ir".(Cr— Fy— .G
En faisant , pour simplifier,
A;; — Gr— %=P, B7 — Fr— Hp = Q,
Cr— Fy — G;> = R, ces équations devîeanent
Pour faire disparaître les quantités a, b, c, etc., je différencie ces équatious, et je les ajoute après avoir multiplie la première par a, Ia seconde par a'^ la
tr(»sième par a'; je trouve ainsi ,
I rjq+ y . R = aM H- a' M' -f- <<"M". ( i)
«le multiplie les mêmes équations différentielles^ la première par ^^ la seconde par â'^ la troisième par ^'; je les ajoute ensuite^ et j'obtiens
^^+r.T^p.K=zbM + b'M+b'M\ (a)
[ Enfin^ j'ajoute les mêmes équations^ après avoir tûiilti|>lié la première par c, la seconde par c', la troisiènae par ^% et je trouve
^^^^.p + ^.Q — cM + i^'M'+c'MT. (3)
Ces trois équations , qui ne sont qu'une simple transformation Oéà éqtiatlônâ (A), âérviiTônl à défenuine' complètemJBiil'le noiOwrement de rotation du corps Leur intégration donnera les valeurs des quantité p, q, r, et en les substituant dans les équations (p) ces éqiiatipi^s^ réunies aux six équatio^£? de condition (/7^)^ donneront, par une nouvelle intégration, les valeurs des neuf variables a, b, c, a^, b\ c\ a", i", é\ On connaîtra donc, \ chaque instant, la direction des axes mobiles, dté off^ dos^ et des £^; et comme leur sitnatioà d^nsl'in teneur du COrps fst supposée donnée, la positioii du mpbi^ei sera entièrement dé-? terminée.
^ Nnnsayon^, juaqu'içi, regardé U positiop de ces ti?oiâvaii««td«i^riat^eti]: du co^^ comme entière* ment arbitraire, et iiO« formules oAt, à cet égajrdt toute la généralité possible; mais les équations (i); (2),. X3) J^eïmeut une Âu-me beaucoup p)ua simple, et qui facilite leur intégration dans un grand nombre de cas ^ lorsqu'au dispose des quantités a, d, c^ d^ Vin^i\d^i.W^ n^, dont trois sont restées indétenni^ nées n"* 28 , de manîèfè là sâti^&ire aux é^natîODl
suivantes :
S.^V. J/n = o, &.x'i^.dm=o, S.^y. iroiatto;
C6>qai«st toiyouTspossiUe, commit nous le verrons tduj; à l'IifuMr Im pcfsition des axeR des x', é^y ^ des z' est alors entièrement £xee, et ce» axdS'ft'ap*'
pellent axes principaux du corps. Dans ce cas y les trois quantités F^ G, H^ étant nulles , oa a Vzsaïkpy Q=By, R = Cr, et les équations (i), (a), (5) se réduisent aux suivantes :
Nous avons désigné par M, M', W^ la simriiie dSss momens respectivement relatifs aux axes des or , des y et des Zf àe% forces accélératrices qui agissent sur chacun des élémens du corps. Par une propriété coak nue^ oh aura la somme de ces mêmes momens rap^ portés aux axes des x\ des jr' et des z% en ajoutant les trois quantités M , ST, M", après lès avoir multipliées par les cosinus des angles que forment respectivement les nouveaux axes avec les premiers. Ea Bommant donc N , N', N'', ces trois sommes , on bxltsl-
tes trcds écjuatîoïis (ft) deviendront ainsi,
B*f^ 4- (A — C).rp.dt =s N'.rff,) (C) Cdr-Ç (B — A).pg.dt= ^'.dt.
Cf«tt MUS eette fonne ^^e nous emploierons ces
éfpi^tions, dans la recherche des mouTemens de rotatlcm des corps célestes.
