CHAPITRE X
Inégalités périodiques du rayon <Decteur^ de Id longitude et de la latitude dépendantes des puis-^ sances supérieures des excentricités et des incU-^ naisons.
88. Qaoique la méthode que nous ayons suivie jusqu'ici dans la théorie des perturbations planétaires , et qui consiste à regarder Torbite troublée comitte une ellipse dont les élémens varient à chaque instant; soit extrêmement ingénieuse , et semble résulter naturellement des phénomènes observés , on ne peut disconvenir cependant que, lorsqu'on se proposé simplement de déterminer les inégalités périodique^ qui résultent dans le mouvement des pianotes de leurs actions mutuelles, il ne soit plus expédîtîf de les déduire directement des équations différentielles du mouvement troublé. Les variartions des trois coordonnées , d'où dépend à chaque instant la position de la planète , sont alors données immédiatement sous leur forme la plus simple , sans qu'on soit obligé de recourir aux réductions pénibles qu'exigent les autres métbodes , et il ne reste |ius^
qu'à appliquer ces corrections au rayon vecteur, à la longitude et à la latitude calculés dans l'orbite elliptique. Comme ce procédé est très en usage parmi les géomètres, et qu'il peut être utile dans beaucoup d'occasions , nous allons en développer ici les formules.
Désignons par r, v^ s les trois coordonnées qui déterminent dans l'orbite elliptique la position de la planète m , c'est-à-dire son rayon vecteur , sa longitude et gâ latitude, et par r-^S'r^ v^S'i^ ^ s^^^S's ce que deviennent ces trois quantités en vertu des perturbations qu'éprouve cet astre dans son mouve-* ment autour du Soleil. Nous avons trouvé , par une première approximation , les valeurs du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, en faisant abstraction des forces perturbatrices; dans une se-< conde approximation , nous apurons simplement égard aux termes du premier ordre, par rapport à ces forces, et nous négligerons tous les autres. JV, S^v, . i^s seront alors de très petites quantités du même ordre, et ce sont ces quantités qu'il s'agit de déterminer.
8g. Reprenons pour cela les trois équations diffé* rentiellejs (A), n** 37,
dt^ ^ T^ ^
■" dz^
de^ f^ ^
dR
dR "" dx*
Si l'on multiplie ces équations, la première par
^dxy la seconde par ndjr , la troisième par 2dz, qu'on les ajoute ensuite^ et qu'on intègre leur somme ^ on trouve
a étant une constante arbitraire qui représente le demi grand axe de l'orbite dans le mouvement elliptique; et ^'R désignant^ comme précédemment, la différentielle de la fonction R, prise par rapport aux seules coordonnées de m , ou au temps introduit par la substitution de leurs valeurs, en sorte que l'on a
Si l'on ajoute les mêmes équations après avoir multiplié la première par x, la seconde par j", la troisième par z, on aura
dT- r ^^ r. \^-jj. [2)
En observant qu'aux quantités près du second ordre , par rapport aux inclinaisons, on a
trîces, ce
* dx ~*^ ' dy t * ^'
490 THÎÈORIE ANALYTIQUE
Si l'on ajoute entre elles les équations (i) et {2) , en
observant que l'on a
xd^x '^yd^J + 2^*2 + dx^ + dy^ + d^ =id.{xda:+jr(fy + zdz)=:^:d^.r^^
on trouve
'di'
Si Faii désigne par ^p l'angle compris entre les deux sbéImis vecteurs consécutifs r et r^ dr, on aura ^•+^*+rfz* = r*c?(^*-|-rfr*^ et par conséquent ,
rp
z=,rd^r — T^ds^^. Y
L'équation (2) peut donc prendre cette forme
d'où l'on tire
dp
