A«— BA + (B— Q.O

^'— AA + (A--C).Ci* (B— A).B

Si Ton substitue pour p et q leurs valeurs dans la dernière des équations ( A ) , et qu'on la r&olve par rapport a, dt, on aura

j^ |/Ib . Cdr , ^j.

'■" V/îfr^irBÂHKB--C) . Cr^'j . [— Im-A Ar+<G-A).Ci*3*

Cette équation donnera par les quadratures la var leur de t en r, et réciproquement la valeur de r ea fonction de t ; cette valeur substituée dans les équations (k) fera connaître à cbaque instant les valeurs de ;? et ^, Mais l'intégration d'où dépend la valeur de t ne peut s'obtenir sous forme finie , que dans le cas où deux des trois momens d'inertie A, B, C sont égaux entre eux.

Les trois quantités p, ç, r déterminent, n** 53, les mouvemens du corps par rapport aux axes principaux. Il reste à déterminer les trois angles ç^ ^f^ l qui fixent la position de ces axes. Au lieu de recourir . pour cela aux équations (c) n*" 3o , on peut troorer trois nouvelles intégrales des équations (h) qui facili* teront cette recherche. En effet, si l'on multiplie la premièi^ de ces équations par a, la seconde par b, la

troisiènié par c; qu'on les ajoute^ et qu'on intègre

leur somme; qu'on répète la même opération par

Tapport à a\ V^ d, et par rapport à d'y è", é\ en

&isant attention aux équations (/?) n*" 29^ et aux re->

ktions {ni) y (n)^ n^ 28^ on aura

\^ r, V étant trois constantes introduites par Fintégration. Ces équations ^ qui coïncident avec les équa* tîoDS (^) n** 29, renferment le principe des aires.

Si ces trois intégrales étaient réellement distinctes entre elles, on en tirerait^ sans nouvelle intégration^ les valeurs de ^ , «sj/ , 0 , au moyen de celles de ;e; , ^, r, qu'on peut regarder comme déterminées. Mais Tune quelconque de ces équations rentre dans les deux autres^ en vertu de Téquation (2). En effet, si l'on ajoute ensemble leurs carrés, on voit que cette sonome se réduit à

éqnation qui, en la comparant à l'équation citée, donne entre les constantes ^, /, f, ï\ l'équation Je condition

Les équations (i) ne pourront donc servir qu'à déterminer deux des inconnues (p , 4 ^ ^ j îl faudra nécessak*ement recourir aux équations (^) pour déterminer la troisième, ce qui exige par conséquent une nouvelle intégration.

Pour rendre cette intégration possible, on est

i4o THÉORIE ANALYTIQUE

obligé de faire une hypothèse sur le choix des plans ^ coordonnés^ que nous avions jusqu'ici regardé comine arbitraire. On suppose que l'un d'entre eux se confond avec le plan que nous avons nommé invariable n® ^. La propriété qui le caractérise^ c'est que la sommé des aires décrites par les rayons vecteurs des élément ' du corps pendant le temps ^^ et multipliées par les masses de ces élémens^ est un maximmn par rapport à ce plan^ et qu'au contraire par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire, elle est égale à zérôf Les constantes /, l\ V répondent ici aux constantes Cf c', ç" du n' 23.; cette somme, relativement au pbuv

invariable , est donc égale à ^ / . V^Z*4-/'*-f-^"*J et en désignant par a, Q, y les angles que forme la perpendir culairQ à ce plan avec les axes des x , des^ et des z , on a

cos ot = T > cos b = T , cos 5^ =s T-«

Si l'on prend ce plan invariable pour plan des xjA on aura /=o, /^=o, /"=A, et les équations (/}] se réduiront aux suivantes \

d'où l'on tire, en vertu des équations (/w), n' 28, ou bien , en mettant pour a", i", c" leurs valeurs n* 38»

sin6,.8m^, = — ^, 8m9^.cos^,=— -^, C089^ = y. (o>

Nous désignons ièi par^^, 4/f 0/ ce que deviennent^

DU SYSTÈME DU MONDE. i4i

, rektiyement au plan invariable^ les angles ^,'^,9 qui se rapportent à nn plan fixe quelconque.

