CHAPITRE IV

Du Mouvement tCun sjrstème de corps. '

30. Jusqu'ici, les corps dont nous ayoni les mouvemeDs ont été regardés comme des points Julmels , et nous ayons vu que la force motrice ayait alors pour mesure la vitesse qu elle produit dans un temps donné, divisée par ce temps. Mais, lorsqu'on veut comparer entre elles des forces qui agissent sur des corps différens , il n'est plus possible de faire abstraction de leur nature, et leurs masses doivent entrer nécessairement dans l'évaluation des forces qui les sollicitent. Considérons en effet un corps que nous supposerons se mouvoir en ligne droite, comme un assemblage de points matériels qui forment les élémens de sa masse ; tous ces points seront animés de vitesses égales dirigées suivant des droites parallèles ; les forces qui les produisent seront donc aussi égales et parallèles entre elles, leur sonune repr^ntera la force totale qui agit sur le mobile ; d'où il suit que cette force est égale à la masse entière du corps, multipliée par la force qui anime chacun dé ses élémens. Si le mobile se meut uniformément, la vitesse de chacun de ses élémens est constante, et peut représenter la force qui la produit; ainsi, les forcer

dont ractiou est instantanée ont pour mesure le produit de la masse par la vitesse du corps sur lequel elles agissent. Ce produit est ce qu'on nomme la quantité de mouvement du corps, parce que c'est en effet la somme des mouyemens de toutes les parties matérielles qui le composent. Si le mobile se meut d'un mouvement varié quelconque^ la force accélératrice qui sollicite chaque élément de sa masse est représentée par la différentielle de la vitesse , divisée par Félément du temps ; les forces qui agissent d'aoe manière continue sur un corps matériel, ont donc pour mesure le produit de la masse du mobile par l'élément de la vitesse qu'elles lui impriment^ divisé par l'élément du temps. Ce produit est ce qu'on nomme spécialement force motrice ; on réserve le nom à.e force accélératrice à celle qui agit sur Funité de masse. Cette même quantité prend le nom de pres^ sion c[uand la force motrice agit sur un corps qui se trouve arrête par un obstacle , et qu'elle ne produit qu'une simple tendance au mouvement.

Lorsque l'on considère dans l'état de mouvement plusieurs corps liés entre eux d'une manière quelconque, on voit que le mouvement de chacun d'eux dépend à la fois de la for^e qui le sollicite, et de la réaction que les autres corps du système lui font éprouver. U suit de là qu'en général aucun de ces corps ne prend le mouvement qu'il aurait , s'il était libre, en vertu de l'impulsion primitive qu'il a reçue, et des forces accélératrices qui l'animent. Il faut donc connaître 1^ variations que ce mouveinent subit par la liaison du corps au système dont il fait partie, pour

déterminer le mouyement réel quidoitavoîrlieu. Cette

appréciation délicate a long- temps embarrassé les

géomètres^ et ils s'étaient contentés de résoudre cette

diiBcolté dans quelques cas particuliers, par des con-

àdérations trop restreintes pour rien apprendre sur

les lois générales du mouyement, lorsque d'Âlembert

établit le premier un principe applicable à toute espèce

desystème, quel que soit le mode de liaison des parties

(pi le composant, et propre à rendre facile la mise en

é({Qation de tous les problèmes relatifs à ses mouye-

mens. Voici Fénoncé de ce principe.

irSi l'on imprime aux différcns corps d'un système des .mouyemens qui se trouyent modifiés par leur Kaisoa mutuelle, il est clair qu'on pourra regarder ces nuMiyemens comme composés de ceux queutes corps prendront réellement, et d'autres mouyeraens qnisonidétraits; d'où il suit que ces derniers doivent être tek que les corps du système animés de ces seuls moayemens se fassent équilibre. »

Ce principe ^ également lieu, soit que le mouye-' ment soit produit par des forces qui agissent instan-* tanément sur les corps, ou par des forces dont l'action eit» continue; et toutes les questions de mouyqment peuvent ainsi être réduites à de simples questions d^éqoilibre. Cette manière de ramener les lois de la Bynamique à celles de la Statique, imaginée par d'Âlembert,. est extrêmement ingénieuse ; mais la difficulté de déterminer les forces qui doivent être détruites, et les conditions d'équilibre entre ces folies, rendait souvent l'application de son principe embarrassante. Pour éviter cet inconvénient, les géomètres >

qui se sont empressa de ladopter^ lont modifié d'une manière heureuse en l'énonçant ainsi :

çf Si l'on imprime à chaque corps d'un système un mouvement égal , mais dirige en sens contraife de celui qu'il doit prendre^ le système entier sera réduit au repos ; par conséquent il faut que ces mouyemess détruisent ceux que les corps avaient reçus ^ et qoTû» au)»ient su iyis sans leur liaison mutuelle. Ainsi > il doit y avoir équilibre entre ces difierens mouvemeos^ ou e^tre les forces qui peuvent les produire* n

€e second énoncé du même principe a l'aTantage d'éviter les décompositions de mouvement que le premier ex%eait, et d'établir immédiatement l'équilibre entre Im forces qiu agissent sur le système , et qui sont les données du problème > et les mouvemeos engendrés qui en sont les inconnues. Nous avons donnée dans le chapitre deuxième, les conditions d'équilibre dHw nombre quelconque de forces apfdiquées à un système de forme arbitraire ; il suffira donc d'y intro* duire les forces qui animent le système , et les mou^ vemens qui en résultent^ pris dans des directions cou* trogires, pour former les équations de son moirvement. Ces équations, jointes aux conditions dépendantes de la naturfî du système, fourniront toutes les données nécessaires à.Ia i^termination du mouvement de chaque corps, et il ne restera qu'à intégrer ces équations^ ce qui n'est plus qu'une simple question d'analyse.

21. Ces' notions admise^ considérous un système de corps réagissant d'une manière arbitraire les uns sur les autres, et sollicités par des forces accélératrices quelconques.

Soient m^ m', wf^ etc^ les masses des dîfférens corps du système ; x^f^ %^ ^^f^ ^f ete.» les coor-doinées rectangulaires qui détesmineut leur position req)ective; soient X, Y, Z, les trois forces aocélé- . nrtfieçs qui agissent sur Fnnité de la masse m^ paralr^ lèiement aux axes de ses coordonna ; mX, mY, mZ, seront les forces qui sollicitent le ocn^ps im dans la mime direction. Scneat fdl^i nff^ niH^ les foroea <{m vXac\\etA tri paraU^ement aux méoMS axes^ et im de sune-; désignons par/ le temps dont nous supposerons Télément i& constante LesTÎtesses^iuiapnnent le oorps Ày il là fin dW iiiitatttqueloMque, seront

i^ràentoes par ^, ^, ^; les forces qui ïe sôlli-

cîliiit^snwifeniiMaxes à^.x^ 4m y <A diçs jf» Sjçront

***^*^V*»/s* m^, et ces forces, enrertuda

Tadion des forces accââratrioes^ deviendront, dan# 1 instant smvant,

w.j-f-nfX.A, m.'£'+'mYl)it, m.-jj-^^nH.dî.

Hbus les aocrolssemens vérîtàl^es que prend païaUebnent aux axes CQ<Mrdo|inés Ig iritessQ du . corps m , Coalise de sa Saison avec les autres parties du système,

et qp'il 8^?git^ détenniner, éaat^ , ^, —} les

forces motrices effectives qui sollicitent le corps m, à la fin de l'instant dt, sont donc