Ces tix)is équations donneront , en les intégrant ^ les valeurs des trois inconnues p, q, r, et celles-^ feront connaître ensuite^ comme nous l'avons dit n* 2g^ la direction dan^ Fespace'des trois axes principaux qui passent par l'origine des coordonnées ; et^ par^ conséquent^ la position du corps. Mais^ au lieu de recourir, pour cela, aux équations (;?), et aux équations de condition (m), il est plus simple de substituer dans les premières, pour a, b, c, etc.; da, dé, etc. , leurs valeurs en fonction des tirdis quantités indépendantes ^^ 4> ^' données n^ à8, de mzr joière à nWoir plus qu'un seul système d^éqùations k considérer. On trouvera ainsi, après quelques réductions, ^*'' ''■
'te
cos^.sin dk ^ -^ sin^ ;^ ==yrf^^'T'(^^
d(p — cos8.<24= ^^^i y M
et l'on déterminera par ces équations les valeurs d^ trois angles (P, 4, 6, lorsque celles de p, i/,r seront connues.
En substituant les mêmes valeurs, dans les exprès^ sions des trois quantités N, N', N", elles deviendron des fonctions^des angles ^ , 4 # S- La recfaei^ehédu nl6u vement d'un corps solide, de figure quelconque, au* tour d'un point fixe cpnduit donc finalement à si: équations différentielles du premier ordre entre • le 3Îx indéterminées y;, ^,0 ^^ 4^ ^ ^^^ variable ^.B
éliminant les trois premières quantités; au moyen des équations (c) et de leurs différentielles ^ on n'aurait plus à considérer que trois équations différentielles du I second ordre entre les trois angles ^f'^f^etle temps t, I Cest sous cette forme que d'Alembert a donné les équations du mouvement de rotation; mais il est plus ; simple de s'en tenir aux six équations du premier
[ ordre (C) et (c).
I 3i. Les trois équations (C) supposent que, l'on a.
S;y^';rf/7i=o, Si/z'.^/7ï=o, S.x'z'^dm=o. (o)
. Nous allons démontrer qu'il e3t toujours possible .de déterminer les trois angles (p , >(/ ^ â qui fixent la .position des axes des a:', des ^' et desis' par rapport aux axes.fixçs des x, des/ et des z , de manière à satisfaire à ces trois conditions. En effets si dans les équations (2) qui donnent les valeurs des coordonnées x', /et^len fonction des coordonnées jc,/, j3, on substitue pour a, b, c, etc., leurs valeurs en .^, 4/, 6, on .aura
jc' = a:,(cos 9 .sin 4 «sin ^ + cos 4 «cos ^) +7.(c<^ô,cosAJ/.sin^ — isîn^-cos^) — z.sinQ.sin^,
y s= X . (cos 9 . sin n}/ . cos ^ — cos 4 • sin ^ ) I +7.(cosO*cos4*cos^4-sin%[,.sin^) — z.sinG.sinip,
z'=a:.sin0.sîn^-Hy.sin9.c6S'4/ -f-i.cos9.
Si l'on ' substitue ces valeurs dans les trois équations (o), et qu'en fasse pour abréger
^=S-(/+«')-^^> l^=S.{x'+z^).dm, C=S.{x'+y)>dm,
Les six quantités A^ B , C, F, G^ H étaxkt des constantes qui dépendent de la nature du corps et de k direction des axes des a?, désuet des is^ que l'on a choisis arbitrairement^ il est £su:ile de se containcre que ces équations prendront la forme suivante t
sîn 2^.L+cos 2Ç>.M=o, ^
cos <p . N — sin cp . P = o , > (ff)
sin^. N+ cos^ . P =oj3
L 9 M , N , P représentant des fonctions des angles 4 ; ^> et des constantes A^B^C^F, G^H indépendantes de l'angle (p.
La première de ces équations détermine l'angle ff et il est évident que les deux autres ne peuvent avoir lieu en même temps^ indépendamment de toute valeur donnée kfp, k moins qu'on n'ait séparément
Si l'on met à la place de N et de P les valeurs que ces lettrés représentent^ on aura les deux équationssuivantes :
— cos2d. (F.cps4 + G . sm4) = ^i
•ia^.[](A— B),siii4»co«-4» — H(cos*4"^sin*4)3
-J- cos tf . (F . sin 4 — G. cos 4) = o .
Ces équations serviront à déterminer les angles 6 et >|/- Si Ton' tfre de la première la valeur de tang.^O^ de U seconde celle de tang 6^ et qu'on les substitue dans b formule
^ I — taDg*« '
BU SYSTÈME DU MONDE. i23
que pour abréger on fasse taiig '^sssUfCe qui donne
après led réductions convenables , on trouvera TëquatioQ suivante du troisième degré
[(A— B).i/— H.(i-.tt-)]',[(AG~CG+FH)*« ^ BF+CF~GH] ~ (Fi«+G) . (Gei^-F)* = o.
