TBÉORIE ANALYTIQUE
doac aller en augmentant des p61es à Téqillateiir, ei elle tend à diminuer de plus en plus Ftctiion de la pesanteur. On a trouvé , en réduisant en nombres l'équation précédente^ tjue le rapport de la force centrifuge à la pesanteur qui aurait lieu si la terre étail supposée immobile , était à lequateur égal à fort pei
près à -z — r;. En sorte que si le mouvement de rotation de la terre était 17 fois plus rapide, la foro centrifuge serait égale à la pesanteur^ et les corp resteraient en écpilibre sous Faction de ces deui forces à Téquateur.
1 7* Nous allons considérer maintenant, comme une application intéressante des formules générsrles (A), le mouvement dW point matériel pesant dans l'intérieur d'une surface sphérique.
Nommons r le rayon de la sphère, et fixons à son centre Forigine des coordonnées ; l'équation de la surface sur laquelle le mobile est forcé de rester, et que nous avons représentée généralement par Lso, deviendra , dans ce cas ,
jc* +J*' + «' — r* = o, et l'on aura^ par conséquent.
dx "^ r * dy """ r ^ dz
ce qui donne K=:=i, cosas:-, cosÇs=s — . cos^^ = -
U pesanteur étant la seule force accélératrice qu'où suppose agir sur le mobile, on aura X=o, Y = o, Z z= g y et les équations générales du mouvement (A) donneront, par la substitution de ces yaleurs, les trois suivantes :
Si Ton multiplie respectivement ces équations par 2(lx, 2dj, adz^ qu'on les ajoute, et qu'on intègre ' leur somme en observant que l'équation de la sphère donne, en la différenciant,
acdx +fdr + zdz =;=. o, (i) ,
on aura pour déterminer la vitesse dont le mobile est animé
dx* -+ dy* + dz* , , .
-^^ Z=2gZ+C, (a)
c étant une constantcj^arbitraire.
La vitesse du corps est donc la même que s'il était tombé verticalement de la hauteur z, ce qui est conforme à ce que nous avd&s dit h? 1 6.
Déterminons la pression que le mobile exerce contre
k surface. Pour cela, multiplions les équations (B),
la première par x, la seconde par^, la troisième par z;
ajoutons-les ensuite, en observant que l'équation de
la sphère donne jc* +^* ^ z* = r*, nous aurons
L*éqaation de la sphère difiërendée deux fiais, domr
xd^x -f yd^y + td^% dj^ + dy^ -^ daf^
de ~ de ^
L'équation précédente donne donc, en verta de réquation {pi) ,
U nous reste à connaître à chaque instant la sitoifion dn mobile sur la surface qu'il parcourt. Pour j paryenir, observons qu'on obtient aisément une non* Telle intégrale première des équations (B); en effets a l'on multiplie la première par j*, la seconde parx^ qu'on les retranche Tune de l'autre, et qu'on.inti^ l'équation résultante ^ on trouve
jrdx — xdjrsizc.dt, (5)
if étant une constante arbitraire.
On a donc entre les variables jc, j^, z , et /, les trcfc équations différentielles du premier ordre (i ), (a), (5); il ne s'agit plus par conséquent que d'intégrer ces équations pour déterminer les coordonnées du mobile en fonction du temps. La première a pour intégrale l'équation de la sphère; leâ deux autres, il est vrai, ne sont pas intégrales sous forme finie , mais on parvient aisément à séparer les variables, et l'intégration est ramenée aux quadratures.
En effet si , après avoir mis l'équation (i) sous cette forme xdx'-i^jrdjr^Z'^zdz , on l'élève au carré, ainâ que l'équation (3), et qu'on les ajoute ensuite, on trouve
(^* +7*)*(^* 4* ^') = z^dz* 4- c'\dl\
Substituons pour x* + j^* sa valeur r* — z*, et pour . ^ , sa valeur agz^c— ^ , nous aurons une équation entre z,dz,dt, d'où il est aisé de condure
Nous donnons au second membre le signe — , parce ^ le corps étant supposé s'éloigner de la verticale^ ^diminue quand / augmente.