Ces équations donneront immédiatement les valeurs des angles (p^ et 6^ en fonction du temps au moyen des valeurs connues de p, q, r. Pour déterminer le tKMsième angle 4/^ éliminons isffl entre les deux pre*^ mières équations (c) ; nous aurons

sin^ 9^ . d-^j = sîn fl^ . sin ^^ .pdê + sin 9^ . cos ^^ . (/dû; «{aation qui, en vertu des précédentes, devient

d'où, en observant que A/7'+ By* = h — Cr*, on tire

Si dans cette équation on substitue pour dt sa valeur. On trouve '

(ir*-CV). {/ [ir--BA4r(B-C) .Gr»] . [-ir-^-J-AA+CC-AJ.ÇV]

Cette formule donnera par les quadratures. 4"/^ fonction de /•, et par suite 4/ en fonction du tem^ps. •

On connaîtra donc à chaque instant les valeurs des six variables p, y, r, ^/ , 4 / * ^/ f- ^^ V^^ suffit pour déterminer, toutes les circonstances du. mouvement du corps. Ces valeurs renferment quatre constantes arbitraires, savoir, les constantes A et A:, et les deux constantes qui sont introduites par l'intégration des valeurs de dt et de ^4/* ^^^ intégrales d'où dépend la solution complète du problème devraient généralement contenir six arbitraires; mais il faut remarquer

i42 THÉORIE ANALYTIQUE

qu'en prenant pour plan des x et des^^ le plan pcii^* cipai de projection ^ nous avons fait disparaître den | de ces arbitraires^ puisque cette supposition a domié lz=zOf t=iO, et que d'ailleurs les angles f^, 4/f ^jî dont nous venons de déterminer les valeurs , ne sMt relatifs qu'à ce même plan. Il sera j&cile, lorsque OM valeurs seront connues^ d'avoir celles des angles f i4'l| qui se rapportent à un plan fixe quelconque , par kf formules de la Trigonométrie sphérique , et cette dé* termination introduira deux nouvelles constantes dé* pendant de la position du plan invariable par rapport au plan fixe ^ qui , j ointes aux quatre précédentes , cosa» pléterpnt le nombredesconstantes arbitraires demandA En effet , désignons par y l'inclinaison du plan invariable sur le plan fixe, par cl l'angle que foriM avec une droite menée sur le dernier de cesplaai leur commune intersection, et considérons le triangle sphérique intercepté entre ces deux plans et le |Jdf qui renferme les axes principaux des a/ et des ^à D'après la désignation donnée aux quantitees Ç , 4 > ^1

angles de ce triangle seront > , â , ^lOo^'-O , et les càm respectivement opposés ç— ^^, 4"^*^ ^* 4'/> ©ûsap^i posant que l'angle 4 9 <I^ ^ compte sur le fhn in4 variable à partir d'une ligne arbitraire, j9oit compW à partir de l'intersection de ce plan avec le plan fym On aura donc par les formules connues *'^'

cosâs cos^;cosG^ — sin^.sîn0^.cos4/j| sin(^ — ^J.sinfl = sin4/«fiÛQ^^ sin(4 — <t ) . sin ô = sin 4/ * ^^^ ^r

DU SYSTÈME DU MOKDE. i4S

es équations donneront les Tâleurs des trois angles f '^, 6^ au moyen des angles (p^, «sj/^, 6^, et de^ iiKK arbitraires a et y^ qui dép^ident de la position h corps à l'origine du mouvement.

Il ne nous reste plus ^ pour achever la solution du oUème que nous venons de traiter^ qu'à montrer aiment les six constantes qui servent à la bompléter uvent se déterminer d'après les circonstances ini-* les du mouvement. Pour cela^ supposons que le Vfs ait reçu une impulsion primitive quelconque; qui f passe pas par son centre de gravité ; soit u la vitesse le cette force imprimerait à la masse m, regardée uime un point , en sorte que mi/ soit la mesure de n intensité^ et soit de plus / la distance de sa direcm au point fixe autour duquel le corps est forcé de nmer; mp/seva. son moment par rapport au même tint. Quelles que soient les quantités de mouvement >nt sont animés les différens points du mobile^ il ; évident que l'impulsion primitive^ prise en sens ntraire de sa direction^ doit leur faire équilibre; là il suit que la somme des momens de toutes ces Qces projetées sur un même plan doit être égale à POU Or, le moment de la loiroe mi/ est le plus grand «Bible relativement au plan .qui passe par sa direc- ML.et par le poiut fixe; ce plan est donc le plan kvariable. La somme des wtes décrites pendant lé W3ps t, par les rayons vecteurs des nnd^nales du orpsy projetées sur ce plan et multipliées respective-

■eatpar œs molécules, est |«.\/Z»+/'*4-.^'*==i^.J5'. 8i Ton multiplie par jt le moment m<^ le produit doit êfare, par ce qui précède; égal à cette

i44 THÉORIE ANALYTIQUE

somme* On aura donc k = muf pour dëtenniner la constante k.

Si Ton suppose connue , à Forigine du mouvement, la position des trois axes principaux du corps relati* yement au plan invariable , les angles Ç^ et 8^ seront donnés , et l'on aura , par les équations (o) , les valeurs de p, q, r k l'origine du mouvement; en ks substituant dans la première intégrale (i)> la vaknc de la constante h sera déterminée.