Cette ec[aation donnera au moins une valeur réelle pour u; on en tirera une valeur semblable pouf fmgle 4 ^ et en la substituant dans l'une des deux ^fiatioùs {f^fOtk aura la valeur correspondante de 9. Concluons de là qu'il est toujours possible de trou» ter pour les angles ^^ 4' ^ ^^ système de valeurs léelles qui satisfassent aux équations {q) , et que par oûoséquent il existe dans tout corps solide un système âfutes par rapport auxquels on a
^.x^ ^dni:=:o, S.x'z' .dmz=:o, S.j^V.^ = o.
L équation qui détermine u étant du troîéîème degr^, on pourrait croire qu'il existe dans chaque corps frois systèmes d^axes semblables ; mais il faut obser- ^ que u représente généralement la tatigente de 1 angle compris entre Taxe des or et lés intersections du plto des a: f, avec les plans relatifs aux coordon- ^ off^y et r', puisque rien n'indique en effet lequel 4è Ces angles on a considéré , et que les équations pré- <^édentes sont également satisfaites loisqu^ôn change les un$ dans les autres les trois» axes des x\ des^'et
des2^ La valeur de udoît donc être donnée par une équation du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, et il n'en résulte généralement qu^un seul système d'axes.
.. . Ces axes^ dont on doit la connaissance à Euler, ont été nommés, comme nous YsLYons dit, axes principauûc; on les appelle aussi axes naturels de rotation, à cause d'iine belle propriété du mouvement qui leur est particulière , et que nous ferons bientôt connaître.
32. On nomme moment d'inertie à! un corps par rapport à un axe, la somme des élémens dont ce corps se compose , multipliés respectivement par le carré de leur distance à cet axe. Ainsi les trois quantités q«e nous avons désignées n^ 29 par A, B, C, représentent les momens d'inertie du corps qui se rapportent respectivement aux axes des :c', des 7^ et des «'.La valeur du moment d'inertie varie avec la position de l'axe auquel on le rapporte; mais lorsqu'on connatl les momens d'inertie relatifs aux axes principaux, il est facile d'en conclure le moment d'inertie relatif à un axe quelconque.
En effet, soient comme précédemment a^,y eii les coordonnées de l'élément dm relatives aux troîi axes principaux , et soient^, j^ et isles coordonnées du même élément rapportées à des axes quelconques ayant la même origine. Proposons-nous de déterminer le moment d'inertie relatif à l'un (de ces nouveaux axes, à celui des ;3,par exeipple.Si l'on désigne par C ce moment , on aura
DU SYSTÈME DU MONDE. laS
i Ton substitue dans cette formule pour. a? et/ leurs aleurs (i), on aura, en yertu des équations (m) ,
C = (i — a"O.S.a/*rf/ii + (i — V!').&.f^dm
Mais a"* + b"^ + c** = i ; en substituant pour 1 — «'■, I — - b^^y 1 — c"*, leurs valeurs , iFéquation précédente donnera
Les trois quantités a% V^ c' représentent les cosini^des angles que forme l'axe des z avec les axes des x\ de»/' et des z^ : le moment d'inertie d'un corps par npport à un axe , quelconque passant par un point donné, est donc généralement égal à la somme des momens d'inertie relatif aux axes principaux qui se croisent en ce, point, multipliés respectivement par. le carré du cosinus que forme avec eux Taxe donné.
Le plus grand et le plus petit des trois momens d'inertie A, B , C, seront un tnaximumeX un minimum relativement à tous ceux qui se rapportent à des axes passant par l'origine des coordonnées jc', /', z\ En ^ety soit A la plus grande, et G la plus petite des trois quantités A, B, C, en mettant i — b"^ — c^* à la place de a'* dans la valeur de G, on aura
Les diflFérences A — B^ A — C, sont positives par hjpothèse; donc C est plus petit que A, quelle que
126 TBÉ(»IIE ANALYTIQUE
ftoit la valeur de V et c'^ Si Ton donne à la valeur deC cette forme
on voit au contraire que Q! est toujours plus grand
que C.
