m.(arY — ^-X) = o, 2,7?i.(zX — ^Z)= o

Les équations (D) deviennent donc, dans ce cas.

. m . {zdx — xâx) = c'. dt , 1 -^

La différentielle xdy—ydx représente le double défaire décrite autour de l'origine des coordonnées pendant l'instant £?^ par. la projection du rayon vecteur de m sur le plan des x et des y ; les différentielles làx — xdz et jrdz — zdy sont le double des aires décrites pendant le même instant par les projections de ce rayon vecteur sur les plans des xz et desyz. Les )nremiers inembres des équations précédentes repré^. sentent donc la somnpie des aires tracées par les pro-? jections des rayons vecteurs des différens corps du système sur chacun des plans coordonnés, multipliées respectivement par les masses de ces corps ; cette somme est par conséquent proportionnelle à l'élément du temps y et dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. Ce théorème constitue la loi générale du mouvement qu'on a nommée principe de la con'» seivation des aires.

Lorsque la seule force qui agit sur le Système est lattraction mutuelle des corps qui le composent ^ et

que par conséquent la force F est nulle j on peu dioisir arbitrairement l'origine des coordonnées, c le théorème qne nous venons d'énoncer a lieu pou tous les points de l'espace. Dans les deux cas, 1 principe des aires subsiste pour tous les plans que To peut mener par le point que Ton a pris pour Toragin des coordonnées.

Les aires décrites par les projections des rayon vecteurs de /ti, rri^ m% etc., sur chacun des plan coordonnés, sont évidemment les projections sur ce plans des aires décrites dans l'espace par ces mêine rayons. Ces projections changent de valeur selon k direction des plans coordonnés; et comme nous venons de voir qu'on pouvait choisir ces plans à volonté, ii y en a nécessairement un pour lequel la somme A ces projections, multipliées respectivement par ki masses m, m', m% etc. , est un maximum. ProposoâS' nous de déterminer ce plan.

Soient /, /'> T, les angles qu'il forme respectivement avec les trois plans coordonnés ; désignons p» L la somme des aires tracées sur œ plan par les pi«D« jections des rayons vecteurs des differens corps M système y et multipliées respectivement par leurs masses, somme que nous supposons être la fJss grande possible. On aura , (mr les propriétés cmmues des projections,

^.m.(xdjr — jdx) z= L cps /, 2.J7i.(ziir — • o:^) = LcosT, X.m.^jdz — zdj) = LcosT'.

En substituant aux premiers membres de ces équation»

leore valeurs cdt^ c'dty d'dly on aura trois nouvelles équations , d'où Ton tirera d'abord

L*=: c*+ €?'•-!- c"% et ensuite

COSi =

cosr=

Lesingles /, f, T, sont donc constans par rapport an temps ^, et le plan principal de projection reste toojimrs parallèle à lui-même pendant toute la dui^ du mouvement^ quels que soient les changemens survenus dans les positions respectives des corps du sjrrtème. Cest à cause de cette propriété remarquable que ce plan a été nommé plan invariable. La découverte de ce plan, que Ton doit li Laplace, peut être de k plus grande utilité dans la théorie du système da monde, parce qu'il sera facile de retrouver dans tous les siècles sa position, et qu'on aura ainsi un plan stable auquel on pourra i^pporter celle des corps câestes.

n est aisé de fixer i chaque instant la position da plan principal de projection, lorsqu'on tonnait, pour cet instant, les coordonnées de tous les corps du système, et les vitesses dont ils sont animés, suivant les

axes de ces coordonnées. En effet, soient x, j^, z, les

coordonnées de m dans un instant donné; 7-, -^ • ^. les composantes de la vitesse dont ce corps est animé ,

g6 THÉORIE ANALYTIQUE

dans le même instant; ^, j', z', —, ^, —^

les coordonnées et les vitesses correspondantes de m' et ainsi de suite; on aura, pour les valeurs des troi constantes c, c\ c",

Si Ton prend le plan invariable déterminé par le équations {g), pour l'un des plans coordonnés , poni celui des x et des jr, par exemple , les angles t etl seront chacun de loo"; on aura donc alors cosr=o, cos /"= o , ce qui exige que c* et c" soient nuls. Les deux quantités i c% f c", multipliées par le temps /, représentent les sommes des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des diSerens corps du système sur les plans des xz et des^js, et multipliées respectivement par leurs masses. Le plan invariable jouit donc encore de cette propriété singulière , savoir : que cette somme est nulle par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire , puisque la direction des axei des X et des^ est arbitraire. Il est donc naturel d^ choisir ce plan pour Fun des plans des coordonnées de même qu'on rapporte ordinairement leur origine au centre de gravité du système, l'égalité à zéro de deux constantes c^ et ^ devant rendre en effet le équations dans lesquelles entrent ces constantes beacE coup plus faciles à traiter. Nous en verrons bientc des exemples.

24. Les principes de la conservation des aires et du mouvement du centre de gravité dérivent naturellement des équations (B), dont ils ne sont, pour ainsi dire, qu'une simple traduction; mais il existe une autre loi générale de mouvement, nommée principe de la conservation des forces vives j qui, n'étant plus comprise dans ces équations, exige que, pour la dé^ montrer, on considère sous un nouveau point de vue le mouvement d'un système de corps.

A cet effet, nous remarquerons que si, aux forces qui sollicitent lun quelconque des corps qui le composent, on ajoute les réactions qull éprouve de la part des autres parties du système, considérées comme des fcMTces qui agissent sur lui , on pourra faire ensuite abstraction du reste du système , et les mouvemetis de ce corps seront déterminés par les équations qife nous avons trouvées pour les mouvemens d'un point matériel libre.

Soient donc mX, /tiY, mZ, les composantes dvA forces qui agissent sur m, ces forces étant estimées comme nous venons de le dire ; soient de même m'X', m'Y', m'Z', les forces qui agissent sur m\ et ainsi de suite. On aura , pour déterminer les mouvemens des corps iw, ni, m", etc., le système d^equations différentielles suivant :

m.— = /ii,X, m,-^z=:mïy m. — = mZ, de ' c/i* ' de"

etc.