Si l'on suppose nuls les seconds membres des équations (5) et (4)i on aura les valeurs du rayon vecteur et de la longitude qui se rapportent au mouvement elliptique j en y substituant doncr+cfr et p + cTi' à la place de r et c> , et en effaçant la partie relative à ce mouvement qui serait nulle d'elle-même , d'après l'hypothèse , la partie restante servira à déterminer les valeurs de cTr et de J^p. Nous ne nous occuperons ici , conime nous l'avons dit ^ que des inéga-
et m
lités du premier ordre , par rapport aux ' masses perturbatrices; en effectuant donc la substitution prÀ:édente et négligeant les puissances de ^r et de I cTi^ supérieures à la première, ce qui revient à différencier , par rapport à la caractéristique S" , les équations (3) et (4)^ on aura les deux formules suivantes :
.d.U r.d^'.if—d^r.h' , Sfù.r^r , /dà\
La première déterminera la variation du rayon
vecteur r, et la seconde donnera celle de l'angle i^,
^lorsque J^r sera connu • On peut faire prendre à cette
dernière équation une forme plus simple. En effet, si
l'on élimine à l'aide de la -première la quantité -3- ^
et qu'on remarque que par les formules du mouvement elliptique on a r^dv z=z \/fjLa.(i — e^).dt et /jL = a^n^f on trouve
dt V^i — «*
d'où, en intégrant, on tire
Nous avons nommé di^ l'angle- compris entre tleux positions consécutives du rayon vecteur r, cet
d.i'if
angle doit se compter par conséquent dans le plan incme de l'orbite troublée ; mais il tst aisé de ycàt qu'il ne difiere de sa projection sur le plan fixe des X, jr qu'aux quantités près du second ordre , par rapport aux inclinaisons; nous pouvons donc , puisque nous négligeons ces quantités^ le prendre pour cette projection même. L'angle ^ représentera alors la longitude de la planète m comptée sur le plan fixe ^ et réquation (6) donnera aisément ses perturbations^ , lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées, n nous reste à considérer les inégalités du mouvement en latitude. Supposons que l'on prenne pour plan fixe celui de Torbite primitive de m ^ et qu'on nomme J's la latitude au-dessus de ce plan résultante des perturbations ; on aura z = r(Ps, et en substituant cette valeur dans la troisième des équations (A) , elle donnera
Cette équation servira à déterminer J's : si l'on veut rapporter ensuite la position de la planète à un plan très peu incliné a celui de son orbite primitive, en joignant à la valeur de J's celle de la latitude de la planète dans le cas où elle ne quitterait pas le plan de sa première orbite , on aura, à très peu près, l'expression de sa latitude au-dessus de ce nouveau plan.
90. Il ne s'agit donc plus que d'intégrer les formules (5) et (7). Occupons-nous d abord de la première. On verra plus bas qu'en ordonnant l'équation (5) par
rapport aux puissances et aux produits des excentricités «t des inclinaisons , on peut toujours faire dépendre la détermination de la valeur de rS'r de l'int^ation d'équations de cette forme :
-^— 4- n^.ràr — P = o,
P représentant une fonction rationnelle et entière de sinus e t de cosi nus d angles proportionnels au temps t. Si Ton intègre cette équation linéaire paf les méthodes ordinaires^ on aura (Lacroix^ Êlémens de calcul différentiel ^ n** 282)
K^ • ^ • / * I sin nt ^nj, cosnt --,,,.
rat z=icsinnt+ c cos nt + .fraicos nt . jFdt sin nt^
c et d étant deux constantes arbitraires.
U suit de là que chacun des termes de P étant de la forme H . sin {mt + ^) 1 il en résultera , dans la valeur de rS'r , le terme suivant :
(mt^C).