Si les deux momens d^inertie A et B étaient ^aux,
on aurait
Cette valeur ne dépendant que de c'^ le mom^ d^inertie est le même par rapport à tous les axes foimaot un même angle avec Taxe des z\ Les momens d'inertie relatif à tous les axes compris dans le {Jaa des afjf^ qui font un angle droit avec l'axe des V^ sont donc akNS \ égaux entre eux ; mais , dans ce cas , tout système d'aMi ; composé de l'axe des z' et de deux axes perpendicubmi ^ entre eux et à cet axe^ forme un système d^axes priœ^ paux f c'est-à-dire que Ton a par rapport à ce systèmt -
S.xjr.dm
O9 S.cirz.iim=sO, S.j^z.Jm=p.
En effets si l'on substitue pour Xy y^ z, leurs valems n* 28 dans ces équations^ on a
La supposition de A s=: B , donne
S.3(f^dm = S.y^dm.
Les trois équations précédentes en vertu des rel^'
vu STSXÈME DU MONDE. 127
tkms (is)^ peuvent donc s'écrire ainsi :
ccf.iS.x'^dm — S.s^^dm) = o, ce''. (S.x'^dm — S.z'^dm) = 0, cV- {S.x'^dm ~ S.z'^dm) == p.
On satisfait à ces équations en supposant c=o, c' = o , ce qui donne 4/' = i . Tous les axes situés dans le plan des ûo^y sont donc des axes principaux, et le corps a une infinité de systèmes d'axes sem- UaUes qui ont tous pour axe commun l'axe des z\
Enfin ^ si Ton a en même temps A=B=C, Téquation (k) donnera généralement C'=A : tous les momens d'inertie sont donc égaux, et tous les axes da corps sont des axes principaux. En effet, les équaliotis(^) sont alors satisfaites, indépendamment de toute valettr donnée aux quantités ^^ i^, c, etc. On a donc, par rapport à tout système d'axe rectangulaire pissant par l'origine des coordonnées oo^j/ et z',
^.xy.dmz=zOy S.xz.dm^o, 6.jz.dm:ssi o.
Cette {NTOpriéte appartient à la sphère, l'origine des coordonnées étant au centre ; mais elle conyient eucore à une infinité d'autres solides.
Désignons par x, t, % les coordonnées du centre de gttvité du corps, par a?,/, z les coordonnées de fâémént dm par rapport It ce point y en sorte qu'on aita?=za:^+x, j'sss/^+X, z=2/ + z, on aura
C'==S.[(^^+x)*+(j^,+ Yy].dm=S.(a:/+x-).rf/w
Mais, par la propriété du centre de gravite^ S • xjims=zo^ %^jr^dmz=zo; en désignant donc par m la masse du corps, par a la distance dé l'axe des i5^ à Faxe des z, on aura simplement
C = S . {x; + j^/) . dm + a*m.
Cette équation donnera immédiatement le moment d'inertie d!un corps par rapport à un axe quelconque, lorsque le moment d'inertie relatif à un axe mené parallèlement au premier par le centre de gravité sera connu. Elle fait voir aussi que le plus. . petit de tous les momens d'inertie d^un corps se ra{^>orteà l'un des trois axes principaux qui se croisent à son centre de gravité.
35. Les quantités ^, q^ r, introduites gour la première fois par Euler dans les équations du mourement de rotation, jouissent de plusieurs propriétés qu'il fauf faire- connaître, parce quelles montrent clairement de quelle manière ce mouvement s'effectue. Les diflerentielles -y- y -j'y j- expriment ,
comme on sait, les composantes parallèles aux axes des X, des^ et des z de la vitesse dont l'élément è/ns est animé. Cette vitesse est nulle par rapport anx points du corps qui restent immobiles pendant l'ins^ tant ^^;.en différenciant donc les équations (i) n* 28^ on aura, pour déterminer les coordonnées x',^, ^ de ces points ,
x' da +^' db +z' de =0, x' da! 4-/ dJ/ +2' de' =z=o,
X' diJ' +^ d*"H-z' rfc"=: O.
