COS

le signe intégral se rapportant à l'élément dm ei aux quantités qui varient avec loi, et devant étrf étendu à la masse entière du sphéroïde.

Cela posé, soit r le rayon mené du centre du sphéroïde à l'élément dm , 0 l'angle que forme ce rayon avec la droite a^ et co l'angle que forme le plan passant par ces deux droites, avec un plan fixe quelconque passant par la droite a. L'élément dm peut être considéré comme un petit parallélépipède rectangulaire dont les trois dimensions sont dr^ rS et r sin Mûù ; en supposant donc, pour plus de simplicité, la densité du sphéroïde constante , et égale à Tunité , on aura dm=zr^dr d^dcù sin 6; on aura ensuite, en considérant le triangle formé par les trois droites a, f, r^

/ft • A I a a -^^ r cos fl ^zsza* — 2ûrcosB + r*, cos^ = ■• 7= .

L'expression précédente de A deviendra donc ainsi \ = fr^drdœSsm9.'^^=^^.

Pour étendre la valeur de A à la masse entière de la couche^ il faut intégrer, i*. par rapport à r^ depuis la valeur de ce rayon à la surface intérieure, jusqu^à sa valeur à la surface extérieure; ^i^. par rapport à où^ depuis ûi =3 o jusqu'à cù égal à la circonférence ^ 3^ enfin relativement à 8, depuis 0 = o jusqu'à 1 égal à deux angles droits.

On peut donner une autre forme à l'expression précédente. En effet, si l'on différencie par rapport à a la\aleur de y, on a

df ^^ a'-^r cos fl

on aura donc

A = — fj^drdca d^sm^.-^^y

OQ bien , comme les variables r, o) et 0 sont indépeur* dantesde a,

V dr dm di sîn 0

da '

«OU il suit qu'on aura l'action entier du sphéroïde w le point attiré, en différenciant, par rapport ka,

Imtégrale/^^'^y^^'"', et en divisant sa diffé^

rentielle par da.

Faisons, pour abréger,

Y fj^ dr dm d9 sxn 9

Si Von intègre cette formule par rapport à où , depuis

8o THÉORIE ANALYTIQUE

0» = o jusqu'à û» = nTTy TT étant la demi-circonférence dont le rayon est runité> on aura

V* dr M sîn 9

^z=z2lg:.f'

Pour intégrer maintenant^ par rapport à d^ remarquons que la valeur de f différenciée relativement à cette variable ^ donne

c28 sin 9 I j r>

d'où il résulte ^ par conséquent.

\ :=.-.frdrdf.

L'intégrale relative à 0 doit être prise depuis 0=o jusqu'à 6=7r; à ces deux limites on a y*=(fl— r)* et y * = (^ï -f" ^)*> ce qui donne , en remarquant que/* doit toujours être positif, y=z=r— a ety=fl + r, dans le cas où l'on a r> a, c'est-à-dire dans le cas où le point attiré est placé dans l'intérieur de la couche sphérique ; y = a — r et f '=za^ r^.dans le cas bà l'on a r<a, c'est-à-dire dans le cas où le poini attiré est extérieur au sphéroïde. Ainsi, dans le pre^ mier cas on aura

V = /[yr.frdry et dans le second

V = ^.fr^dr.

La différentielle de V, prise par rapport k a^ é, divisée par da^ donnera, comme nous l'avons vu,' e

changeant son signe ^ lattractkm àa sphéroïde sht le ]^mt attiré; or, la première des fonmdes pEéoédentes étant indépendante de a, donne

Scia il Êint conclure qu'un point placé déms tiniérieur dune sphkre creuse rien éprouve aucune action, au, ce (jïd reffient au même, qi^il est également. attiré de

• Ufuies parts.

La seconde des ipémes formules, différenciée par

; nfpod à a, donne

Soient / et F les rayons des surfaces intérieures et extérieures du corps attirant ; en intégrant l'expression précédente depuis r= /jusqu'à rs=zt, on aura

. c'est la mesure.de la force attractive qui agit sur un point extérieur au sphéroïde ^ suivant la droite a. Hais^ si l'on désigne par M la masse de la couche sphérique dont l'épaisseur est /' — /, M sera évidem*ment égal à la différence des deux sphères dont les rayons sont / et /'; on aura donc

et par conséquent