m* — 71* cos
Si m:=zn, le terme Hsin(m/+ê) produira dans rj^r. 1°. le terme — 7-7 . (nt'4^€) qui se trouve
' ^n^ cos ^ • / ^
compris dans ceux qu'ajoutent à la valeur de rJV les constantes introduites par l'intégration^ et qui par conséquent peut être négligé ; a*, un terme de la
forme db — . *^^ (nt + C), le signe supérieur se rapportant au cas où le terme de l'expression de P est
nn sinus y et le signe inférieur^ au cas où ce terme est un cosinus. On voit ainsi conlment s'introduit dans la valeur de rS'r le temps t^ hors des signes sinus et cosinus , quoiqu'il ne se trouve pas sous cette forme dans réquation différentielle qui la détermine. La considération de ces termes, proportionnels au temps t , a d'abord embarrassé les géomètres ; mais ils ont bientôt reconnu qu'ils n'existaient pas réellement dans la valeur rigoureuse de rj^r, et qu'ils n'étaient que le développement en séries d'une certaine classe de sinus et de cosinus qui y sont contenus. Les termes de cette espèce, quelle que soit la lenteur avec laquelle ils croissent, rendraient à la longue fautive l'expression des variables qui déterminent la position des planètes ; aussi a-t-on cherché ' à les faire disparaître, et Ton a imaginé pour y parvenir plusieurs moyens ingénieux, qui conduisent par une voie nouvelle à la détermination des variations séculaires des élémens de l'orbite elliptique* Gomme nous avons donné, dans le chapitre VIII ^ la théorie complète de ces inégalités , nous n'y reviendrons pas ici , et nous ferons abstraction , dans l'expression de rS'r^ de l'espèce de termes dont nous venons de parler, ce qui revient à supposer que, conformément aux usages astronomiques, les élémens de l'orbite elliptique qu'elle renferme, sont déjà corrigés de leurs variations séculaires.
L'équation (7) étant absolument de même forme que l'équation (5), ce que nous venons de dire relativement au tayon vecteur s'applique identiquement à la valeur de la latitude.
91, Cela posé, déterminons les variations du rayon vepteur, de la longitude et de la latitude de cw, en portant l'approximatiou comme nous l'avons fait n°' 84 et 86 , jusqu'aux termes de l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons. Reprenons d'abord l'équation (5) ,
d\rfy de
+ !^-V-<fR-r.(f) = o.
D'après les formules du mouvement elliptique ^ on a
A = »* , r = a.[i — e?cos(/î/-f-6 — 0»)].
L'éqfoation précédente, au moyen de ces valeurs, devient
"^j— +/i' . r^+ 3a/i' .h-.e cos(/ïf4"« — ®) — 2/S'R — r/ -r- j = o. (8)
En ne poussant l'approximation que jusqu'aux termes du premier ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, on a, n"" 81 ,
R= — .2.A^'^.cos/(»'^ — w^ + g' — g)
i étant susceptible de toutes les valeurs positives et négatives y compris zéro. Pour avoir la valeur de /^^Ti, il faut différencier l'expression précédente.
par rapport knt , en y regardant nft comme constant^ et intégrer ensuite l'expression résultante. On a d'ailleurs^ en substituant dans R au lieu de r sa valeur
\ ar/ \aa/
D'après cela, on trouvera aisément
n/g étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale/^H.
Le signe intégral S doit s'étendre ici à toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de /, la valeur z=o exceptée, parce que nous avons fait sortir de dessous le signe 2 tous les termes , correspoadans à cette supposition, qu'il nous sera utile de considérer, d'après ce qui a été dit n*^ go. L'équation (8), en y substituant cette valeur et en faisant d'abord abstraction des termes qui dépendent des excentricités, deviendra
—r^+a^r^r'Um'g .a --, .2. ^^.ACO-f-a ~—
atr "2 da 2 \^ji^n da J.
X cos iir}!t — nt-^t—i) = o ,
et l'on satisfera à cette équation , en supposant
=:2m fl'^+--.a*— 7 f--- ^.S. r— rr; /r- .COSfli» /-nH-i -i).
Considérons maintenant dans la valeur de rSr les termes de Tordre des excentricités et des inclinaisons.
Si l'on substitue dans l'équation (8) pour a/ï''^+''\'T")» les termes de cette fonction qui sont du même ordre, et pour — sa valeur tirée de l'équation précédente j valeur que pour abréger nqus écrirons ainsi
on aura .; ^
Si I pour abréger^ on suppose
KCO;=L 5CC0— -£(ÎZ:i>-.aMCo)^fl*î
rfMC»)
i(/i — jh')—n da.'
et qu'on observe que a^n*:^: i , on verra aisément qu'on satisfait à cette équation en faisant
rJly^ 2 'l4-LC0/cos[i(i>"f— yi< + /-->t)^»f+t~#^J Tome I. Sa
11 faut maintenant^ d après la théorie des équations
linéaires, pour avoir la valeur complète de -^ joindre
aux différentes parties de cette valeur que nous venons de déterminer^ celle qui a lieu' lorsqu'on suppose nuls les trois derniers termes de Féquation (8); on à^^ daQS ce cd&> .
et Ton satisfait à cette 'équation , en supposant ^ . ^ rT^=^ w'.^. co§ (^l^+•« -^r^yi-fn./'e'. c<^ (jt^-if-â— a»') ^
yet y étant deux constantes arbitraires.
