M + OT

si l'on substitue dans cette équation /i + n^ — n et fl-f-^y — ^ à la place de w^, et de a^^ en négligeant les carrés des quantités très petites n^ — n et a^ — a^ on en conclura

:2/i. («, — ») = — -^.(û^ — ^ï); d'où en substituant pour n^ sa valeur ^ on tire

^ Les deux équations (o) deviendront donc, en obser- ■ vant qu'on peut remplacer a par a^ dans les ternies multipliés par m' ,

Ces valeurs de la distance et de la longitude moyenne dans Torbite troublée ne sont qu une transformation de celles que donnent les équations (o) ; mais l'introduction des constantes a^ et n^, à la place des constantes a et n, fait que la partie cTt^ de la longitude vraie ne contient plus aucun terme proportionnel au temps , en sorte que le moyen mouvement de la planète troublée est contenu tout entier dans la partie i^ de cette longitude, ce qui est un avantage.

Pour déterminer les termes de la valeur de J^r qui dépendent de la première puissance des excentricités,

48o THÉORIE ANALYTIQUE

et qui résultent de l'hypothèse i=o, il suffira de calculer les valeurs correspondantes de Ja, J^c, etc., avant de les substituer dans l'équation (a); en se conformant à ce que nous avons dit n*^ Si, on trouvera ainsi

et VéquatioD (a') donnera pour la partie correspondante de S'v

^,.= -.a.. [3«. (^^j + -.«•. (^-5^ jj . s.n .(«*+. —)

En réunissant les différentes parties des valeurs de i^r et de S^ que nous venons de déterminer, et faisant pour abréger

on aura enfin, pour la variation du rayon vecteur

— m ,ef,cosi, {nt + t — •) — m'.ef^cos, (nt+ t — O^ (^) -f ///.tf .S.DCO. cos . [/(/i'^— 71^4- f'— 0 + 'î^ + « — •'D' + //*'./.2:.EC0.cos,[*(TO'/—n/+/—i) + 71^ +! — •'].

et pour la variation de la longitude

;v=: — .s. FW.sin. »•(«'<— ii*+.'--0

+ ^m\ef.am.{nt+ 1— #) + ^.e'f.Bin.int^» — m)\ (B)

+ TOV.S.HC0,8in.[*V^— 71*4. 1'— 1) + nt^ i — •']. J

Les formules (A) et (B) serviront à déterminer les inégalités périodiques d'une planète quelconque m troublée par l'action d'une autre planète /w'; chaque planète perturbatrice introduira dans ces deux formules des termes semblables aux précédens^ et la scimme de tous ces termes exprimera Teffet total des perturbations.

Si l'on veut que $s^ et $r expriment les effets produits par la force perturbatrice pendant un temps donné sur la longitude et le rayon vecteur de la pla- ' nète troublée , on déterminera les constantes arbitraires qui doivent servir à compléter les valeurs de JV , JVe) , cTê et que nous désignerons par e^ , û) , g , de manière à ce qu'on ait

en même temps que ^ = o. C'est ce que nous avons déjà pratiqué à l'égard de la constante jointe à l'intégrale S'a.

On substituera ensuite ces quantités à la place dé Se y cTo), S^y dans l'équation fa), et les valeurs qui en résulteront serviront à compléter celles de Sr et de Ss^ f qui ne contiendront plus rien d'arbitraire et qui exprimeront alors les augmentations totales de la Tome I. 3i

48a THÉORIE ANALYTIQUE

longitude et de la distance au S^eil r&ultant de l'action des forces perturbatrices.

En ajoutant ensuite les valeurs de St et de cTp à celles du rayon vecteur (r) et de la longitude (p), calculées dans l'orbite elliptique , corrigée au moyen des variations séculaires de ses élémens^ on aura les valeurs totales du rayon vecteur de la planète et de son mouvement en longitude. On trouvera ainsi ^

86. Il iiOi^ps reste à déterminer les perturbations dumouvement en latitude. Nommons s la tangente de la latitude de m au-dessus du plan fixe des xjr , nous auf'pns zz=zr,Sf en désignant par r, la projection du rayon vect^^r de m sur le même plau : on tirera de là

et l'équation z :s:qjr^^ px donne pour déterminer J'z

^z=jr.J^q — X.J^p^q.jy — p.^x.

Supposons^ comme nous l'avons fait jusqulci^ que l'on prenne pour plan fixe celui de l'orbite de 772 à une époque doiinée; l'ordonnée z et les quantité p et q seront de Tordre des forces perturbatrices; en négligeant donc le carré de ces forces , les deux équations précédantes donneront

J^5 = -r, .J^zsssjr.S'q — 'X.J'p, Les cQorôfiX^nées X etjrse rapportent au mouvement

elliptique; on pent donc substituer à leur place leurs valeurs ^=r^,cos f etj^ssr^.sinc'j et si l'on néglige^ comme nous le ferons^ le produit des excentricités par les inclinaisons^ il suffira de faire ;r=:a«cos(n£-}*^} et j^=fl. sîn (nt-^ê) ; on aura ainsi

— szscT^, sin(/zi + 6 — cû) — <Pp.cos(nt+s -^ùi). '

Si pour J^ et J^q on aabstitue leurs valeurs données! -D? 8i, on trouvera .

y désignant la tangente de rinclinaisou de l'orbite de xnf sur l'orbite primitive de /w , Il la longitude de son nœud ascendant comptée sur ce plan , et i désignant un nombre entier quelconque positif: pu négatif^ la seule valeur /= o étant exceptée.

Si l'on réduit cette expression, et que l'on observe qu'en négligeant les produits des excentricités par les inclinaisons on a cTz = aJ's j on en tirera

71* — nr a

Supposons qu'au lieu de prendre pour plan fixe celui de l'orbite primitive de m ^ on rapporte son mouvement à un plan très peu incliné au plan de

On peut donner à cette e'quation une forme plus ^F simple encore. En effet, k étant le demi-paramètre de ^

l'orbite, on a A: = ^a , ( i — e*), d'où en différenciant h on tire i

On aura donc ainsi y

formule très commode qui donnera immédiatement les perturbations de la planète en longitude lorsque celles du rayon vecteur seront connues.

84- Occupons-nous donc uniquement de déterminer la valeur de JV. Nous avons trouvé n* ^/^^ en négligeant les cubes et les puissances supérieures des excentri- | ^ cités,

r=:a.| ï4 — .«* — e.cos{nt'\'i — •) .«•.cos2(n^ + i — ^ê) •

En différenciant par rapport à la caractéristique cT cette valeur , on aura

— 3^<^a.co8 («^4- 1 — •) + 2acA?-f-ae. (J^^+ i%). sin (w/+ • — «r), p"*^

Si dans cette expression on substitue, pour cTa, cTe, ecT», cTÇ et cTg leurs valeurs, et qu'on n'ait égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités, on trouvera

DU ststèUe du mondé. 48j

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