ligne fixe,, et sa latitude, ou l'angle que forme le rayon vecteur de l'orbite vraie avec celui de l'orbite projetée. C'est donc à la détermination de ces trois élémens que doivent finalement aboutir toutes les recherches qui ont pour objet les mouvemens de translation des corps célestes^ Nous avons donné dans le n® 24 les expressions du rayon vecteur, de la longitude vraie , et de latitude dans l'orbite elliptique ,. en séries pro-^ cédant suivant les puissances ascendantes des excen-^ tricités et des inclinaisons; il nous suffira donc de substituer à la place des élémens elliptiques dans ces^ formules, ces élémens corrigés au moyen de leurs variations périodiques et séculaires que nous venons de déterminer, pour avoir la vraie valeur du rayon, vecteur, de la longitude et de la latitude dans l'orbite

troublée. Or, on voit par les formules, du n*^ 25 que la valeur du rajon vecteur et de la longitude dans l'orbite projetée, ne diflere de celle du rayon vecteur et de la longitude dans Forbite vraie, qu'aux quantités près du second ordre relativement aux inclinaisons, quantités très petites qui ne produisent que des variations insensibles, lorsqu'on prend, comme nous le ferons, pour plan fixe, celui de l'orbite de la planète à une époque donnée. Il en est de même des termes de l'expression de la latitude qui sont de Tordre du produit des excentricités par les inclinaisons. Il résulte de ces observations que , dans la recherche des variations du rayon vecteur et de la longitude , on pourra faire abstraction des inclinaisons des orbites, et dans celle des variations de la latitude faire abstraction de leurs excentricités, ou, ce qui revient au même , regarder dans le premier cas les orbites comme étant toutes dans le même plan , et dans le second^ les regarder comme circulaires , ce qui facilitera le cal-* cul de leurs perturbations.

Reprenons les valeurs du rayon vecteur et de la longitude développées dans le n^ 25 ; on a généra-^lenient par ces formules

r2=fonc. (flf, Ç, e, i, co), i^=fonc. (Ç", e, e, cû)^

Si à la place de a, Ç, e, €, û» on substitue dans ces équations, leurs valeurs corrigées , H'+'J'a, Ç+ J^Ç , e-j-cTe, e-^ J'e, a-^J'cêfeu désignant par la caractéristique <r les variations périodiques dépendantes de la première puissance des masses, on aura, en ne considérant que. les termes de cet ordre.

Pour la variation du rayon vecteur,

Pour la variation de la longitude^

Il ne s'agira plus maintenant que de substituer dans ces deux expressions, à la place des variations ^a, J'Ç, J'e, cTfi et J^cû, leurs valeurs développées précédemment, pour avoir celles du rayon vecteur et de la longitude vraie , exactes aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Mais, au lieu d'effectuer ces substitutions dans l'ex* pression de J^(^, il sera plus commode de faire dépendre la détermination des inégalités de la longitude de celles du rayon vecteur, au moyen de l'équation (h) n° 20, que nous avons déjà employée dans un cas analogue n' 24. En effet, cette équation donne pour le cas de l'ellipse invariable

Cette équation étant une différentielle du premier

ordre, a encore lieu dans l'ellipse troublée, et ne

doit pas changer de forme lorsque les élémens de

^ Forbite varient ; on aura donc en la différenciant par

rapport à la caractéristique cT

, . I . /i-e* ^a j la e^e , . /— ; r ^ »

i'où Ton tire , en intégrant et négligeant le carré des forces perturbatrices,

J'if=z~.jJ'a.di^ ZTIî'/^^'^^ — ^ . / — .rfp. (a)

On peut donner à cette équation une forme plus simple encore. En effet, k étant le demi-paramètre de

l'orbite, on a A: = v/« . ( i — e*)> d'où en différenciant on tire

-r-=— .cTa ^.(Pe.

On aura donc ainsi

formule très commode qui donnera immédiatement les perturbations de la planète en longitude lorsque celles du rayon vecteur seront connues.

84- Occupons-nous donc uniquement de déterminer la valeur de JV. Nous avons trouvé n* 2^, en négligeant les cubes et les puissances supérieures des excentricités,

r=:a.| ï4 — .«* — e.cos(nt'\'t — •) .«',cos2(n/ + f — •) •

En différenciant par rapport à la caractéristique cT cette valeur , on aura

— 3tf^a.co8(«^4- «— •) + 2aef'e'\'ae, (J^^-f- J^i).sin («/+ « — •)• 1

Si dans cette expression on substitue, pour J^a, cTe, eS'cù, cTÇ et cTfi leurs valeurs, et qu'on n'ait égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités, on trouvera

DU SrSTÈME DU MONDE. 477

'85. Déterminons maintenant en particulier les termes des valeurs de Sret de J'^ qui naissent de la supposition de i^=o. Reprenons l'e'quation (a), et ne consi^ dérons d'abord que la partie non périodique de son second membre. Si Ton fait /=o dans la valeur de la fonction R n* 81 , en ayant soin de rejeteir, comme nous lavons dit, la partie constante de cette valeur, on verra aisément que la seule partie semblable qui

en résulte dans J^r est celle-ci : — ^^("T^ )• ^^ constante jointe à la valeur de l'intégrale J^a introduira un nouveau terme constant dans cette même expression , en déterminant cette arbitraire d'après les principes du n'82; et supposant, afin de fixer les idées, que pour l'époque où commence le temps, c'est-à-dire pour l'origine de la période pour laquelle on veut calculer les perturbations causées par m' sur le mouvement de J71, on choisisse l'instant d'une conjonction de ces deux planètes, ce qui donne alors^

nft'^^nt'^ê' — € = 0, on trouvera

le signe intégrale 2 s'étendant à toutes les valeurs positives de i depuis i= i jusqu'à ^ == 00.

On aura donc> en vertu des deux termes précédens^

a \ aa / n — n

Si l'on substitue cette valeur et celle de S'a dans Té-

quatîon (a) ^ on en tire

En joignant à ces valeurs les parties non périodiques de ret de i^, relatives au mouvement elliptique, on aura pour la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude dans l'orbite troublée,

,.^^r=:a — am'a' .-7-— .2.AC0 + -. luV . (-j— )» ]