X.mx X.my 1 • mz X = , Y =: -9 z

Ces coordonnées x^ y^ z ne déterminant qu'un seul point , on voit qu'il n'y a aussi qu'un seul point qui jouisse de la propriété d'être le centre de gravité du système.

Les valeurs précédentes donnent

équation que l'on peut écrire ainsi :

S . m . (jr'+J^'+ g^) 2>. y/tm^ [(jir^— j;)«+ (/— j^)«+ (/— s)^

l'intégrale finie

désignant la somme de tous les produits semblables à

celui renfermé sous la caractéristique 2, que Ton peut former en considérant deux à deux tous les points du système.

On aura donc ainsi la distance du centre de gravité à un point donné, au moyen des distances des différens points du système à ce point, et de leurs distances mutuelles. Enjgcalculant de cette manière la distance du centre de gravité à trois points fixes quelconques, on aura sa position dans Tespace, ce qui fournit un nouveau moyen de la déterminer.

g. n est aisé d'étendre à un corps sc^ide de figure quelconque les résultats précédens , et de déterminer ainsi les conditions de son équilibre. Il suffît, pour cela , de le considérer comme un asseioblage de points pesans liés entre eux d'une manière invariable. Soit donc dm un des élémens de la masse M du corps, ^9^9 ^9 ï^ coordonnées de cet élément, X, Y, Z, les trois forces qui agissent sur Tunité de masse, pa--* rallèlement aux axes des x, des^ et des z; les trois forces qui sollicitent l'élément dm dans la direction des mêmes axes, devant être proportionnelles à sa masse, seront IL, dm, Y. dm, Z.dm, et les équa-« tions (j) du n® 7 deviendront

S.X.d!nt = o, S.Y. dm =: o, S.«Z.^/7i = o;

S,(Xj^— Yjc).€fc?i=o, S;(Z;r — Hz). dm =0^

S.( Yz — Zf).dm = o ;

le signe intégral S se rapportant à la molécule dm ^ et devant s'étendre à la masse entière du corps»

Si le corps était assujetti à tourner autour de Ton" giûe des coordonnées, les trois dernières équations suffiraient pour assurer l'équilibre.

S^il n'était soumis qu'à l'action de la pesanteur, on aurait, pour déterminer son centre de grayité^ en nommant M la masse entière du corps, et en remarquant que S.^ = M, les équations

S.x.dm S.^.dm S.z.dm

Enfin , si le système que l'on considère est composé d'un nombre quelconque de corps solides m, m', etc., Sollicités par dès forces quelconques, on cherchera, d'après ce que nous venons de dire, les résultantes partielles des forces qui agissent sur chacun de €^ èorps , et l'on n'aura plus à considérer que des forcée de grandeur donnée agissant sur des points Héd entre eux d'uùe manière invariable, dont on détermi&efft Féquilibre par les considérations précédentes.

I o . Nous n'avons considéré j usqu'ici que des systèmes de forme invariable ; mais quel que soit le système qui se présente, il est évident que Ton ne changera rien à son état d'équilibre , en joignant par des droites inflexibles les difierens points dont il se compose , de manière à rendre invariables leurs distances mutuelles. Les forces qui lui sont appliquées doivent donc , s'il est libre 9 satisfaire toujours aux six équations générales (7) n"* 7, quel que soit d'ailleurs le mode de liaison de ses différentes parties.

Mais ces équations, sans lesquelles l'équilibre ne

DU SYSTÈME DU MONDE. 3g

saurait avoir lieu, ne suffiront plus dans ce cas pour assurer son existence. Les forces qui animent le système de forme variable devi'oat en outre satisfaire à certaines équations de condition qui dépendront de sa nature. Voici conunent on pourra, dans tous les cas, parvenir à les former de la manière la plus

facile.

On observera que l'équilibre du système n'est pas troublé lorsqu'on suppose invariable un nombre quelconque de ses parties; l'équilibre subsistera donc encore en rendant fixes tous les points qui le composent^ moins un. On exprimera ainsi les équations d'équilibre de chacun des points du système, en ayant égard à leur liaison mutuelle, et les équations de condition qui résulteront de leur combinaison ou de l'élimination des arbitraires qui dépendent du mode de liaison des parties du système, seront celles que les forces qui le sollicitent doivent rempb'r pour assurer son équilibre.

Ces considérations générales serviront à faciliter la mise en équation de tous les problèmes que peut présenter l'équilibre d'un nombre quelconque de forces appliquées à un système de forme variable, quelle quje soit sa nature. On en déduit d'une manière très simple la solution de deux questions de ce genre, fort remarquables, celles de l'équilibre du polygone funiculaire et de la lame élastique. Nous regrettons <iue les bornes de cet ouvrage ne nous aient pas permis, de les développer ici.