Tome L

ii4 THÉORIE ANALYTIQUE

(a), on aura, entre ces mêmes quantités ^ ces nonvelles relations ,

hz^d'd^a'd', b'=iac"—a''c, Wz=za'c—ac\]{i c^dV-^dV, d^J'b^aV, d'^aV—dh.

Comme il n'y a que trois des coefficiens a^h^ c^ d^ h\ dj d'f A", c", d'indéterminés, il est souvent plus commode d'exprimer ces neuf quantités en fonction de trois autres indépendantes entre elles. Ec effet , la position des trois plans que forment les axei des nouvelles coordonnées est déterminée lorsqu'oi connaît l'inclinaison d'un de ces plans , de celui de x^y^ par exemple, sur celui des xj, et les angle que forme avec les axes des x et des x' l'intersectioi de ces deux plans. En désignant donc par fl le pre mier de ces angles , le second par «4/ , et le troisièm par ^ , on trouvera aisément , par les formules de l Trigonométrie sphérique,

a = cos6.sin'v|/.sin ^ + cos-vl^.cos^, h = cos fl .sin %j/ .cos ^ — cos •>(» . sîn (p , c == sinô.sin%|/,

dz=i cosd.cos^'ssin ^— - sin '\[..cos^, 6^= cos0.cos%|/.cos^ + sin«>|».sin ^ ^ d=i sin6»cos>P, a"= — sin d.sin ^ ,

i"=— «ihfi.cos^,

DU SYSTEMS DU MONDE. tiS

S] Ton substitue ces* valeurs k la pince de a^ è, c, etc. , dans les ëcpiatîons de condition précédentes ^ on verra que ces équations sont identiquement satiàj^ hïteSf et qu'il n'en résulte aucune relation etitré làf angles ^, *>!* et 6.

2g. Cela posé; reprenons les trois dernières équa^ ti(ms(a). Si, après les avoir multipliées par fft/on;l0s intégré , et que , pour abréger, on représente par M , H', M'', la somme des momens des forces qui agissent sur chacun des élémens du corps, et qui se rapportent respectivement aux axes des x, des^ et des z, ce qui donne

ou aura

s^^Ji=ji±ydm = paf.dt, ^ (A)

^^^xda-ydy^ = /M'', dt}

le signe S se rapportant à l'élément dm, et le signe/ uniquement au temps t.

Maintenant, de ce que les axes des o^, deis y et des z' sont supposés conserver pendant toute la durée du mouvement la même position dans Tintérieur du corps, il résulte que les coordômiées j/^ f^r ^ «erout indépendantes du temps t, tandis que les quantités a, fc, c, a', V, dy d'j î", d'^ au contraire, varieront ^vec lui. Si Ton diflerencie donc, dans cette hypo*

Ii6 THÉORIE ANALYTIQUE

thèse, les équations (i), et qu'on substitue ensui

pour,/, s, -^, Tj, leurs valeurs dans là premièi

des équations (A) , on aura

c r/a'da'—a'da\ ,. . /V db' — V db'\ ,. . /c'dc'-c'dc'\ ,. . /ddh'—h'dd-\-h'da'—a'db'\ . ,

^\ — di — )'-^\ dt r^

/a'dc'—c'da'+c'da'^a'de'\ ,,

Si , dans cette équation , on remplace {i , d', V , etc. par leurs valeurs ( /) données n" 28 , qu'on fasse pour abréger,

cdb-\^dl/+<^'db"z=s—bdv—h'dc'-^y'dc'=zpdt, adc+dd(^-\-d'dc"==^cda-c'dd^c"dci'z=qdt , ) {} bda^b'dd+b"dii'=^—adb—ddb'-.a"db"= rdt ;

qu'on suppose de plus,

A=S.(y+«'*)-<*»» B=S.(*'»+iï").rfm, C=S.(*'»+/*)<*«

F«=sy«'.f;i», &=s.«v.rfi«, n=s.K'y.dm,

on trouvera , après quelques réductions , a . (A;» — G/— %) + A . (By — Fr — H/»)"»

On aurait ^ par une analyse semblable ^

a.{hp — Gr— %)+*'.(%— Fr—H;>)

+ c'.(Cr— F^

d'. (ip Gr — %) +*". (B^— Fr — H/»)l