Tome I

i8 THÉORIE ANALYTIQUE

forment les normales aux deux surfaces avec les axes coordonnes, et par X, Y, Z, les sommes des composantes ^ respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point. Les conditions générales d'équilibre deviendront

Ncosa -f- N'cosa' -f- X = o, Ncosg + N'cosf' + Y = o, J. (;7) Ncosj^ 4- N'cosj/' + Z = o.

Ces équations , en désignant par /w l'angle que forment entre elles les deux forces N et N', et observant que

cos et cos a* •+• cbs Ç cos €' + cos y cos y* = cos co donnent

N» + N'» 4- àNN'.cos û) = X* + Y* + Zv

Le premier membre de cette équation représente le carré de la diagonale du parallélogramme'constmit sur les deux forces N et N', c'est-à-dire le carré de leur résultante, laquelle est nécessairement comprise dans le plan normal à la courbe donnée. La fonction

VX* -f- Y* + Z* exprime donc la résistance dont cette courbe doit être capable pour n'être pas pénétrée par le point M, ou, ce qui revient au* même, die exprime la pression normale que ce point exerce sur la courbe donnée.

Soient L = o et L'=o, les équations des deux surfaces dont l'intersection forme la courbe que h

m SYSTÈME DU MONDfe 19

point M ne petit quitter, et dëâiguons par;r,^, z, les coordonnées de ce point , nous aurons

cosct'=K'.^, cosr=K'.~, cosy=K'.^'î

en snpposaTit, pour abréger, K =

Substituant ces valeurs dans les équations (p), et éliminant ensuite N et N', l^s conditions d équilibre du point M se réduiront à cette équation unique ,

Xdx + \dx -f. Zdz = o. (y)

Si l'on désigne par ds l'élément de la courbe sur laquelle le point M est assujetti, T' f ^9 ■t' seront

respectivement les cosinus des angles que forme cet élément avec les axes des x , des jr et des z ; les cosinus des angles formés par la résultante R et par les

mêmes axes, sont g* f g" > g^- L'équation précédente

exprime donc que cette résultante et Félément de courbe forment un angle droit entre eux. D'où il résulte que la somme des composantes, tangentes à ce même élément, est égale à zéro, condition néces-

M Ithéorie analytique

saîre, en effet, pour que le point M ne puisse glisser sur cette courbe.

Si la position du point M n'était pas fixée, et qu'il s'agit de la déterminer de manière que les forces X, Y, Z , fussent en équilibre , l'équation de condition (q) jointe aux équations de la courbe donnée, suffirait pour déterminer les coordonnées de ce point.

Quelles que soient d'ailleurs les données et les inconnues du problème, la fonction

sera toujours la mesure de la pression normale que le point M exerce sur la courbe qu'il parcourt.

DU SYSTÈME DU MONDE; ai