S6 THÉORIE ANALYTIQUE

la densité de ce milieu et de la vitessie dont il est

4iniine.

Cela posé , désignons par g l'intensité de la pesanteur, et par € la résistance du milieu, que nous regarderons comme une force dirigée suivant la tangente a la courbe que le mobile décrit, et agissant en sens contraire de son mouvement, son intensité dépendant de, la vitesse du mobile. Supposons le plan des x et 'desj^ horizontal, et plaçons l'origine des coordonnées au point le plus élevé de la trajectoire. Si Ton désigne

par ds un élément quelconque de cette courbe ^ 7 ^

^f'-^f seront les cosinus dés angles que forme sa tan-

^ente avec les axes coordonnés, et la force € donnera panAlèlement à ces axesles trois composantes suivantes:

^'^ -*&^ ^'T** Ces forces tendent à diminuer

-les variables Xp jr, z. L'action de la pesanteur an coBtraire > qui s^exéroe tout entière suivant Taxe des z^ tend à augmenter cette coordonnée; en désignant donc par X, Y, Z, les forces accélératrices dont le tnobite est animé parallèlement aux trois axes coor-« donnés, on aura

Le^ trois équations du mouvement deviendront donc

Si Ton multiplie la première par ify^ la seconde par dx, et qu'on les retranche Tune de l'autre, on aura

ds d*Y dy d'x ^^^

d'oïl l'on tire , en intégrant ,

jr — ojc '^ b,

ûHb étant deux constantes arbitraires.

Cette équation, qui appartient à une ligne droite, est celle de la projection sur le plan des x y^ de la coDfbe décrite par le mobile ; cette courbe est donc entièrement contenue dans un plan vertical. En prenant par conséquent ce plan pour celui des coordonnées âp et 2 , on aura généralement ^ = o. Si de plus cm suppose, comme on le fait ordinairement, la re'sistance du milieu proportionnelle au carré de la vitesse

dont le mobile est animé, ce qui donne b =: m. ^«

m étant une quantité qui dépend de la densité du milieu, et qui varie avec elle, les équations du mour^ vement se réduiront aux suivantes :

c^s de dx d*z ds dz . / ^

La première sintègre immédiatement, et il en résalle

C étant une constante arbitraire et cla base des logarithmes dont le module est lunité. Pour intégrer la seconde, fidscms dzzzzjdx^ y étant unç fonction

fi» THÉORIE ANALYTIQUE

quelconque de zf en différenciant par rapport à /, il

eu résultera

d^z dy dx ^^ d^x

dt^ — TrTt^^'d?*

Substituant cette valeur daiis la seconde des équations {d)^ elle se réduit^ en vertu de la première^ à

dy dx

Tt^ dt S'

ou bien , éliminant dt au moyen de Téquation (b)^ et faisant, pour abréger, /i = — -^, on aura

CettQ ^qyatîoa différentielle dii premier ordre donnera, en l'intégrant 9 la valeur de j* en fonction de a:; cette valeur, substituée dans l'équation dz z=ijfdXf fournira une nouvelle équation du premier ordre «titre ';s .etarsaw tf qui sera par conséquent Téqua^ iioa différeojtjelle de la trajectoire.

Si l'on suppose nulle là. résistance du milieu, on a m=o, et l'équation précédente donne , en intégrant,

jr = 2ax + b.

'Mettant pour j^ sa valeur ^, et intégrant de nouveau, on aura

z = âfx* + ioT + A ;

^ et A étant deux constantes arbitraires.

Cette équation est celle d'une parabole dont k

grand axe est vertical; c'est la courbe que décrirait

un corps pesant projeté dans l'espace avec une vitesse

quelconque , si l'air ne lui opposait aucune résistance.

L*équation (b) donne ^ en supposant m:=zo, et en

Imtégrant , t=zx.\/ — + A:, A: étant une constante

arbitraire. Si l'on suppose :r=o, ;s=o quapd ^=:o^ OQ aura k=o, k = o, et par conséquent

ic=a:.t/— , zzszoûc^ + bxi (1) doù l'on tire

La première de ces équations montre que le mouyement est uniforme dans le seiis horizontal , et il résulte de la dernière^ que , dans le sens vertical , il est le même que si le corps tombait suivant la verticale.

