WP* = c -f- 2^(a:, /, Zy x\ y, z'y etc.). [q

Cette équation est semblable à celle que nous avons trouvée n^ i3, en considérant le mouvement dur point matériel isolé, elle conduit à des résultat analogues.

On appelle force vwe d'un corps le produit de & masse par le ùarré de sa vitesse. Il résulte de Téquatioi précédente que si le système que Ton considère n'es sollicité par l'action d'aucune force accélératrice, 1 somme des forces vives des corps qui le composent ou la force vive totale du système est constante, e que, s'il est- sollicité par des forces quelconques, l'ac croissement de la force vive du système, en passât d'un point à un autre , est indépendant des courba

déentes par ces différena corps; cet accroissement est nul, et la force vive totale redevient la même toutes les fois qae le système reprend la même position. Ce théorème constitue la loi de mouvement qu'on a nommée principe de la conservation des forces vii^es.

[L'équation (ç), d'où l'on déduit le principe que nous venons d'établir^ suppose que la fonction S.w.(X/ir + Yi/^-f- Zdz) est une différentielle exacte. Cette condition est remplie, ainsi que nous l'avons fait voir n* 1 3 , lorsque les composantes X, Y, Z , etc., proviennent de forces attractives dirigées vers des centres fixes , et représentées en intensité par des fonctions de leurs distances à ces centres. Elle le serait encore si ces composantes résultaietit de l'attraction mutuelle des différens corps du système, cette attraction étant supposée s^exercer proportionnellement animasses, et suivant uue fonction quelconque de la distance.

Pour le faire voir, soit;^ la distance des deux eorps ni $t m' du système, en sorte qu'on ait

p-—(x'—xy+(y'^jrY+(z'^zy.

Soit P, une fonction donnée de p, représenfaut laction réciproque de deux élémens d€s masses m etm'f cette force étant dirigée suivant la droite qui joint ces points ; mV sera la force accélératriée àém provenant cle l'action n/; mP, la force accélératrice de m' proveluint de l'action m. La première donnera suivant les atiis des Xf des^ et des z les trois composantes

loo THÉORIE ANALYTIQUE

La seconde lès trois composantes

En ne considérant donc que Faction mutuelle de i et m', on aura

:E.m.(Kdx'{'Yify^rhZdz)=:—'mm'.Fdp,

quantité qui est une différentielle complète , puisqu P est fonction de p.

Ainsi réquation (y), et le principe des forces vîvi que nous en ayons déduit , ont lieu dans le mouve ment de tout système de corps soumis à leurs actior mutuelles et à des attractions dirigées vers des centre fixes, ce qui comprend à peu près toutes les force de la nature.

^. Il nous reste à démontrer une dernière loi gène raie qui s'observe dans le mouvement d'un système A corps f et qu;^ a nommée principe de la moindn action. Pour cela, reprenons l'équation (;?); en la ^i férenciant par rapport à la caractéristique J^, on aura

Biais si après avoir multiplié les équations (iw), h première par cTor, la seconde par jy, la troisième par i'Zf et ainsi de suite, on les ajoute^ on trouve

Partant ,

DU SYSTÈME DU MONDE. »oi

Soient cfe rélément de la courbe décrite par m, ds' rélément de la courbe décrite par m', etc., on aura

çdl z=z dsj ds =i Vdx* + dj* -+- dz%

v'dt = ds', ds'=2 \/daf^ + dy^ -f- dz'*,

etc.

Par conséquent

Mais en différenciant l'expression de ds, on a

Et comme les caractéristiques J^ et d sont indépendantes ,

-r.™.(^'.<rx+$.Jr+4^-)- T*^

Ajoutons les deux équations (a) et (b)^ en remii^ <iuaat que

^.m.ds.J'v ^ ^.m.v.dSs = :&.m.<f'.uds,

on aura

^t eu intégrant, ce qui revient à supprimer la carac- ^ristique d devant la parenthèse ,

Les points extrêmes des courbes décrites par les corps du système étant supposés fixes y les valeurs de S^x , Jy, J'z, qui s'y rapportent , sont égales à zéro ; on a donc alors

^•J^.fm^ds = o;

c'est-à-dire que la fonction Z . fm . i^ds ou Z . fm . i^*di est un minimum; ce qui constitue le principe de l^ moindre action dans le mouvement d'un système de corps. Ce principe , qu'on avait long-temps cherché à déduire de considérations métaphysiques, résulte directement, cqmme on voit, des équations diflFérentielles du mouvement, et l'on peut Ténoncer ainsi : la somme des forces vives d'un système de corps , pendant le temps qu'il emploie à passer d'une position à une autre , est mo minimum. Si les corps ne sont sollicités par aucune force accélératrice, la force vive du système, pendant un temps déterminé, est proportionnelle à ce temps; le système parvient donc alors, d'une posi tira donnée à une autre ^ dans le temps le plus court.

26. Nous avons, jusqu'ici, regardé comme fixe l'ori^ gine des coordonnées auxquelles nous rapportions h position des corps du système, dont nous considérions les mouvemens ; mais il est aisé de démontre que le principe de la conservation des aires , celui d. la conservation des forces vives, et celui de la moindc action , auraient encore lieu en supposant à cette orl gine un mouvement recttligne et uniforme dans Yet

DU SYSTÈME DU MONDE. io3

pace. En effet, soient x,Y,z,]es coordonnées de cette origine mobile • par rapport à un point invariable quelconque , pris pour Torigine des coordonnées x , y 9 z, x', y, etc. j si l'on désigne par x^^y^j z^, af^p /p z'^ , etc., les coordonnées des corps m, m', ni', etc., relatives à la première origine , on aura

x'=xH-<, y=Y+y,, z'=:z + z\, P''^

etc.

