CHAPITRE III

Du Mouvement d'un point matériel.

I ï . Un point matériel ne peut se donner à lui-même aucun mouvement; il est également incapable d'altérer de quelque manière que ce soit le mouvement qu'il a reçu. Cette tendance de la matière à persévérer dans son état de repos ou de mouvement , se nomme inertie. Cest là première loi du mouvement des corps.

L'inertie doit être regardée comme une loi de la nature , et Texpérience vient sans cesse la confirmer sous nos yeux. En effet, nous voyons sur la terre les mouvemens des corps se prolonger de plus en plus, à mesure qu'on diminue les obstacles qui s'y opposent, ce qui nous porte à croire que sans eux, ces mouvemens dureraient toujours. La marche des corps célestes, qui depuis un si grand nombre de siècles se conserve sans aucune altération sensible, nous offre de cette loi une preuve plus manifeste encore.

II suit de là que toutes les fois qu'on observe une altération quelconque dans l'état de repos ou de mouvement d*un corps , c'est à l'intervention d'une puissance étrangère qu'il faut en attribuer la cause.

Sî un point matériel, après avoir obéi à l'action de la force qui le sollicite , est ensuite abandonné à luimême , il continuera à se mouvoir d'un mouvement uniforme dans la direction de cette force^ s'il u'éprouve

.ailla la

4a THÉORIE ANALYTIQUE

et le temps seront deux nombres abstraits qui désigneront combien chacun d'eux contient d'unités de son espèce» La vitesse, qui dans le mouvement uniforme est> comme nous Fayons vu, égale à l'espace divisé par le temps employé à le parcourir, devient alors un nombre abstrait qui marque le rapport de deux nombres de même nature , et son unité est la vitesse du corps qui parcourt un mètre dans une seconde. Cette observation est générale, et il ne fiaiut jamais la perdre de vue^ lorsque, par la nature d'une question quelconque de Mécanique, on est conduit à considérer des quantités de nature différente, telles que Tespaoe^ . le temps , la vitesse , les forces , les masses ou kn , volumes des corps. En réduisant, comme nous Favons ^ dit , toutes ces quantités à des nombres abstraits , leur , comparaison ne donnera plus aucim embarras, et leva , présence dans la même équation n'offrira plus aucune ^ idée choquante.

Le temps que met un corps à décrire un espace ^ déterminé est plus ou moins long , suivant la grandetir ^ de la force qui le met en mouvement : la vitesse com^ , tante pour un même mouvement uniforme varie donc aussi avec la force motrice ; mais , dans Tignorance oà nous sommes sur la nature de ces forces , il ne nom est pas possible d'assigner à priori la loi de ces varia^ tions. En effet, dans le mouvement d'un corps, nous ne voyons clairement que deux choses, l'espace par* couru , et le temps employé à le décrire ; la cause du mouvement^ ou ce que nous avons généralement apr pelé ybrce, nous est presque toujours inconnue, cl nous n'avons d'autre moyen de l'apprécier que par le^

effets qui en résultent. L'hypothèse la plus simple que Ton poisse faire sur le mode d'action des forces motrices ^ est de supposer les effets proportionnels aux cttiaes qui les produisent , ou , ce qui revient au même , d'ddniettre que plusieurs forces agissant dans le même sens et d&ns la tiiéme direction feront parcourir au corps qu'elles sollicitent , un espace égal à la somme des espaces que chacune d'elles lui aurait fait parcourir tépttémezlt; en comparant ensuite aux observations ks tésultats qui dérivent de cette hypothèse , on peut s'assurer par leur accord avec elles , que c'est en effet h loi de là nature. Au reste , cette hypothèse , et celle deFiliertie^ que nous avons regardée comme une propriété de la matière , sont les deux seules données que la Mécanique emprunte à l'expérience, et leur constant itiqord avec les observations leur a donné la certitude de vérités rigoureuses.