On déduit de ces trois équations toutes le^ lois du mouvement des projectiles dans le vidé. Elles comprennent aussi ^ comme cas particulier,' lé mouvement accéléré ou retardé d'un corps pesant suivant la verticale. En effet',' si' l'bii suppose l'impulsion primitive dirigée verticalenïen't, la parabole, qui résultait dans le cas généwil dVitié vitesse initiale quelconque combinée avec la pesanteur, se change en une ligne droite et se confond avec la verticale. Si le corps part de l'état du repos, ô = o, et Ton a simplement

6o THÉORIE ANALYTIQUE

La vitesse croit donc comme le temps, et Tespaœ comme le carre du temps. Si Ton imagine un triangle rectangle dont nn côté représente le temps, Tautre côté pourra représenter les vitesses; et la surface de ce triangle, égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, représentera l'espace que la pesanteur £ait décrire au mobile. Si, après le temps ^, la pesanteur cessant son action , le corps était abandonné à lui->mènie, il continuerait à se mouvoir uniformément , et décrirait, en vertu de sa vitesse acquise, dans un temps égal à celui de sa chute, un espace f;t^ double de celui qu il a parcouru. Telles sont les lois de la chute des graves dans le vide, découvertes par Galilée.

i6. Considérons maintenant le mouvement d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface ou une courbe donnée. Désignons par N la résistance qu'il éprouve dans le sens de la normale de la part de cette surface ou de cette courbe; en ajoutant cette résistance aux forces accélératrices dont il est animé , nous pourrons le regarder ensuite comme entièrement libre, et faire abstraction de la surface ou de la courbe qu'il doit parcourir. En nommant donc ât, 6, ^, les angles que fait la normale avec les axes coordonnés; les équations du mouvement deviendront

è'«X + Ncos., ^ = Y + NcosC, I -^ Si Ton ajoute ces équations après avoir multiplié

DU SYSTÈME DU MONDE. &i

\a première par 2dx, la seconde par 2djr, la dernière par adzf et qu'on intègrç leur somme, on aura

+2f'S.(c6$a.dx+co&6.djr+cosy.dz).

Mais, en représentant par Lsso Féquation de la surÊice sur laquelle le mobile est assujetti , et en substituant pour cosa, cos^, cos^, leurs valeurs données n* 4 # ^^ ^

coieL.dx^cosC^dy^cosy.dz = KdL = o.

L'inconnue N disparait donc de Féquation précé-* dente, et Ton a simplement

i^+dy + d^ ^ ç + a/(X^ + Y^ -f- Zdz).,

Supposons que Hdx -\r Y<^ + Z</z soit la différentielle exacte d'une fonction de trois variables f{x,jr, 2), on aura

Soient a, b, c^\es coordonnées d un point connu de la courbe décrite, A la vitesse du mobile en ce point; en nommant v la vitesse qui répond aux coor^ données :r, 7, s, on aura

•^ A* = 2f(x,jr, Z) — :2/(a, i, c).

Cette équation est analogue à celle que nous avons tronvée n"* 1 3, pour le cas d'un point matériel libre ;

6îi THÉORIE ANALYTIQUE

concluons de même, i*". que si aucune force accélé'* ratrice n'agit sur le mobile , sa vitesse est constante : c'est ce qu'il est facile de concevoir , d ailleiu:s , en observant que la diminution de vitesse qu'un point qui se meut sur une surface ou une courbe donnée éprouve à la rencontre de chacun des plans de cette surface ou des élëmens infiniment petits de cette courbe , est une quantité infiniment petite du second ordre; 2^. que si les forces accélératrices n'étant pas nulles , la formule ^dx + Ydjr + Zdz est inlégrable , la vitesse du mobile n'est plus constante , mais qu'elle est indépendante de la surface ou de la courbe sur laquelle il est forcé de rester; il suffit, pour déterminer cette vitesse en un point quelconque de la trajectoire , de connaître les coordonnées de ce point et la vitesse du mobile au point de départ.

Enfin, le principe de la moindre action subsiste par rapport aux courbes qu'un point matériel peut tracer sur la surface à laquelle il est^tssujetti, comme par rapport à celles qu il peut décrire dans l'espace lorsqu'il est libre , ainsi que nous l'avons annoncé dans le n"" cité.