Quant aux deux constantes qui résultent de Tinté; gration des valeurs de dt et de d^^ , la premièreutj' pendra de l'instant d'où l'on comptera le temps/ej la seconde de l'ongine de langle 4y> <ipe ronp(»l prendre arbitrairement sur le plan invariable.

Enfin, les deux constantes ol et y, qui détermines ce plan par rapport à un autre plan fixe quelconque; seront connues , puisque sa position initiale est snp posée donnée.

En rassemblant les résultats précédens^ on voit; nP. 2j, que si un corps de figure quelconque recoi une impulsion primitive qui ne passe pas par soi centre de gravité , ce point sera emporté dans l'espld comme si l'impulsion lui était directement appliqua et que le corps prendra, autour de ce centre ^ie'mêini mouvement que s'il était immobile. Ces prindiNS Servent à expliquer comment le double mouvemed de translation et de rotation des planètes , qui parti au premier abord si compliqué, a pu résulter d'iniî seule impulsion primitive qui ne passait pas par leoL centre de gravité. En supposant la Terre une ^hèi homogène , dont le rayon est R , et nommant / '

DU SYSTÈME Du MONDE. i45

distance de la direction de l'impulsion primitive k son centre, on trouve qu'en veftu du rapport qui existe entre la vitesse angulaire de rotation de cette [Janète, et sa vitesse de révolution autour du Soleil , l(mt qu'on ait, à très peu près, /*= t^ô «R*

36. Déterminons enfin le mouvement de rotation l'un corps solide retenu par deux points ou par un axe îxe. Au lieu d^employ er les équations (C) du n** 3o , il ist plus simple dans cette recherche de recourir aux équations primitives (^i) du n* 27. Prenons l'axe £Ue le rotation pour l'un des axes coordonnés, pour celui les AT, par exemple; supposons cet axe horizontal im que l'axe des^, et l'axe des z vertical et dirigé rers le centre de la terre; supposons de plus que le ixa desj'z, dont la position est arbitraire, passe par e centre de gravité du corps : la dernière des équaioDS (à) n* 27 suffira pour déterminer dans ce cas )ates les circonstances du mouvements On aura donc

aisons passer un plan par l'axe de rotation et par \ centre de gravité du corps; il est clair qu'il suffira e connaître la trace de ce plan sur celui des j^ pour voir, à chaque instant, la position du mobile. Pre-* ions cette ligne pour l'un des axes de nouvelles coordonnées y, 2^, et nommons 9 l'angle que forme €«t axe avec celui des z; on aura

y^ =y cos fl+ / sin fl , 2= — y sin 9 + z' cos fl.

l<é((uation (a) devient en y Substituant ces valeurs Tome I. 10

i4G THÉORIE ANALYTIQUE

L'iatégrale S.{y*'^z'*).dm est le moment dlncrtic du corps par rapport à l'axe des x; en désignant donc par A ce moment^ l'équation dumouyement de rotation sera simplement

A.^=— s.CrZ-zY).^. (b)

Supposons que la pesanteur soit la seule force accélératrice qui agisse sur le corps que nous considérons; il forme alors ce que l'on nomme impenduL compose^ et l'on a Y=o et Z=g^ en désignant par^ l'intensité de la pesanteur. Par conséquent

Puisque Taxe des t! passe par le centre de gravité, on a S.^'^m = o, et S,z'dm=Ma , en nommant iz la distance de ce centre à Torigine, et M la masse du corps ; l'équation (b) devient ainsi

IVlultiplipqs. les deux memb|«s de cette équation par. 2£$ et intégrons ;. nous aurons

C étant une constante arbitraire.

Cette expression est le carré de la vitesse angulaii de rotation du corps. J^ résolvant l'équation pré(^

(lente* par rapport a dt, et en l'intégrant ensuite, on aura t en fonction de G, et réciproquement 9 en fonction du temps.

Imaginons le mobile réduit à un point lié à l'axe (lésa: par une droite inflexible 2; on aura /=a et kz=zS.(j^-i-z^).dmz=:Ml^; par conséquent

*=ÎE.cos8 + C.

Cette équation coïncide avec cdle que npu$ avons donnée n^ 1 7 ponr déterminer les oscillations du pendule simple; en la comparant à la précédente, on voit que les deux corps oscilleront de la même manière si

l'on fait /:= -£- , et si Ton suppose qu^ilis ont les mêmes

vitesses initiales , lorsque leurs centres de gravité sont dans la verticale, c'est-à-dire lorsque langle 0 est nul. On pourra donc toujours déterminer, par la formule précédente, la longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le même espace de temps qu'un pendule composé donné.

On peut conclure de là qu'il existe dans tout pendule composé un système de points qui oscillent comme s'ils étaient isolés et détachés du corps. Ces points sont situés dans le plan qui passe par le centre de gravité et Taxe de suspenisîon, sur une droite parallèle à cet axe. On nomme ces points centres ^oscillation.