Dans le mouvement uniforme , les vitesses sont proportionnelles aux espaces parcourus dans les mêmes interralles de temps; les espaces , d'après ce que nous tenotis de dire , sont proportionnels aux forces motrices ; les vitesses sont donc aussi proportionnelles à tes forces. Dans œ mouvement , la vitesse et la force pèuveiit donc servir de mesure l'une à Tautre , et par conséquent toutes les règles que nous avons données sur la composition des forces peuvent s'appliquer à la composition des vitesses. Ainsi , lorsqu'on connaîtra ks vitesses que deux forces communiquent séparévient à un mobile, on déduira par la< règle du parai-

lâogramme des forces, la vitesse qui serait due à la de ces forces. Réciproquement , lorsque la

-«'.MlKHif

vitesse imprimée à un mobile par la résultante de deux forces sera connue , on pourra en la décompo* saot f déterminer l'intensité de chacune d'elles. Cette manière de mesurer les forces ne donne pas^ il est vrai, leurs valeurs absolues^ elle indique seulement leurs rapports entre elles ; mais c'est la seule chose qu'^ soit important de connaître en Mécanique.

Considérons maintenant le mouvement d'un point sollicité par une force qui agit sur lui d'une manière continue, comme la pesanteur, par exemple. D nous est impossible de savoir si cette force et les forces semblables que nous observons dans la nature agissent en effet sans interruption sur les corps qui leur sont i soumis y ou si leurs actions sont séparées par des intei^- ^ valles de temps dontja durée est insensible ; mais quœ \ qu!il en soit de ces deux suppositions^ il est facile de . voir que les résultats doivent être les mêmes dans le» j deux cas; car si l'on représente les vitesses d'un corps \ sollicité par une force sans cesse agissante , par 1^ { ordonnées d'une courbe dont les abscisses représentent i les temps, cette courbe , dans le second cas , se changera { en un polygone d'une infinité de côtés, et qui pourra 1 par conséquent être* censé se confondre avec elle. Nous ; adopterons la seconde hypothèse , comme la plus conforme aux principes du calcul différentiel, et surtout parce qu'elle fournit le moyen de ramener d'une manière très simple aux lois du mouvement uniforme celles du mouvement varié que nous considérons. En effet, si l'on désigne par dt l'intervalle de temps infinir ment petit qui sépare les actions successives d'une force motrice quelconque , le mouvement pendant cet ior^

tervalle pourra être regardé comme uniforme , et en nommant ds l'espace parcouru pendant cet instant , la

vitesse de ce mouvement sera représentée par -r.

Si l'on suppose donc le temps t, pendant lequel la force motrice, dans le mouvement varié, agit sur le point qu'elle anime, divisé en une infinité d'intervalles infiniment petits, le mouvement qui en résultera se trouvera partagé en une infinité de mouvemens uni-* foraies dont les vitesses constantes pendant chacun de ces intervalles varieront seulement d'un intervalle à i<autre.

Qaant à la force qui produit ce mouvement, et que nous nommerons désormais ^orce accélératrice, son effet étant de faire varier continuellement ia vitesse, ces variations instantanées doivent naturellement^ lui servir de mesure. Or, pendant l'instant infiniment petit dt^ on peut regarder l'action de la force accélératrice comme constante. Si l'on désigne donc par dy l'accroissement de la vitesse au bout de l'instant ^dt , et par P la force accélératrice , on ai^a dç:=Fdt} puisque l'accroissement de vitesse engendré pendant l'instant dt doit être le même que celui qui aurait eu lieu si l'action de la force accélératrice n'a- Tait pas été interrompue pendant la durée de cet

instant. On aura donc ainsi F = ^; et comme on a

déjà i^ = -j , on aura P = t-. C'est-à-dire que la

force accélératrice, dans le mouvement varié, sera taesar^ par la différentielle seconde de l'espace, divisée par le carré de l'élément du temps supposé

46 THJÉOïlïE ANALYTIQUE

constant. Op pourra d'ailleurs étendre à cette quantité ce que nous avons dit sur la composition des vitesses d^s le mouvement uniforme.

Ces considérations sur les lois du mouvement suffisent pour résoudre toutes les questions relatives au mouvement d'un point matériel sollicité par des forces quelconques. En général , tout problème relatif au mouvement doit avoir d'abord pour objet de déter« miner à chaque instant la position du mobile, sa vitesse et sa direction. 'Ce qu'il y a de plus simpk, pour y parvenir, c'est d'établir une relation entre ks accroisseràens de ses coordonnées et les forces dont ils dérivent , en sorte qu'on puisse ensuite remonter, par l'intégration de ces valeurs infiniment petites à leurs valeurs finies , ce qui n'est plus qu'une questim d'analyse. Aussi la Mécanique a-t-elle fait de rapides fM!Ogres à mesura que cette branche de nos connai»-^ sances s'est développée.