Ton multiplie la première de ces équations par c, seconde par c', la troisième par c", et cpi'on les joute y on aura
Si Ton multiplie ces mêmes équations , la première par i, la seconde par V^ la troisième par V\\ qu'on les ajoute ensuite , on aura
rr'— /7z' = o.
EqIGIii, si l'on ajoute ces mêmes équations^ après avoir multiplié la première par a , la seconde par ol et la troisième par d\ on aura
q:^ — rf ^=.0.
Ces trois équations^ dont la dernière résulte des deux autres y sont celles d'une ligne droite passant par Torigine; tous les points situés sur cette droite res-» tent donc immobiles pendant l'instant di^^X le corps, pendant cet intervalle de temps , tourne autour d'elle comme autour d'un axe fixe.
Cette propriété a fait nommer cette droite axe instantané de rotation. Sa position par rapport aux aoces principaux des x' , des/' et des is' est déterminée par les trois quantités p^ q,r, et les cosinus des angles qu'elle forme «vec chacun de ces axes sont respectivement exprimés par
l^a vitesse angulaire de rotation autour de l'axe Tome I. g
i3o THÉORIE ANALYTIQUE
instantané est la même pour tous les points du corps : proposons-nous de déterminer cette vitesse. Pour cela, considérons le point situé sur l'axe des z k une distance de l'origine égale à l'unité. Nous aurons pour les coordonnées de ce point x^so, jr^=zo, z=:i: sa vitesse absolue sera donc
V \di^ "*■ dt* "^ dù*J ~ de
En divisant cette vitesse par la distance du point à
l'axe instantané de rotation, on aura la vitesse angu-
^ laire de rotation du corps; cette distance est ^ale
au sinus de l'angle que fait l'axe de rotatioe avec
l'axe des z, angle dont — exprime le cosi-
nus ; la vitesse angulaire cherchée sera donc
i/idc^+do'^-hdc'^)
en observant que par les équations de condition (p),
et que Téquatiog^ c* + c^ + c^* = i donne en ^i&ir jrenciant cdc + c'dc' + ^^ = o.
Si l'on nomme donc â^;, ^, ^, les an^es que l'axe instantané de rotation fait avec les axes des x! y desy et des 7!j et p la vitesse de rotation y on aura
y9==p.cosc(, ^=z=p.cosf, r=p.cosj^.
On peut encore, au moyen des quantités /;, q^ Vf donner une ibrnae très simi^e à l'^a^ressiôtt de 1^
DU SYSTÈME DU MONDE. i3i
force vive du corps. Ea effets si Ton désigne piir T cette quantité , on aura
T=S.(^:l±^;±^).dm.
Si l'on substitue dans cette équation, pour -J^,
^ et ^ , leurs valeurs tirées des équations ( i ) , en observant qu^on a^ comme nous venons de le dire,^
p^+q"" :;= dc^+ dc^+ dc"^, on trouvera
Cette expression nous sera utile dans la mite.
I] suit de ce qui précède , qu^^ ^^1 ^}^ soit le moavement d'un corps solide autour d'un point fixe , oa Supposé tel , ce mouvement peut être regardé comme un mouvemient de rotation autour d'un, axe fixe pendant l'instant di, mais dont la position varie Sun înstaiat à* l'autte. Les trois variables p, q, r déterminent cet axe par raj^port ai^x axes principaux ; ^cs font connaître aussi la vitesse de rotation du corps. Quant à la position dès axés prini^ipatix dans l^iace, on là dét^nrminéra , comme nous l'ayoîis dit, «a moyen des équations (0), quand les valeurs de h <jf r sèix>tit connue^ , et la srtùation du corps sera ^nd complètement fixée*
34. Donnons quelques af^ications des formules précédentes^ Pcop06on&iaou»d'idl>ond de déterminer le
mouvement de rotation d'un corps qui n*est soumis à l'action d'aucune force accélératrice , et qui tourne à très peu près autour d'un de ses axes principaux, comme cela a lieu pour la Terre et les planètes. L'analyse de cette question nous fera découvrir de nouvelles propriétés très im{K>rtantesdes axes principaux. Dans ce cas, les seconds membres des équations (C) sont nuls, et l'on a d'abord à intégrer les trois équations suivantes ;
kdp + (C — B) . yr. É?^ = G, Brf^+(A — C)./7;.£// = o, ) {h) Cdr +(B — A).p{/.dtz=:o.