Cette formulé donnera , en l'intégrant par approxînuitioa^ le temps t en fonction de z^ et réciproquement z en fonction de t*
On connaîtra ainsi à chaque instant le plan horizontal dans lequel se trouve le mobile; il suffira donc^ pour assigner sa position sur la sphère, d'avoir un I second plan sur lequel il doive se rencontrer dans le même instant. ^
Pour cela, soit œ l'angle que forme le plan vertical qui passe par le mobile et le centre de la sphère , avec le plan vertical des x et des z; on aura
X 2= V/^ — «••cos«, ^= Vf^ — z^^siacop
d'où l'on tire
xdjr — jrdx 5= (r* — • z*).dcû.
L'équation xdf — jrdx =zc\dt donnera donc ainsi
c. dt
Ja>=:
r — sr
no THÉORIE ANALYTIQUE
Si Ton substitue pour dt sa valeur précédente eaz, et qu'on intègre ensuite par approximation Téquatioa Insultante , on aura l'angle e» en fonction de z. Oa connaîtra ainsi pour un instant quelconque les deux variables z et œ , et la. position du mobile sera par conséquent entièrement déterminée.
Au lieu de supposer que le point se meut dans l'intérieur d'une surface sphérique , on peut imaginer qu*îl soit saspendu à l'extrémité d'un fil inextensible dont l'autre extrémité est fixe, et dont la longueur est égale au rayon de la sphère : les mouvemens dans les deux cas seront parfaitement les mêmes . Le fil et le point qu'il supporte forment alors un pendule simple , et l'on nomme demi-oscillation le temps que met le mobile a revenir de la plus petite à la plus grande valeur de 2 * Oiren déterminera la durée en développant en série l'expression de dty et en l'intégrant ensuite entre ces limites.
Pour y parvenir, reprenons la valeur de dt, ef supposons
(/* — z*).{7gz + c) — c'* = Ça — z).{z — l^j'i^gz + k).
En comparant dans les deux membres les coefficiens des mêmes puissances de 2 , on aura pour déterminer a, b, k, ces trois équations :
^ 2#.(r* — a'» — flô — ^*) essh^Sa - 1
Dû SYSTÈME DU MOKUe. 71
€a peut aux aii)itraires c ^ d sabstifoer les denx noayelles arbitraires a et & , dofit la pretiiièf^ r^pondà k plos grande , et la seconde fa la pins petite valeur de % f poisqu'en effiet la supposition dez;=a^et2ss:^' donne i& 2= o.
Cela posé ^ faisons
Vexptession de dt deyiendrj^
r\/ii{a + 6) djt
cnfaisant pour abréger.^ «•— (l+^l^^^Zl?-
Cetteexpiression intégrée de'^iiiâ iii^^dt jiiscfu'à s=^^' ou depuis a: ±= o jusqia'à x^ \ ^ donnera le temps que le pendille emploie à mire une demi-oscillation. Nommons - ^ ^^ temps ^ développons en série la
fonction (i.^a'jc')^x ce qui donne
Multiplions chacun des termes^dè ce développement par ■ ^ et intégrons .ensuite ; nou$ aurons .
'<[.+ft)-.«-+GiD'.-H4(^)">'+,.,etc.3, ■^ étant la demh-circonférence dont le rayon est l'unité.
7a THÉORIE ANALYTIQUE
Si'^ lorsque zs=zb, on suppose nulle la vitesse du mobile, -pe qui revient à prendre le commencement d'uw oscillation poul* <urîgihe du mouvement, on a[|ira f* f== -*r- ag'^ , cf-zssio, ce qui donne a» s= constante; c'est-à-dire que le mobile oscille alors dans un plan vertical : les équations (o) donnent ensuiie
az=zri d'où a*= — — -. L'ordonnée z divisée par r
exprime le cosinus de Tangle que forme le pendule avec l'axe des z; le cosinus dé son plus grand écart
de la verticale sera donc -, et la fraction "^ ■ expri-
mera le carré du sinus de la moitié de cet angle; la durée totale de l'oscillation sera alors
'"— ¥?€'+©''(^)+ (^DW)"
« ■+* (ï^)*^(ir) +etc.]