1 2. JSoit donc M un point matériel que nous regar^ derons comme entièrement libre ; supposcMis les forces ^pri*'l€t sollicitent réduites k trois forces X, Y, Z, rcspéctîveméht parâllèïeis ^tux trois coordonnées recr tùvlgles it , jr^ z, qui déterminent sa position; supj>6sonSy de plus, que ceÈ forces agissent en sens contraire de l'origine (^coordonnées, et. tendent à ks accroître. Les^ dirfççtioiis des trois composantes X^ Y, Z> étant perpéndiculiaires entre elles, chacune d'elles «9t indépendante de l'actioA des deux autres ^ et peut iétre regardée comme si elle agissait âenk# Elles auropt donc pour mesure la différentielle se6Qo4^

de Fespace qu'elles feraient parcourir séparément au point M, divisée par le carré de l'élément du temps, et Von aura par conséquent

ce sont les équations générales du mouvement du point M ; elles expriment la relation qui doit exister entre les accroissemens difierentiels des coordonnées qui fixent sa position , et les forces accélératrices qui les produisent; elles sufiiseot pour déterminer à chaque instant toutes les circonstances de son mouvement dato l'espace.

Si ce point est libre , les trois intégrales premières

des équations (A) feront connaître à chaque instant la

vitesse dont il est animé , et leurs intégrales finies

donneront la valeur des coordonnées x^jr, z en fonc-

âon du femps t. Si Ton élimine t entre les équations

d'oii ces valeurs dépendent, il en restera deux entre

les variables Xjjr^ z, qui seront les équations de la

courbe décrite par le point M dans l'espace; cette

courbe sera généralement à double courbure; c'est

L ce qu'on nomme la trajectoire du mobile.

Si le point M n'est pas libre, s'il est assujetti, par exemple , à se trouver sxir une surface ou une courbe donnée, au moyen des équations de cette surface ou de cette courbe, on éliminera, de l'équation entre stffe^z, résaltant de l'intégration des équations (A), ittant décès variables qu'il y aura d'équations données, «lit en résultera, entre les forces X, Y, Z, des équa- Soris de condition nécessaires pour que le mobile ^ pAsse remplir les ^conditions demandées.

1 3. Si Ton ajoute les équations (A) après avoir mnJU tiplié la première par ndXf la seconde par ^ictjTf la troisième par ndz^ et quon intègre leur somme ^ on aura

-±^±^*=C+a/(X^- + Yir + Z^); (i)

C étant une constante arbiti^re.

Le premier membre de cette équation est le carré de la vitesse dont le point M est animé^ puisque ^,

-^y ^ sont les composantes de cette vitesse , rela«

tives à trois axes rectangulaires , et que nous avons vu qu'on pouvait appliquer aux vitesses les mêmes principes que nous avons démontrés pour la composition des forces. En désignant donc par v cett0 vitesse^ on aura

Supposons que la fonction ILdx ^\d)r '{-lidz soit h différence exacte d'une fonction des trois variables Xf jTf z, que nous désignerons par /{oc^jr, z), ou aura, en intégrant,

1^» = C + ^fix^yy z).

Cette équation est remarquable en ce qu'elle donne la vitesse du mobile en un point quelconque de la trajectoire, au moyen seulement des coordonnées de ce point, et sans qu'il soit besoin de connaître la nature de cette courbe. Si l'on désigne par A la vitesse

qui répond an point dont les coordonuées sont c,b,c, oa aura, ponr déterminer la constante C,

lL-:=C+af{a,b,c),

et par conséquent

f^ — A* = ^f(x,jr, z) — af{a, b, c);

d*où Ton voit que la yitesse que le mobile acquiert en passant d'un point dont les coordonnées sont a, bf c, k un autre point quelconque^ est la même, gnelle que soit la coorbe qu'il ait parcourue dans imteryalle.