En réunissant donc toutes les parties de la valeur de
Wr
^,49tten remplaçantrparsa valeur ^i.[i-ecos(«^-j-6-ûi)],
on aura
' a» .rfAC'>
--=2/nûr^+-— .a*--i 1 — -—.S. , — — .cos;(/i /-/if-f i -e)
a ^ * 1 da 2 7i'-i*(7i -n)* ^ '. '
+m'.^.cos(7i/-H-iir)+m'./V.cos(iiiif-f-*')
Oh a, n" Si
Si * ■ . 1
Dû SYSTÈME DU MONDE. 499
d'où y en diflférenciant, onttria
^ ' da aar '
dct
a r^ — =: nua — -j:. H « — jT^
• cra oa aa
Si l'on substitue ces valeurs dans K^^ et U'^, et qu'en-
suite^ dans l'expression de -, on remplace O'^ K^'^.«
L^^ par les fonctions que ces lettres représentent, on
retrouvera identiquement la valeur de — à laquelle
nous^ sommes parvenus par une autre voie , n" 84 , ce qui peut servir à confirmer l'exactitude de ces ré-^ sultats.
Reprenons maintenant la valeur de ^v , n® 8g. Si l'on néglige les termes du second ordre , par rapport atlx excentricités et aux inclinaisons, et qii'on observe qtie nous supposons /jl = a^n* = ï , on aura
A l'aide de cette formule et des valeurs précédentes, on trouvera aisément
dk^^y
"v fv r g «a/ Twi — |.8in«f>7-wi
5oo THÉORIE ANALYTIQUE
Ea faisant , pour abréger, , .
/'= ^•'' -Sr+'^ 1^ + a^ — a/, /,— -.cA —-.a-jg «-^; a/,
et en désignant par G^^ et H^'^ les mêmes fonctions que ces lettres représentent dans le n® 85; le signe intégral Z devant d'ailleurs s'étendre dans cette expression j comme dans celle de —, à toutes les valeurs positives et négatives de i ^ la valeur de i=o exceptée.
92. Les équations qui déterminent J^r et JV renfierment quatre constantes arbitraires , savoir : les trois constantes g^ fj f\ et la constante qui devrait être ajoutée à la valeur de JV et que nous supposons, pour plus de simplicité , égale a zéro ; ces équations sont donc les intégrales complètes des équations différentielles (5). Nous allons nous occuper de la détermination des constantes arbitraires introduites par lintégratîon.
Si l'on ne considère que la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude , en joignant aux valeurs précédentes de cTr et de^c^, celles de r et de \f qui dépendent du mouvement elliptique de m, on aura
r-f- cTrss a + 2nia*g -|- \ m' .a? -t~ ,
DU SYSTÈME DU MOWDE. 5oi
p ^ /(; repi^sente la longitude moyenne de la planète au bout du temps I; elle resuite directement des observations. Si Ton veut donc , comme cela se pratique ordinairement, que cette longitude soit la même dans l'orbite elliptique de la planète et dans Tcrbite qu'elle décrit réellement , cette condition déterminera la constante g"; on aura ainsi
et il ea résultera
On voit que, dans l'hypothèse précédente , la distance moyenne de la planète au Soleil, dans l'orbite troublée, n'est plus représentée par « , comme dans l'orbite elliptique; cette dernière quantité se déduit toujours du moyen mouvement nt par Téquation -§ = «•,
mais il faut la diminuer de la quantité -^ . a* -^ —
pour avoir la distance moyenne.
