On peut donner aux troiâ dernières équatloté (a

lia , THÉORIE ANALYTIQUE

une forme particulière qui a Tavantage de faire con naître plusieurs propriétés importantes du mouvemet de rotation. Pour cela, on rapporte les coordonnéi de lelément dm à trois nouveaux axes rectangulaire fixes dans l'intérieur du corps et mobiles dans l'espace en sorte qu'il suffit de connaître à chaque instant h position de ces axes , pour assigner celle du solide.

Plaçons l'origine des coordonnées au point fixe , différent ou non du centre de gravité, autour duquel le corps est obligé de tourner, et soient a?', J"', 2', leî coordonnées de dm , relatives aux nouveaux axes qui nous considérons j on aura, par les règles ordinaire de la transformation des coordonnées,

y = aV + Vf + c^V, \ (i)

Dans ces équations, a,b,c représentent les cosinus des angles que fait respectivement l'axe des x avec les axes des x' des y et dçs / ; a', Vj c\ les cosinus des angles que forme l'axe des^ avec les mêmes axes, et enfin «% Vy c^y les cosinus des angles que fait respectivement jivec eux l'axe des z.

Dans les deux systèmes de coordonnées, le cam de la distance de l'éiérnent dm» à l'origine est égal à \ somme des carrés des trois coordonnées qui déterminent sa position, c*est-à-dire qu*on a

Cette consîdératioi]^ donne entre les neuf quantité

DU SYSTÈME DU MONDE. n3

a, h, c, a', k', c, a", b', c', les équations de condition suivantes : ....

«•4- a" + d" =1, âA + a'b' + aV ss o, \ - v.

*•+*'• 4- *'•= I, «c + tf'c' + oV =5 o, l (m) i-^. c'» + c'* =1, bc -\- b'c' + iV = o. )

Réciproquement pour déterminer x' ,y y z' eu fonction de ;r,^, z, on aura

= or -(- a'jr -f- o's ,

= bx + b'f + b'z.

z=.cx •\- dy -h c'a.

i D'où il est aîsé de conclure que les coefficiens tiy a\ if y etc. y sont encore lîës entre eux par les six

équations

a»4- b^ ^- c* = I , aa! + hV + ce' = o, fl'«^ ô'^^- c'*= I , /w" + hW + ce" = 0, J^(/i) d^ + y'* + c"* = I , a V+ *'*" + dé* = o.

Ainsi donc , des neuf quantités ajhyC^alyh\ d , d'y V'y d', trois seulement sont arbitraires , et les six autres peuvent être regardées comme déterminées par les équations de condition (m) ^ ou les équations (n) qui leur sont'équivàlentes.

Enfin ^ si ^ par le procédé ordinaire de l'élimination y on tire des équations (i) les valeurs dé x'y jr' et z', en fonction de jc , j* et is , et qu'on lès compare à celles de ces coordonnées qui résultent des équations