CHAPITRE II

De V Équilibre Jtun système dé points matériels liés entre eux d*une manière quelconque.

5. CoDSÎdëroas d'abord un système de forme in- Wiable > et commençons par le cas le plus simple y celui oii le système se compose de deux points seulement^ et où les forces qui lui sont appliquées se réduisent à deux , agissant dans le même plan.

Si Ton prolonge les directions de ces forcés ^ que nous désignerons par P et P', jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en un point 0^ on ne changera rien à l'état du système, en supposant les forces P et P' appliquées immédiatement à ce point. En désignant donc par R leur résultante , et par Uj al j A, les angles que forment respectivement avec l'axe des or, les forces P, P', R; on aura

R.cos = P.cosâ + FtCosa', R.sin = P.sina -f- F

Ces deux équations donneront la valeur et la direction de la résultante R. La position de cette force serait donc parfaitement déterminée , si l'on connaissait un seul point de sa direction ; or, nous savons qu'elle doit passer par le point de concours des deux forces P et F. Pour exprimer anàlytiquement cette condition, menons de l'origine des coordonnées au

point 0^ une ligne L^ et soit et l'angle que forme cette droite avec Taxe des x. Abaissons de cette même origine une perpendiculaire sur chacune des forces P, P', R ; si l'on désigne par p^ p' et r, les longueurs de ces droites, il est aisé de voir qu'on aura

p =ï L.sm(a — a), y?' szs'lî.sin (a — <*')») ( \

r = L.sin(«— A), j ^'^^

Si, au moyen des deux premières équations ^ on éliipine de la troisième les deux quantités L et a , on aura la valeur de r exprimée en fonction de quantités connues, et la résultante R sera entièrement déterminée de grandeur et de position. Mais à l'équation qui résulterait de cette élimination, on peut en substituer une qui a Tavantage d'être plus simple, et dont la-cojiséquence est la même; en eflfet, remarquons que si l'on retranche l'une de l'autre les équations (i), après avoir multiplié la première par sinee^ la seconde par cos a, on a

R.sin {a — A) = P.sin {cl — â) + F. sîn (a' — a').

Substituons, dans cette équation, poursin(a — A), sin (a — ci)^ sin (* — a^) , leurs valeurs tirées des équations (o) , et multiplions tous les termes par L ^ nou& aurons

Rr = Vp + Py. (2)

Cette équation donnera la valeur de r, et fera connaître par conséquent à quelle distance la résultante pai^ de j l'piigiae, des coordonnées.

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

S'il y ayait équilibre dans le système^ la résultante R serait nulle; les équations (i) montrent qu'il faut^ dans ce cas^ que les forcée P et P' soient égales et agissent dans des directions parallèles , mais en sens inverse ; Féquation {2) montre qu'elles doivent ètre^ de plus, directement opposées , ce qui d'ailleurs est évident.

La fonction Rr que nous avons introduite dans Vé^ qoation (2) , et généralement le produit d'une force par • laperpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sar sa direction , est ce qu'on appelle le moment de la force par rapport à cette origine. Ce produit peut sexpdmer d'une autre manière , qui a l'avantage de rendre manifeste le signe des perpendiculaires p, p\ r. En effet, si l'on désigne par x^y et x', y, les coor*»données des points d'application des forces P, et Vy et par x , v les coordonnées d'un point quelcont^ de leur résultante , il est aisé de voir qu'on aura

p x=,j cos fl — - X sin a\ p' = x' cos a' — /' sinn^

et r = X cos A — y sin A ,

1 équation {n) deviendra ainsi

R(x cos A -—Y sin A) =: P {x cos a — ^ sin a)

-f-P'for'cos/»'— ysina'). (5)

Considérons maintenant un système composé d'un nombre quelconque de points matériels liés entre eux dWe manière invariable ^ et sollicités par des forcer que nous supposerons toujours agir dans le même plan. S<»ent P^F^ F'.«.P^«^, les juaten^ités de ceG^

a4 THÉORIE ANALYTIQUE

forces; a^ a\ d'...c^''^y les angles qu'elles forment avec Taxe des x\ /?, p\ p^' . . .//•"^ les perpendiculaires abaissées de l'origine sur leurs dii*ections. Composons d'abord en une seule deux de ces forces , P et P' prises à volonté; soit R' leur résultante^ A' l'angle qu'elle forme avec l'axe des ^r^ et r' la perpendicu*. laire abaissée de l'origine sur sa direction ; composons ensuite cette résultante avec la force suivante P"; soit R" leur résultante , A" l'angle qu'elle forme avec Taxe des a: y et /Ma perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; composons cette nouvelle résultante avec la force P"', et ainsi de suite : de cette manière, nous réduirons finalement le système à deux forces, R""* et P^"^, dont nous déterminerons la résultante en grandeur et en direction , d'après ce que nous avons dit précédemment. Désignons par R cette résultant» ,^ par A l'angle qu'elle forme avec l'axe des a:, et par r la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction , et déterminons par le même n* la valeur des quantités R' cos A', R' sin A', Ry, R'^cosA", etc., nous aurons, par de simples substitutions,

R.cosA = 2.Pcosâ5, RsinA = S.Psina,) ,.x

le signe 2 désignant généralement la somme des quantités quW obtient en marquant successivement d'un accent les lettres P, a, ^.

Les deux premières équations déterminent Tintensite et la direction de la résultante ; la troisième , la distance à laquelle elle passe de l'origine. Cette der-^

nière équation montre que le moment de la résultante d un nombre quelconque de forces est égal à la somme des momens des composantes. Si Ton désigne par Zf t les coordonnées d'un point quelconque de la direction de R, et par Xy jy oc' y jr'y etc. , les coordonnées des points d'application des forces P, P', etc. j cette équation pourra s'écrire ainsi :

R.(xGOsA — YsinA) = 2.P(a;'cos£i — ^^sin^i). (5)

Si le système que l'on considère est en équilibre, en vertu des forces qui le sollicitent, la résultante de ces forces sera nulle; on aura donc, dans ce cas,