CHAPITRE V
Du Mouvement dun corps solide.
tk'j . Les six équations que nous avons trouvées dans le chapitre précédent, pour déterminer les mouvemens d^un sysf ème de points matériels liés entre eux d'une manière quelconque y peuvent aisément s'étendre àd Cas où ce système forme un corps solide. En effet, il suffit alors de supposer que les distances mutuelles des parties du système sont inaltérables, et de substituer aux masses /w, m\ ni', etc., les élémens infiniment petits du: corps que Ton considère.
Soit donc dm un de ces élémens; désignons par X, Y, Z, les forces accélératrices qui agissent sur lui, parallèlement aux trois axes de ses coordonnées rec- . tangulaires x^jr^z^el remplaçons dans les équation^ • (B) du n"" 2 1 , le signe 2 qui désigne des intégrales j finies, par le signe S, relatif aux intégrales ordinaires; ces éc[uations deviendront
S.-y^ .dm=:S.lLdm, S .-j^ .dm:=zS .Y dm ,
S . -TT • dm = S • Z dm.
S.f- *^* — ^.dm = S.(2X — xli^.dm.
ie signe intégral S se rapportant à la molécule dm^ et devant s'étendre à la masse entière du corps.
Ces six équations serviront à déterminer complètement les mouvemens d'un corps solide de figure quelconque. Les trois dernières renferment le principe des aires. Si le corps était retenu par un point fixe^ elles suffiraient pour déterminer son mouvement de rotation autour de ce point.
Si y au lieu de prendre arbitrairement l'origine des coordonnées^ on fixe cette origine au centre de gralité du corps ^ qu'on désigne par x, y, z, les coordonnées de ce points par x', y ^ z\ les coordonnées de rélément dm rapportées au centre de gravité , en \ lorte qu'on ait
I j:=x + j^, jr = Y+y, z — z^z'i (/)
: qu'on substitue ensuite ces valeurs et leurs difFét^tielles dans les trois premières équations (a) , en ^gnant par m la masse entière du corps ^ et en obseiVant que x, y, z^ étant les mêmes pour tous les élémens , on a
c ûf*x , d'x o d^Y T d'Y
-7- • am = m • -rr dt^ dû
cpe de plus^ par la nature du centre de gravité, S.a/J/w = o, S.ydmz=:o, S.z'dm=:o; ^ ce qui donne
1 1 o THÉORIE ANALYTIQUE
Ces équations deviennent
On déterminera par leur moyen le mouTement da centre de gravité du corps. On voit que ce point se meut dans Tespace comme si la masse entière da corps y étant réunie , toutes les forces qui solliciteilE le corps lui étaient immédiatement aj^liquées. Getle remarque est analogue à celle que nous ont fournies^ "D? 2a, les équations différentielles du mouvement du centre de gravité d un système de corps.
Substituons de même , dans les trois dernièref équa-* ' tions (a) y à la place des variables x,y, z, et de Icurt , différentielles, leurs valeurs tirées des équations {/). ^ La première de ces trois équations deviendra ainsi ;
Mais, X, Y, z, étant les mêmes pour tous les élémens , du corps , on a
S . (xd^Y — Y^'x) .dm =2 m. (x^'y — y^'x) , S.(xY — YlL).dm = x.S.Ydm — Y.S.Hdm,
et enfin,
S.{x'd^Y—yd''x + xdy'—\d^x').dmz=zd*Y.&.x'dm — d^.S.ydm + x.S.dy^ dm — Y.S.rf*a:'. dm*
Les variables \3c', ^', s', se rapportant au centre d«
gravité de la masse m , pris pour origine des coor-* données^ tous les termes da second membre de cette équation scmt nuls; la quatrième des équations (it) devient donc simplement
Da trouyeraLt de même que les deux dernières équa-
tioDS (à) se réduisent aux suivantes :
if
Les trois équations précédentes sont les mêmes que celles qui détermineraient les mouvemens du corps autour de son centre de gravité si ce point était immobile; Or les équations (b) font connaître à chaque instant la position du centre de gravité dans l'espace; on pourra donc le regarder comme un point fixe autour duquel le mobile est obligé de tourner, et en déter- '~ minant la position du corps par rapport à ce point , sa situation dans l'espace sera entièrement fixée. Quelles* que soient dope les lois du mouvement d'un corps, on pourra toujours le décomposer en deux autres mouvemens, l'un de translation relatif à son centre de gravité , l'autre de rotation autour de ce point. Envi-* sages de cette manière , les mouvemens les plus comp&piés deviendront faciles à saisir, et c'est ainsi que BOUS considérerons les mouvemens des corps célestes»