Différencions deux fois ces valeurs, et substituons les valeurs résultantes dans les siic équations (B). Les trois premières deviendront

%is, en vertu du mouvement rcctîligne et uniforme suppose à l'origine des coordonnées, on a

dF = ''^ dF^""^ IF^""'

Les trois équations précédeut^s se réduisent donc à

celles-ci :

ËSectaons les mêmes substitutions dans la quatrième \ des équations (B). On aura d'abord

==2.w,{Yjc^-~X;^^)-f-x.2./wY-~Y.2./iiX j

io4 THÉORIE ANALYTIQUE

équation qui , en vertu des trois précédentes, se réduit à

On trouvera de même

Les six équations qui déterminent le mouvement d'un système de corps, conservent donc absolument la même ^ forme , soit qu'on suppose fixe ou mobile l'origine des coordonnées ; il eu serait de même dés équations (m) du u"* 2^; on pourra donc, dans les deux cas, en déduire par les mêmes raisonnemens , les principes de la conservation des aires et des forces vives, ainsi que le principe de la moindre action.

Voyons maintenant ce que devient, par cette transposition de l'origine des coordonnées, le plan que nous avons nommé plan ini^ariable. Pour cela, reprenons les trois équations (E) dont la considération nous a conduits à la découverte de ce plan; si, dans ces équations, on substitue pour or, j", z, leurs valeurs (o), en remarquant que par l'hypothèse du mouvement rectiligne de Torigine on a

\dï — Y^x = o, x(iz— •zrfxsso, zdY — Ydz = o; on trouvera

l,.m.(z^dx^ — ^,dz^) = c'. dt,

DU SYSXÈME DU MONDE. io5

Les trois constantes c, c\ c", déterminent la position du plan invariable ; d'où Ton peut conclure que ce plan conservera toujours des directions parallèles \ pendant le mouvement de l'origine des coordonnées. I Nous avons vu que lorsque le système ïi'est soumis à Factioiv d'aucune force étrangère , le centre de gravité était transporté dans l'espace d'un mouvement rectiligne et uniforme ; il suit donc de ce qui précède , I que si l'on fixe à ce centre l'origine des coordonnées, I les principes de la conservation des aires et des forces f vives auront encore lieu par rapport ii cette origine , et le plan invariable passant constamment par ce point y sera emporté avec lui dans le mouvement général du système y en; restant toujours parallèle à lui-même.

Le principe de la conservation des aires et celui des forces vives peuvent se réduire à de simples relations entre les coordonnées des distances mutuelles \ des différens corps du système. En efiet, prenons pour ! origine des coordonnées le centre de gravité du système; les trois équations (E), n* :25, peuvent s'écrire ainsi :

l^m\ \y—x),{dy—dy) — {y'—y),{dx'—dx)\ ,

! ^mmf. \Xz— z).{dx'^dx) — (/— x).{dz'— dz)] ,

■ l^mm' . [Çy^— ^) . (d/— dz) — (z-^ z) . [dy'— dy)'\ ^„ ^^

équations qui ne dépendent que des coordonnées des dislances mutuelles des corps.

io6 THÉORIE ANALYTIQUE

Les premiers membres de ces équations représentent la somme des aires tracées sur chacun des plans coordonnés par les projections de la droite qui joint deux corps du système^ dont Tun est supposé se mouvoir autour de l'autre, regardé comme immobile ; chaque aire étant multipliée par le produit des deux masses que Ton considère , et divisée par ia somme des masses du système.

Il suit encore de ces équations, que le plan qm passe par l'un quelconque des corps du système , et par rapport auquel la fonction précédente est ua maximum , est parallèle au plan passant par le centre de gravité, et que nou^ avons nommé plan maximum des aires. Ce nouveau plan reste également toujoms parallèle à lui-même pendant toute la durée du mouvement, et les seconds membres des équations précédentes sont nuls par rapport à tout plan passant par le même corps , et qui lui est perpendiculaire.

On peut donner à l'équation (;?) du n* 24 cette forme ^

= const. — 2^.m.2,.fmm\ fdj»

Le premier membre de cette équation exprime le ^rré des vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres, en les considérant deux à deux , et en regardant l'un des deux conune immo^ bile , chaque carré étant multiplié par le produit des deux masses que l'on a considérées»

Nous terminerons ce chapitre par une remarque

importante sur rextension à donner aux quatre prin^

clpes que nous venons de développer. Celui de l'uni-

formité du mouvement da centre de gravite et celui

de la conservation des aires subsistent, quelle que

soit l'action que les corps du système exercent les

uns sur les autres, même en se choquant, ce qui les

rend très utiles dans beaucoup de circonstances. Mais

il n'en est pas de même du principe de la conservation

des forces vives, et de celui de la moindre action;

i pour qu'ils puissent subsister, il faut que les variations

'- des vitesses des difierens corps du système s'opèrent

par des nuances insensibles; ils n'auraient plus lieu

: à le système éprouvait quelque brusque changement

I dans ses mouvemens, soit par l'action mutuelle des

corps qui le composent, soit par la rencontre d'obs»

tacles extérieurs^

io8 THÉORIE ANALYTIQUE