Supposons que le troisième axe principal soit celui autour duquel le mouvement s'e£fectue à très peu près; le sinus de l'angle que forme avec lui l'axe instantané
de rotaition sera —-—=—= : et comme cet angle doit
toujours demeurer très petit p^r la supposition , p^i^ seront aussi de très petites quantités. Si l'on néglige donc leur produit dans la dernière des équations pré^ cédentes, elle se récait à Cdr^=o ; d'où Ton tire r =»^ en désignant par 71 une constante arbitraire. La vitesse
angulaire de rotation est y^^* -f- y • -f^ jr*j en négligeant le carré de p et de ^, elle est donc égale k n^ et par conséquent elle est à très peu près constant^, he^ deux premières équations (h) deviennent. aipsi ;
Adp + (^Crr'B).nq.dê z=z o^ Bdif + (A — C).np.dt = o.
Pour satisfaire à ces équations , faisons
p = k.sin(U-{-k), (jfz=k'.c06{lt + k);
la substitution de ces valeurs donnera
Att-f-(C — B)./iA'=?o,
Blh'-{- (C — A) .nA=s o î d'où l'on tire
b deux constantes l et ft' seront 4onc dç'termînées ' par ces équations , et les constantes ^ et Â: demeureront arbitraires.
Les valeurs de y?^ q, r étant connues^ il ne reste plus à trouver que celles des angles 9^4^ ^ V^^ ^^' terminent la position des axes principaux dans l'espace. On peut le faire dWe manière très simple dan3 ce cas. En effets les deux premières équations (c) du II* 5o donnent^ en éliminant d^^
L'angle 0 est donc une très petite quantité . du même ordre que p et y. Si Ton néglige lé caiTe de fl> Ik .; dernière^ de ces équations devient
dp — d^z=irdi;.
d'où, en înteg|rant, on tire
i étant une constante arbitraire.
i34 THÉORIE ANALYTIQUE
Supposons maintenant
^3x8iA0.cosç^ 2<s=:sm0..sm^;
les deux premières équations (c) n® $o , en y substituant pour d^ sa valeur^ et négligeant toujours les termes du second ordre par rapport à 8 ^ donneront
Si dans ces équations on reniplace Pfff^r par Jeigrs valeurs ^ on aura deux équations linéairea du premier ordre entre les inconnues ^ et u^ et Ton y satisfera en faisant ^
s z=zf.cos (ni'^g) — -^ .cos (&•+• A), «==/-sin(?il4-g^)— ^ .sm(U+k),
y et g étant deux nouvelles constantes arHh^res.
La question est ainsi complètement résolue , puis^ que les quantités s et u étant connues en fonction du temps , on aura à chaque instant les valeurs de$ angles ^ et S j et par suite celle de %[/ qui est déteih miné en fonction de ç et de t. L'introduction des va-" riaUes ^ et 2^ ^ qui sont toujours de très petites qumtitéi^ du même ordre que sin Q, facilite la solution de ce pn>; . blême ; elle est due k Lagrange , et l'on verra qu'elle esl . de la plus grande utilité dans la théorie de la Lune^ ,
La forme des valeurs de ^ et ^ donne lieu a une remarque impoitante. La constante h dépend de l'angle que fait à l'origine du mouvemeiiit l'aj^e insr^
DU SYSTÈME DU MONDE. i35
tantané de rotation avec le troisième axe principal : si cet angle ^ au lieu d'être très petite est supposé nnl^ <m aura pour cet instant pzsso et ^=ro^ et par conséquent ht=zo eth' z=: o» Les quantités p e%q seront donc nulles pendant toute la durée du mouvenKDt^ et l'axe de rotation coïncidera toujours avec le troisième axe principal. Il suit de là que si le corps Gommence à tourner autour d'un de ses axes principaux^ il continuera à se mouvoir uniformément autour de cet axe ^ et c'est par cette raison que ces axés ont été nommés iixes naturels de rotation. Rédproqnement^ si l'axe instantané demeure immobile ^ on est assuré qu'il est un des axes principaux du corps. En effet, pour que Taxe de rotation conserve la même portion dans l'intérieur du mobile , il fairt c|iie les trois quantités p^ q^ r soient coostantes \ ce quidonne^l^sso, ^27 = 0, e/r=:o; les trois équations (A) deviennent donc
(C — B).yr.É?/ = o, (A— •C).ip.û?/=^o,
(B — h) .pq ^dtz=ia.