Déterminons actuellement la pression que le point exerce contre la surface ou la courbe sur laquelle il se meut. Supposons d'abord qu'aucune force accélératrice n'agit sur le mobile, sa vitesse u sera constante; et si l'on désigne par ds l'élément de la courbe décrite, ou l'espace parcouru pendant l'instant dt, on aura

ds = vdt ; d'où l'on tire dt = — . L'élément ds est

donc aussi constant^ et les équations du mouvement

en sobstitoant pour dt sa valeur, deyiendront

p'.^=Ncosa, f\^=NcosC, p\^*=Ncos>; d'où l'on tirera

Hais ds étant constant^ si Ton nomme /* le rayon oscillateur de la courbe décrite par le mobile^ on a

L'expression de N devient donc ainsi

Cest-à-dire que la pression exercée par le point contre la surface ou la courbe est égale au carré de sa vitesse, divisé par le rayon de cofirbure de la trajectoire qu'il décrit.

Si le point se meut sur une courbe , et qu'il soit sollicité par des forces accélératrices quelconques , en ajoutant à cette expression celle de la pression due à l'action des forces accélératrices , on aura k pression totale que le point exerce contre la courbe.

Si le point se meut sur une surface ^ la pression due à la force centrifuge sera égale à celle qu'il exercera contre la courbe qu'il décrit, décomposée suivant la normale à la surface en ce point , c'est-à-dire au carré de la vitesse , divisé par le rayon du cercle oscii-' lateur, et multiplié par le sinus de l'angle que fait

le plan du cercle osculatenr avec le plan tangent à h surface. On aura la pression totale que le point exerce contre la surface, en ajoutant a cette expression celle de la pression due à Faction des forces qui le sollicitent.

Lorsque le point n'est soUicité par aucune force accélératrice y la force centrifuge est, comme nous lavons vu, égale au carré de la vitesse, divisé parle rayon du cercle osculateur de la trajectoire ; le plan qui contient ce cercle est donc alors toujours perpendiculaire à la surface donnée. Cette propriété appartient à la courbe la plus courte qu'on peut menei d'un point à un autre sur cette surface : c'est donc aussi celle que décrit le mobile ; et cette loi rema^ quable du mouvement d'un point matériel dépend d'un principe général de Mécanique qu'on a nommé principe de la moindre action.

Si un point matériel qui n'est animé d'aucune force accélératrice se meut dans l'intérieur d'un cercle, la pression qu'il exerce contre la circonférence sera égale , d'après ce qui précède, au carré de sa vitesse divisé par le rayon de cette circonférence.

Au lieu de supposer le point renfermé dans un cercle, on peut imaginer qu'il soit attaché à l'extrémité d'un fil inextensible, et qu'il se meuve circulairement autour d'un point fixe ; la tension qu'éprouven le fil remplacera la résistance que le point exercerai contre la circonférence du cercle, et équivaudra pai conséquent à la force que nous avons désignée par N L'effort que fait le point pour tendre le fil et pou s'éloigner du centre de la circonférence, est ce qu'oi

mmme force centrifuge; elle est égale au carré de la vitesse divisée par le rayon. En désignant donc^par^* cette force, on a

Comparons la force centrifuge à la pesanteur. Pour cela, supposons (jue la vitesse i^ soit celle qu'acquerrait le corps en tombant de la hauteur // ; on aéra , n* i5, i^* = ^gh, et l'équation précédente donnera

SI A= jT, la force centrifuge devient égale à la pesanteur, en sorte que la tension que le fil éprouve par Faction du corps qui se meut circulairement dans un plan horizontal, est la même que si ce corps était suspendu verticalement a son extrémité. Il suffit, pour cela, que la vitesse dont il est animé soit celle qu'il acquerrait en tombant d'une hauteur égale à la moitié de la longueur du fil.

Supposons que le mobile emploie le temps T à décrire la circonférence dont le rayon est r, et soit ic le rapport de la circonférence au diamètre , on aura

^ — -if-f dou / = ^.

Cest-à-dire que la force centrifuge est proportionnelle au rayon, et en raison inverse du carré du temps employé à décrire la circonférence. La force centrifuge qui résulte du mouvement de rotation de la terre doit