La courbe que décrit dans ce cas le mobile jouit dune propriété particulière qu'on déduit aisément des équations précédentes par les premiers principes du calcul des variations. Cette propriété consiste en ce que rint^rale/f^J^, prise entre deux points donnés , est moindre sur cette courbe que sur toute autre courbe menée entre les deux mêmes points, si le mobile est libre ; et que s'il est assujetti à se mouvoir sur une sor&ce donnée , cette intégrale est moindre par rapport à la courbe qu'il trace sur cette surface en passaul; d'un point à un autre, que par rapport à toute autre courbe menée entre ces deux points sur la même sor&ce.

Il suffit pour le faire yoir, de démontrer que la variation i^.fvds est nulle entre ces limites. Or on a

ds désignant l'élément de la courbe décrite , et di

se

50 THÉORIE ANALYTIQUE l'élément du temps, on a d'aîQears

ds = ^dx* + ^' + isfe* j & = i^ûff y d'où l'on tire

ds.^v =z= vS'v.dt.

51 dans la première de ces équations on substitue p( ds sa valeur (^ J/ , elle donnera

Si Ton différencie par rapport à la caractéristique l'équation (i), elle donne

PcTi^ = XJ'x + Yjy -I- ZcTz,

ou bien en mettant X, Y, Z, leurs valeurs

Réunissant les deux parties de la valeur cT . i^ds , trouve

D'où, en intégrant par rapport à la caractéristique on tire

d.fs^çLs s= — - — ^ -^ ,/^ ^ f- constante.

Si l'on suppose fixes les deux points extrêmes

DU SYSTÈME DU MOKDE. 5i

la courbe y les variations S'Xj S^y^ J^z seront nulles

par rapport à ces points , on aura donc entre ces

limites cT. fpds = o , et par conséquent Fîntégrale

fvds sera un minimum.

Si le mobile n'est soumis à l'action d'aucune force

accélératrice , sa vitesse v est constante , et l'on a

fvds = î/s, en sorte que l'arc de courbe décrit par le

mobile est alors le plus oourt que l'on puisse mener

du point de départ au point d'arrivée ; et comme les

espaces sont dans ce cas proportionnels au temps , il en

résulte encore que le mobile parvient du premier

point au second dans un temps moindre que s'il était

obligé de suivre toute autre courbe.

Ces r&ultatSy très remarquables^ supposent que ht

fonction Hdx + Ydjr + Zdz est une différentielle exacte. Il existe dans la nature un cas fort étendu , où cette condition est remplie , c'est celui où toutes les forces accélératrices qui agissent sur le mobile sont dirigées vers des centres fixes , et où l'intensité de chacune d'elles est une fonction de la distance du mobile à son centre d'action.

En effet, si Ton représente par P l'intensilé d'une de ces forces^ par a, b, c les coordonnées du point fixe vers lequel elle est dirigée, par p la distance de ce point au mobile dont les variables ûc, j, z déterminent à chaque instant la position , en sorte qu'on ait

p-=:(x — ay+(jr^by + {z — c)%

les cosinus des angles que forme la droite p avec les axes coordonnés seront respectivement ^'~ ■ , ~^

5a THÉORIE ANALYTIQUE

, oa, en différenciant Téqnation précédente^

•j-^ -£-, -j-. Les composantes de la force P, parallèles aux mêmes axes, seront donc

^ dp -p dp ^ dp

On aura , par conséquent, en yertu des actions réunies des forces P, P', F', etc. , qu'on supposera toutes de la même nature que la force P,

XsX.pg, Y = 2.P^, Z = 2.P^.

Si Ton multiplie respectivement par dx^ dy^ dz ces valeurs , et qu on les ajoute , on a

Xdx H- \df + Zdz=z :E.Vdp.

Les forces P, P', etc. , étant fonctions des distances p, p', etc. , chacun des termes du second membre de cette équation est une différentielle exacte ; son pre^ mier membre l'est donc pareillement.

n n'en serait pas de même si quelqu'une des forces P> P', etc., était dirigée vers des centres mobiles; dans ce cas, les coordonnées a, b, c deviendraient variables , et la différentielle de dp qui entre dans la valeur de X^£r -]- \dj + Zdz n'étant [dus complète, cette formule ne serait pas une différentielle exacte.