Si les trois momens d'inertie A ^ B ^ C sont inégaux y 3 Êtudra ^ pour satisfaire à ces équations , supposer ^inHes deilx des quantités p^ q\ r; alors l'axe instantané oomcîde avec l'un des axes principaux. Si deux de ces momens sont égaux , si l'on suppose , par exemple^ A = B, la dernière des équations précédentes est identiquement nulle , et Ton satisfait aux deux premières en supposant r = o. L'axe de rotation est alors situé dans le plan perpendiculaire au troisième axe principal ; mais nous avons vu n^ 52 ,
i36 THÉORIE ANALYTIQUE
qu'alors tous les axes compris dans ce plan sont des axes principaux. Enfin , si Ton a à la fois A=B=C/ ces trois équations seront satisfaites indépendamment de toute valeur donnée kp, q, r; msâs, dans ce cas , tous les axes du corps sont des axes principaux.
La .propriété d'être des axes invariables de rotation convient donc exclusivement aux axes prind-. paux ; mais il y a à cet. égard une distinction à établir entre eux. En effet , remarquons que , pour que les valeurs de p et de q demeurent toujours très petites^ comme nous, supposons qu^elles le sont à Torigine du mouvement, il ne suffit pas qiie.les constantes h et à' soient très petites j^ il faut encore que la valeur de la constante l soit réelle;; sans cela les sinus et cosinus que renferment les quantités/^ et q se changeraient en exponentielles , dont les ex-!> posans seraient proportionnels a i, et ces valeurs par conséquent pourraient croitiçe indéfiniment avec le temps. Ainsi, dans le premier cas. Taxe instantané ne fera que de petites oscillations autour de l'axe principal } maïs , dans le second , il pourra s'en écarter considérablement, quelque rapprochés qu'aient été ces deux axes dans l'origine. Or, pour que la valeur de l soit réelle , il faut que le produit (A — C) . (3 — '. C) soit positif, c'est-à-dire que le moment d'inertie C, relatif à l'axe principal autour duquel oscille l'axe instantané, soit le plus petit ou le plus grand des trois momens d'inertie A, B, C Il s'ensuit que, si le mouvement du corps a commencé autour d'un de ses axes principaux , et qu'une force perturbatrice quelconque dérange infiniment
peu son axe de rotation ^ le corps continuera de tour-* ner à très peu près autour de Taxe principal ^ si la ({iiantité. (A — C) • (B — C) est positive j mais , dans le cas contraire ^ Taxe de rotation s'en écartera indé«^ (iniment , et il suffira alors dt la cause la plus légère pour changer totalement la nature du mouvement. Ainsi Ici^ mouvement de rotation est stable par rapport aux deux axes principaux qui répondent au plus grand et au plus petit moment d'inertie , et il ne l'est pas relativement au troisième.
35. Considérons maintenant d^une manière générale le mouvement d'un corps qui n'est animé par aucune force accélératrice ^ et qui peut se mouvoir librement autour d'un point fixe, différent où non de son centre de gravité. Reprenons les équations (A) *du n* précédent.
Adp + (C — B) .qr. dû =: o^^ B^ + (A — C)./7?,^= o, !• (h)
'^ Si Ton multiplie la première par p, la seconde par q, ^ la troisième par r, qu'on les ajoute et qu'on intègre j, leur somme ^ on aura
^ A/7*+By* + Cr»=A. (i)
Si l'on multiplie ces mêmes équations , la première par Ap, la seconde par Bif, la troisième par Cr, qu'on les ajoute et qu'on intègre l'équation résultante, on aura
. A7?*+BYH-CV = >t% (2) h et fc étant deux constantes arbitraires.
i38 THÉORIE ANALYTIQUE
La première intégrale est l'expression ée la force vive trouvée n"" 55 ; elle montre que cette forée est constante, conformément au principe énoncé n^ !»4'
Des deux équations précédentes, on tire