95. Il est essentiel de prévenir ici une difficulté qui peut naître de ce que les astronomes et les géomètres ne définissent pas de la même manière le moyen mou-* uement d'une planète et de ce que ces mots sont employés souvent dans des acceptions diflférentes. Les premiers comprennent à la fois, dans le moyen mouvement , toute la partie de la longitude moyenne qui varie avec le temps, et les seconds, la partie seulement rie cette longitude qui dépend du grand axe de l'orbite* Il en résulte une différence essentielle: le moyen
!»02 TIIÉORIE ANALYTIQUE
mouvement ^ tel que le définissent les astronomes ^ n'est plus inyariaUe 9 sa yaleur peut changer dans les différons siècles à raison des termes^ proportiotinels au carré du temps , qui résultent de la variation sé-^ culaire de l'époque^ n° 75; tandis que le moyen mouvement des géomètres y qui se déduit du grand axe par la troisième loi de Kepler, est inaltérable ainsi que cet axe, conformément à ce que nous avons démontré n"" 61. Nous nous sommes donc conformé à l'usage adopté par les astronomes dans la détermination de la constante g , parce qu'il est en effet le plus commode dans la pratique , en ce que la valeur de la constante n se déduit alors immédiatement des observations, sans leur faire subir aucune correction; mais il est aisé de voir que Ton peut déterminer d'une manière quelconque la constante g sans que la position de la planète , telle qn^elle résultera des tables construites sur les forpules précédentes > en soit altérée. Supposons, par exemple, que l'on fasse gz=zo, on aura
r + crr = a^ + im'.û?--.— ,
et il sera facile , d'après les nouvelles valeurs de a^ et n^, qui résulteront de ces équations, de montrer, comme dans le n** 85 , qu'elles sont identiques avec les précédentes. La variation du grand axe de l'orbite se détermine , n* 45 , par la formule
DU SYSTÈME DU MONDE. 5o3
Ijâ consUnte ajoutée à l'intégrale fd'R étant supposée nulle , il s'ensuit que la valeur de tf^a ne se compose que de quantités périodiques , et que par conséquent , si Ton en fait abstraction , le grand axe de Forbite pourra être regardé comme inaltérable ; c*est d après cette hypothèse que nous avons démontré, dans le n^ 6i , l'invariabilité des grands axes des orbes planétaires.
94. Il nous reste maintenant k déterminer les constantesy^et y, ou, ce qui revient au même, les constantes yj el y^. Ce qu'il y a de plus simple à cet égard , c'est d'en disposer de manière que les termes qui dépendent de sin (nt^e — co) et sin («^ + € •— cà^ disparaissent dans la valeur de JV, en sorte que l'équation du centre soit tout entière comprise dans la valeur de ^. On aura ainsi ^ = 0 et y^ = o, et l'on en conclura
Les valeurs de — et de S'v deviendront donc enfîn . .
— = — -s-.û — , .S.C^Ocostr/i/ — n*+i' — 1)
a o da 2, ^ '
*^Tn\fe. cos (n^+f-^«)-f-/7i' , f'e . cos (/»^+i — •')
+ m'e. S.DCOcos [i{n't — ne+i—t)+nt+t -«]
+ m'e . S . ÉCOcos[i(»'/— /*/+«'— .«)+7i/+ 1—/] , ) (A )
fi,= —.X. FCO sin i{nft —nt+ /;— t)
+ me . 2 . G^O sîn [i(»'^ — ni+f'— O-l-fii+i— »3
5o4 THÉORIE AMALYTIQUE
les lettres C^'^ D^, RO^ FW, G^'^, H^*^. ayant ici la même signification que dans le n* 84> et le signe intégral 2 devant embrasser toutes les valeurs entières positives et négatives de i^ la seule valeur i=:o exceptée.
95. Considérons maintenant les inégalités de la latitude. Reprenons l'équation différentielle (7). Si Ton néglige le produit des excentricités par les inclinaisons des orbites^ elle devient
;,..rJ^^ =0. (9)
dt^ ^ " dz
En prenant pour plan fixe celui de Torbite primitive de m, et en désignant par y Tinclinaison de l'orbîte de m' sur la première orbite, et par II la longitude de son nœud ascendant , on a , n*" 8 1 ,
i représentant un nombre entier quelconque y compris zéro.
L'équation (9), en y substituant cette valeur, devient
d^ r^8 I . K . 'W' » f fA t t r-t\