Si le pendule slécaftéipeu ^' là verticale, est
une très pet^tQ quantité -que Ton peut négliger; on aura dbnc,' dans ce tïàs,
La durée des petites oscillations est par conséquent indépendante de leur amplitude ; ces oscillation^ sont donc isochrones ou d^-ntéme durée, qu'elle que soit lefur .étendxie, "^^ cétte^ durée rie^ dépend que dé la Ibngiieur du pendule et de l'intensité de la pesanteur.
L'eypi^ession précédente de T. donne le moyen de
déterminer^ à l'aide du pendule, les variations de la pesanteur dans les divers lieux de la terre, d'une manière beaucoup plus exacte qu'on ne poun*ait le &ire par des expériences directes sur la chute verticale des corps. En effet, en l'élevant au carré, on en tire
^= -7p7j g représentant (n*^ i5) la vitesse que la pesan-
teur imprime aux graves, ou le double de l'espace (pi'ils parcourent dans la première seconde de leur chute. Eu faisant donc osciller un pendule de longueur donnœ r pendant un intervalle de temps connu, on aura la valeur de T en divisant ce temps par le nombre dWillations du pendule, et l'équation précédente, dont le second membre sera entièrement déterminé , donnera la valeur de g ou de l'intensité de la pesanteur. À Paris, la longueur du pendule à secondes, me-: sure' avec beaucoup d'exactitude, est de o"*,74iÔ87; on a de plus ^* = 9 . 8696 , ce qui donne g' = 7"*,322 1 4 ; d'où il suit que la pesanteur y fait tomber les corps de î^ôôioy dans la première seconde. Des expériences précises ont montré que cette valeur est la même, <{uelle que soit la substance dont est formé le pendule que l'on fait osciller ; il en faut conclure que la pesanteur agit également sur tous les corps de la nature dans un même lieu de la terre, et que, par conséquent, sans la résistance de Fair, elle leur imprimerait à tous, dans le même temps, une vitessèégale. QuarR aux variations de la pesanteur sur les différens parallèles, on observe que son intensité diminue eu allant du pôle à Féquateur; et la variation totale qu'elle subit entre ces deux points s'élève à environ yy^ de sa valeur moyenne.
^4 THÊOaiE ANALYTIQUE
1 8. Nous venons de voir que risocbronisme des oscillations du pendule circulaire n'a lieu qu'en supposant leur amplitude très petite; il est curieux de déter-* rainer quelle est la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir pour arriver dans le même temps au point le plus bas, quel que soit l'arc qu'il ait décrit depuis son point de départ. Pour résoudre cette question, plaçons IWigine des coordonnées au point le plus bas de la trajectoire; nommons ds un'quelconque des éiémens de cette courbe, et désignons toujouis par g l'action de la pesanteur; La force accélératrice, le long de l'arc de la courbe , sera la pesanteur décomposée suivant sa tangente; elle sera égale, par consë-
quent, k g^^. Cette force tend à diminuer l'arc s
que nous supposons compté, aiz^i que z, du point le plus bas; on aura donc
(Ps ^ dz
5^ — — g^-aj-
Si l'on multiplie les deux membres de cette équation, par 2ds, et qu'on intègre, on trouve
• ds^
c étant une constante arbitraire.
Soîl h l'ordonnée du point où le mouvement commet^Ce, et supposons nulle en ce point la vitesse du mobile; on aura cs=:2gh, et l'équation précédente, résolue par rapport à dt, donnera, en observant qu&
Farc s diminue quand t augmente ,
ou bien, en développant le radical du second membre p , I / , * , 1.3 *•, ï.3.5 «' , \
(^leUe que ^t la nature de la courbe cherchée , s est «ne £ûaofection de 2 , et Ton peut supposer que cette ^Mion développée et différenciée ensuite^ donne
-=1 = fl;5' + bz^ H- etc.
az
Eq substituant pour ds sa valeur dans l'expression de dty on aura s
— etc.