14. Lorsque les forces qui agissent sur le mobile se réduisent à une force unique dirigée vers un centre fixe, le mouvement qui en résulte jouit d'une pro-

priété très importante dans la théorie dn système du monde, et qui se déduit dune manière très simple des équations dîfierentielles (A). Elle consiste en ce que les aires décrites autour du centre fixe par la droite menée de ce point au mobile^ sont proportionnelles au temps employé à les paitx>urir.

Pour le faire yoir, multiplions la première des équatkins (A) par y^ la seconde par x, et retranchoQS-les ensuite lune de l'autre; nous aurons

On trouverait d'une manière semblable les deux autres

équations

«*i=i& = Crz - ,ï).&. J '"^

Si Ton prend pour origine des coordonnées le point fixe vers lequel la force accélératrice P est constamment dirigée, on a X = P.*, Y=P.J, Z=P.^;

«'+/'-(-z% on tire de là ,

XY=7X, zXszxZ, jrZz=:zY. (c)

Les seconds membl-es des équations (à) sont donc nuls , en vertu des équations précédentes , et ces équations donnent, en les intégrant,

xdjr—ydx=cd£ f zdx — xdz=zc'dt, jrdz — zdp=i(/'dt, c, c', c'' étant trois constantes arbitraires.

Si l'on ajoute ces intégrales après avoir multiplié

la première par 2^ la seconde par j^^ la troisième

par Xf on a

équation qui nous montre que la trajectoire décrite par le mobile est contenue dans un plan passant par l'origine des coordonnées.

U est aisé de s^assurer que les premiers membres des équations (2) représentent le double de Taire élé^ mentaire tracée pendant Tinstant dt par la projection du rayon vecteur du mobile sur chacun des plans coordonnés; cette aire est donc une quantité constante j par conséquent laire décrite par les projections du même rayon pendant un temps fini / sera proportionnelle à ce temp^ La direction des plans coordonnés étant arbitraire^ on peut prendre pour Tun d'eux le plan même de la trajectoire du mobile , d'où il. suit, par conséquent , que les aires décrites par le rayon vecteur autour du centre des forces sont proportionnelles au temps.

. . Réciproquement y si les aires, trtfcées par le rayon yectçur. autour du point fixe, croissent comme les temps, on en peut conclure que la force qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point. En effet, les équations {n) étant satisfaites d'après cette hypothèse, leurs différentielles ), et par 3uite les preiniei$ inçpiabres des ^çqji^sitipQS (a), seronf , ipuls ; on retrouvera donQj^ip4>^j^atre les forces X, Y, Z et les coordonnées :x:^ j^ z du mobile , les équations [c) ; d'où roii* tire ' *

.,..X. : Y; Z\\x\jv z. .

\a résultante des forces X, Y, Z est par coasëqHenit ^gée suivant la ligne droite menée du nK>bîle •à l'origine des coordonnées.

Les propriétés du mouvement d'un point matériel > qae nous venons de développer , sont géuérales^.et s'appliquent à une dbisse très étendue de forces accélératrices. Nous allons faire maintenant, sur la nature de ces forces > quelques suppositions particulière^ , et résoudre plusieurs problèmes qui sont à^ttn grand intérêt dans la théorie du système du monde; '' \ '

i5. Proposons-nous d'abord de déterminer le mburement d'un point matériel sollicité par l'actio^ d^^la pesanteur, et qui se meut dans un milieu résistant* ^

La pesanteur nous ofiîre l'exemple d'une torce qui exerce une action continue surjes corps qu elle anime. Elle agit d'uiie manière semblable sur toutes)es v^léh cales de la niatière, soit,d|ttis Tétat^de repos j âpitdanB Fétat de mouvement , e| parait tsieiidre à les attirer yens le centre.de la terre. L'action 4e la pesanteur varie siû*- Tant-les différens points que nous occupons sur le globe, et suivant les distances où nous sommet 4^ sou e^ntr^. Sa direction change avec l'horizon du lieu • auquel ell|S est toujours perpendiculaire; mais comme les courbes (pie Ton coAsidère dans le mouveiAent dès'pcojactilips ont infiniment peu d'étendue comparativement aux ^mensions de la terre , nous regarderons , (laps çejqui va suivre, l'action de la pesanteur comme const^nt{9^ et nous la supposerons dirigée suivant des droites parallèles. La résistance que le mobile éprouve de la part du milieu qu'il traverse dépend à la fois et de