Si Ton intègre cette expression depuis zssh jusqu'à 2=0, on aura le temps que le mobile emploie à parvenir au point le plus bas. Ce temps, d'après les conditions du problème , doit être indépendant de la hauteur h dont le corps est descendu, ce qui exige qufe Ton ait i-f*' ==t> ^* q«^ *^^s les termes de la valeur de dt soient nub, k l'exception du premier. Or, il est évident que cette condition ne peut être
j6 ^ THÉORIE ANALYTIQUE
satisfaite à moins de supposer £ = o, etc.; Féquation dififérentielle de la courbe tautochrone devient donc ainsi
ds = az""^ dz ;
d'où Ton tire^ en intégrant, s = aaz», équation d'une cycloïde à base horizontale. La cycloïde est donc la seule courbe tautochrone dans le vide.
Soit r le double du diamètre du cercle générateur dç la cycloïde , ce qui donne , d'après les propriétés .connues de cette courbe, r:=:2a*, et substituons la
valeur de ds dans l'expression (n) de dt ; nous aurons
Js \ fr d%
^ y g {/hz —V
d'où Ton tire , en intégrant ,
Nous n'ajoutons pas de constante^ parce que nous supposons c[ue l'on compte le temps t de l'origine du mouvement, ce qui donne i = o quand z:=:h.
Si Ton nomme 7 . T le temps que le mobile emploie à descendre au point le plus bas de la courbe, z étant nul en ce points on aura
T = \/-.arc.(cos = — i) = 9r,t/-.
Le temps de la chuté par, l'arc de cycloïde est donc égal à la demi-oscillation du pendule > dont la longueur serait r, et dont l'écart de la verticale ser^î\
DU SYSTÈME DU MONDE. s 77
très petit. C'est ce qui doit résulter en effet de ce qu'au point le plus bas Tare ds de la cycloïde se confond avec Tare infiniment petît du cercle osculateur dont le diamètre est vertical et égal à ir.
Il est un autre problème du même genre que celui
que nous venons de résoudre , et qui a long-temps
exercé la curiosité des géomètres du dernier siècle,
c'est de déterminer la courbe que doit suivre un corps
pesant pour parvenir d'un point donné à un autre dans
letemps le plus court. Ils ont trouvé que cette courbe ,
quW a nommée hrachjsiochrone y ou ligne de plus
vite descente, était une cycloïde dont l'origine était
' au point le plus élevé.
19. Après avoir considéré le mouvement d'un point matériel dans les trois cas qui peuvent se présenter, c'est-à-dire lorsqu'il est libre, et lorsqu'il est astreint à demeurer sur une courbe ou une surface donnée , nous allons^ pour terminer ce chapitre, résoudre une question très importante dans la théorie du systèfne du monde. Nous nous proposerons ' de déterminer lattraction qu'une couche de figure sphérique exerce sur un point situé dans l'intérieur ou à l'extérieur de sa surface , en supposant cette action en raison inverse du carré des distances. ^
Soit a la distance du centre de la couche au point attiré; si l'on joint par une droite ces deux points, il est évident que tout étant symétrique autour d'elle, 1 action totale du sphéroïde sur le point attiré sera uécessairement dirigée suivant cette ligne. Nommons ''w l'un quelconque des élémens du sphéroïde, et
«oit f sa distance au point attiré; -tt exprimera Faction que Félément dm exerce sur ce point suivant la droite f^ et en nommant y l'angle que forment entre
elles les deux droites f ei a, -^ • cos y sera la composante de cette action parallèle à cette dernière droite. Soit donc A l'attraction totale que le sphéroïde exerce sur le point attiré y on aura
dm
